4テンソル

物理学、特に特殊相対性理論と一般相対性理論において、4次元テンソルは4次元時空におけるテンソルの略語である。^[1]

一般論

一般的な4次元テンソルは通常、テンソル指数表記で次のように 表される。

${\displaystyle A_{\;\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{m}}^{\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{n}}}$

添え字は0から3までの整数値を取り、0は時間的要素、1、2、3は空間的要素を表す。反変添え字はn個 、共変添え字はm個存在する。^[1]

特殊相対論および一般相対論において、関心のある四元テンソルの多くは一次（四元ベクトル）または二次ですが、より高次のテンソルも存在します。以下に例を挙げます。

特殊相対論では、ベクトル基底は正規直交性に制限することができ、その場合、4元テンソルはすべてローレンツ変換によって変換されます。一般相対論では、このような制限は一般には不可能であるため、より一般的な座標変換が必要となります。

例

一次テンソル

特殊相対論において、4次元テンソルの最も単純で非自明な例の一つは4次元変位テンソルである。

${\displaystyle x^{\mu }=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)}$

反変階数1、共変階数0の4元テンソル。この種の4元テンソルは通常、4元ベクトルと呼ばれる。ここで、成分x ⁰ = ct は物体の時間的変位を表す（座標時間tに光速 cを乗じると、x ⁰は長さの次元を持つ）。4元変位の残りの成分は空間変位ベクトルx = ( x ¹ , x ² , x ³ ) を形成する。^[1]

質量のある粒子と質量のない粒子の4元運動量は

${\displaystyle p^{\mu }=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {1}{c}}E,p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$

そのエネルギー（cで割ったもの）p ⁰ = E / cと3-運動量 p = ( p ¹ , p ² , p ³ )を組み合わせる。^[1]

不変質量（ 静止質量とも呼ばれる）を持つ粒子の場合、4つの運動量は次のように定義されます。 ${\displaystyle m_{0}}$

${\displaystyle p^{\mu }=m_{0}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$

粒子の 固有時間とともに。${\displaystyle \tau }$

相対論的質量はローレンツ因子を伴う${\displaystyle m=\gamma m_{o}}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}$

2階テンソル

(−+++) 規約の直交基底を持つ ミンコフスキー計量テンソルは

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\,}$

線要素の計算と添字の増減に使用されます。上記は直交座標系に適用されます。一般相対論では、計量テンソルは曲線座標系に対してより一般的な表現で与えられます。

相対論的質量mと相対論的運動量p （実験室系における観測者によって測定）を持つ粒子の角運動量 L = x ∧ pは、相対論的角運動量テンソル^{[2] [3]において別のベクトル量}N = m x − p t（標準的な名前なし）と結合する。

${\displaystyle M^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{pmatrix}}}$

コンポーネント付き

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}$

連続体または場の応力-エネルギーテンソルは、一般的に2次テンソルの形をとり、通常はTで表されます。時間的要素はエネルギー密度（単位体積あたりのエネルギー）に、混合時空要素は運動量密度（単位体積あたりの運動量）に、純粋に空間的な要素は3次元応力テンソルに対応します。

電磁場テンソルは電場Eと磁場Bを組み合わせたものである^[4]

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

電磁変位テンソルは、電界変位場 Dと磁界強度 Hを次のように組み合わせたものである^[5]。

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

磁化-分極テンソルはP場とM場を組み合わせたものである^[4]

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$

３つの場のテンソルは次のように関係している。

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,}$

これは、 D フィールドとHフィールドの定義と同等です。

粒子の電気双極子モーメントdと磁気双極子モーメントμは単一のテンソルに統合 される[ 6 ^]

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&d_{x}&d_{y}&d_{z}\\-d_{x}&0&\mu _{z}/c&-\mu _{y}/c\\-d_{y}&-\mu _{z}/c&0&\mu _{x}/c\\-d_{z}&\mu _{y}/c&-\mu _{x}/c&0\end{pmatrix}},}$

リッチ曲率テンソルは別の 2 次テンソルです。

高階テンソル

一般相対論では、リーマン曲率テンソルやワイル曲率テンソルなど、どちらも 4 次テンソルである、 より高次の曲率テンソルが存在します。

参照

• スピンテンソル
• テトラッド（一般相対性理論）

参考文献

1. ラムボーン、ロバート・J・A.『相対性理論、重力、宇宙論』ケンブリッジ大学出版局、2010年。
2. R. ペンローズ (2005). 『現実への道』ヴィンテージブックス. pp.  437– 438, 566– 569. ISBN 978-0-09-944068-0。注: 時空内のベクトルとテンソルにはギリシャ語のインデックスを使用するのが一般的ですが、ペンローズを含む一部の著者は、この定義ではラテン文字を使用しています。
3. M. Fayngold (2008). 特殊相対性理論とその仕組み. John Wiley & Sons . pp.  137– 139. ISBN 978-3-527-40607-4。
4. Vanderlinde, Jack (2004), 古典電磁気理論, Springer, pp.  313– 328, ISBN 9781402026997
5. Barut, AO (1980年1月).電気力学と粒子と場の古典理論. ドーバー. p. 96. ISBN 978-0-486-64038-9。
6. Barut, AO (1980年1月).電気力学と粒子と場の古典理論. ドーバー. p. 73. ISBN 978-0-486-64038-9。EM フィールド テンソルの規則が異なるため、この本のテンソルにはcの因子は現れません。