一般化超幾何関数

Mathematica 13.1 の ComplexPlot3D 関数を使用して、a=(2,4,6,8)、b=(2,3,5,7,11) の一般化超幾何関数 pFq(abz) を複素平面 -2-2i から 2+2i までプロットしました。

数学において、一般化超幾何級数は、 nで添え字付けされた連続する係数の比がnの有理関数となるべき級数である。級数が収束する場合、一般化超幾何関数を定義し、これは解析接続によってより広い範囲の議論にわたって定義できる。一般化超幾何級数は単に超幾何級数と呼ばれることもあるが、この用語は単にガウス超幾何級数を指すこともある。一般化超幾何関数には、特殊なケースとして (ガウス)超幾何関数と合流型超幾何関数が含まれ、これらの関数にも、基本関数、ベッセル関数、古典的な直交多項式など、多くの特定の特殊関数が特殊なケースとして含まれる。

表記

超幾何級数は正式には冪級数として定義される。

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{n}}$

ここで、連続する係数の比はnの有理関数である。つまり、

${\displaystyle {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}}$

ここで、A ( n )とB ( n )はnの多項式です。

例えば、指数関数の級数の場合、

${\displaystyle 1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

我々は持っています：

${\displaystyle \beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}.}$

したがって、これはA ( n ) = 1およびB ( n ) = n + 1の定義を満たします。

通常は主項を因数分解するため、β _{0 は}1 と仮定します。多項式は、それぞれ( a _j  +  n ) と ( b _k  +  n ) の形式の線形因数に因数分解できます。ここで、 a _jとb _kは複素数です。

歴史的な理由から、(1 + n ) はBの因数であると仮定されています 。もしこれが当てはまらない場合、AとBの両方にこの因数を掛けることができます。因数は打ち消されるため、項は変化せず、一般性は損なわれません。

連続する係数の比は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {c(a_{1}+n)\cdots (a_{p}+n)}{d(b_{1}+n)\cdots (b_{q}+n)(1+n)}}}$ 、

ここでcとdはAとBの最高係数である。この級数は次のような形になる。

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {(a_{1}+1)\cdots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\cdots (b_{q}+1)\cdot 2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots }$ 、

あるいは、zを適切な係数でスケーリングして並べ替えると、

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$ 。

これは指数関数の形をとる。この級数は、通常次のように表記される。

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)}$

または

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].}$

上昇階乗またはポッホハマー記号の使用

${\displaystyle {\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)={\frac {\Gamma (a+n)}{\Gamma (a)}},&&n\geq 1,\end{aligned}}}$

ここでガンマ関数を表すので、これは次のように書ける。 ${\displaystyle \Gamma (x)}$

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}={\frac {\Gamma (b_{1})\cdots \Gamma (b_{q})}{\Gamma (a_{1})\cdots \Gamma (a_{p})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a_{1})\cdots \Gamma (n+a_{p})}{\Gamma (n+b_{1})\cdots \Gamma (n+b_{q})}}{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

(この Pochhammer シンボルの使用は標準ではありませんが、このコンテキストでは標準的な使用法です。)

用語

級数のすべての項が定義され、収束半径が非ゼロの場合、級数は解析関数を定義します。このような関数とその解析接続は、超幾何関数と呼ばれます。

収束半径が0の場合、数学では多くの興味深い級数が得られる。例えば、不完全ガンマ関数は漸近展開を持つ。

${\displaystyle \Gamma (a,z)\sim z^{a-1}e^{-z}\left(1+{\frac {a-1}{z}}+{\frac {(a-1)(a-2)}{z^{2}}}+\cdots \right)}$

これはz ^{a −1} e ^−z  ₂ F ₀ (1− a ,1;;− z ⁻¹ )と書くことができる。しかし、超幾何級数という用語の使用は、通常、その級数が実際の解析関数を定義する場合に限定される。

通常の超幾何級数は、その名前にもかかわらず、より複雑で難解な級数である基本超幾何級数と混同してはならない。「基本」級数は、通常の超幾何級数のq-類似体である。通常の超幾何級数のこのような一般化はいくつか存在し、リーマン対称空間上の帯状球面関数から得られるものも含まれる。

