バナッハ関数代数

関数解析において、コンパクトハウスドルフ空間X上のバナッハ関数代数は、Xからのすべての連続した複素値関数の可換C*-代数C(X)の単位部分代数Aと、それをバナッハ代数にするA上のノルムを組み合わせたものである。

関数代数は、すべての に対してf ( p ) = 0 が成り立つとき、点pで消滅するといいます。関数代数は、異なる点の各ペアに対して、となる関数が存在するとき、点を分離するといいます。 ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle p,q\in X}$ ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle f(p)\neq f(q)}$

任意の に対して が定義される。すると は 上の準同型（指標）となり、が で消滅しない場合は 0 以外となる。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \varepsilon_{x}(f)=f(x),}$ ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle \varepsilon _{x}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$

定理:バナッハ関数代数は半単純(つまり、そのヤコブソン根号がゼロに等しい)であり、各可換単位半単純バナッハ代数は、その特性空間(相対弱*位相が与えられた場合の、 Aから複素数への代数準同型の空間)上のバナッハ関数代数と同型(ゲルファント変換を介して)である。

上のノルムが 上の一様ノルム（または超ノルム）である場合、 は一様代数と呼ばれる。一様代数はバナッハ関数代数の重要な特殊ケースである。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

参考文献

• アンドリュー・ブラウダー（1969）関数代数入門、WAベンジャミン
• HG Dales (2000)バナッハ代数と自動連続性、ロンドン数学会モノグラフ24、クラレンドン・プレス ISBN 0-19-850013-0
• グラハム・アラン＆H・ガース・デイルズ（2011）『バナッハ空間と代数入門』オックスフォード大学出版局 ISBN 978-0-19-920654-4