分母にn !の因数を持たない級数（負の数も含めすべての整数nについて合計したもの）は、双対超幾何級数と呼ばれます。

収束条件

a _jとb _kには、係数の分子または分母が 0 になる 特定の値があります。

• 任意のa _jが非正の整数 (0、-1、-2 など) の場合、その級数は有限個の項のみを持ち、実際には次数 - a _jの多項式になります。
• 任意のb _kが正でない整数の場合（ b _k < a _jの前の場合を除く）、分母は 0 になり、級数は未定義になります。

これらのケースを除外すると、比率テストを適用して収束半径を決定できます。

• p < q + 1の場合、係数の比はゼロに近づきます。これは、級数が任意の有限値zに対して収束し、zの整関数を定義することを意味します。例として、指数関数の冪級数が挙げられます。
• p = q + 1の場合、係数の比は1に近づきます。これは、級数が | z | < 1 で収束し、 | z | > 1 で発散することを意味します。| z | = 1で収束するかどうかは、判断がより困難です。z の値がより大きい場合は、解析接続を適用できます。
• p > q + 1の場合、係数の比は無限に増大します。これは、z  = 0 以外では級数が発散することを意味します。したがって、これは発散級数または漸近級数であり、あるいは、和が形式的に満たす微分方程式の記号的な簡略表現として解釈することもできます。

zが単位円上にある場合のp = q +1の収束の問題はより困難である。次の式が成り立つとき、級数はz = 1 で絶対収束することが示される。

${\displaystyle \Re \left(\sum b_{k}-\sum a_{j}\right)>0}$ 。

さらに、p = q +1、zが実数の場合、次の収束結果が成り立ちます（Quigley et al. (2013)）。 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}}$

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {d\log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{dz}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}}$ 。

基本的なプロパティ

定義から明らかなように、関数の値を変えることなく、パラメータa _jの順序、あるいはパラメータb _kの順序を変えることができます。また、パラメータa _jのいずれかがパラメータb _kのいずれかと等しい場合、対応するパラメータは「打ち消される」可能性があります。ただし、パラメータが非正の整数である場合は例外があります。例えば、

${\displaystyle \,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)}$ 。

このキャンセルは、上行のパラメータが下行のパラメータと負でない整数だけ異なる場合に適用される縮小式の特別なケースです。^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c+n\\b_{1},\ldots ,b_{B},c\end{array}};z\right]=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {z^{j}}{(c)_{j}}}{\frac {\prod _{i=1}^{A}(a_{i})_{j}}{\prod _{i=1}^{B}(b_{i})_{j}}}{}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+j,\ldots ,a_{A}+j\\b_{1}+j,\ldots ,b_{B}+j\end{array}};z\right]}$

オイラーの積分変換

次の基本的な恒等式は、高階の超幾何関数を低階の積分で表すので非常に有用である^{[ 3 ]。}

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

差別化

一般化された超幾何関数は次式を満たす。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]{\text{ for }}b_{k}\neq 1\end{aligned}}}$

さらに、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}$

これらを組み合わせると、 w = _p F _qを満たす微分方程式が得られます。

${\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}$ 。

連続機能と関連するアイデンティティ

次の演算子を取ります。

${\displaystyle \vartheta =z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}.}$

上記の微分公式から、

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),\vartheta \;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

それぞれを含む

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1;b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1;z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

空間は2次元なので、これらのp + q +2関数の任意の3つは線形従属である： ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle (a_{i}-b_{j}+1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..;...,b_{j}...;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1..;...,b_{j}...;z)-(b_{j}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..;...,b_{j}-1...;z).}$

${\displaystyle (a_{i}-a_{j}){}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j}..;.....;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1..a_{j}..;......;z)-a_{j}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j}+1...;....;z).}$

${\displaystyle b_{j}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}....;..b_{j}...;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1....;..b_{j}+1...;z)+(b_{j}-a_{i}){}_{p}F_{q}(...a_{i}....;..b_{j}+1...;z).}$

${\displaystyle (a_{i}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j};...;z)=(a_{i}-a_{j}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}-1..a_{j};...;z)+a_{j}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}-1..a_{j}+1;...;z).}$

これらの依存関係を書き出すことで、 を含む多数の ID を生成できます。 ${\displaystyle {}_{p}F_{q}}$

例えば、最も単純で非自明なケースでは、

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a;z)=(1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$ 、

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)=({\frac {\vartheta }{a-1}}+1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$ 、

${\displaystyle z\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)=(a\vartheta )\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$ 、

それで

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)-\;{}_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)}$ 。

これと他の重要な例を挙げると、

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {z}{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$ 、

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$ 、

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {bz}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$ 、

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-a)z}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$ 、

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$ 、

ガウスの連分数として知られる連分数式を生成するために使用できます。

同様に、微分公式を2回適用すると、次のような関数が含まれる。 ${\displaystyle {\binom {p+q+3}{2}}}$

${\displaystyle \{1,\vartheta ,\vartheta ^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

次元が3なので、4つは線形従属関係にあります。これによりさらに多くの恒等式が生成され、このプロセスは継続されます。このように生成された恒等式は互いに組み合わせることで、異なる方法で新たな恒等式を生成することができます。

パラメータa _j、b _kの 1つに±1を加算して得られる関数

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

隣接していると 呼ばれる

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

上記の手法を用いると、2つの連続する関数とそれに関連する恒等式が1つ与えられ、4つの連続する関数のうち任意の2つとそれに関連する恒等式が6つ、そして6つの連続する関数のうち任意の2つとそれに関連する恒等式が15つ見つかっています。最初の恒等式は前の段落で導出されました。残りの15つは（ Gauss 1813 ）によって与えられました。 ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

アイデンティティ

19世紀と20世紀には、超幾何関数の恒等式が数多く発見されました。これらの恒等式を証明する方法論への20世紀の貢献は、エゴリチェフ法です。

ザールシュッツの定理

ザールシュッツの定理^{[ 6 ]} ( Saalschütz 1890 ) は

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$

この定理の拡張については、RakhaとRathieの研究論文を参照してください。Andrews , Askey & Roy 1999 , p. 69によると、この定理は実際には1797年にPfaffによって初めて発見されました。 ^{[ 7 ]}

ディクソンの正体

ディクソンの恒等式^{[ 8 ]}は、ディクソン（1902）によって最初に証明され、 _{1における3F2}の和を与える。

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}$

Dixon の恒等式の一般化については、Lavoie らによる論文を参照してください。

ダガルの式

ダガルの公式 ( Dougall  1907 ) は、終了し 2 バランスのとれた非常にバランスのとれた級数の和を与えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}.\end{aligned}}}$

終了とは、mが負でない整数であることを意味し、2平衡とは、

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}$

超幾何関数の特殊値に対する他の多くの公式は、この公式から特殊ケースまたは極限ケースとして導出できる。これはダガル・ラマヌジャン恒等式とも呼ばれる。これはジャクソン恒等式の特殊ケースであり、ディクソン恒等式とザールシュッツの定理を特殊ケースとして与える。^{[ 9 ]}

₂ F ₂に対するクンマー変換と恒等式の一般化

アイデンティティ1。

${\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}$

どこ

${\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}}$ ;

アイデンティティ2。

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),}$

これはベッセル関数を₂ F ₂に結び付ける。これはb = 2 aのときのクンマーの2番目の式に簡約される。

アイデンティティ3。

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}$ 。

アイデンティティ4。

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}}$

bdが負でない整数 の場合、これは有限和になります。

クンマーの関係

クンマーの関係は

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

クラウゼンの式

クラウゼンの式

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}$

ド・ブランジュはビーベルバッハ予想を証明するためにこの法則を使用しました。

特殊なケース

数学における特殊関数の多くは、合流型超幾何関数または超幾何関数の特殊なケースです。例については、対応する記事を参照してください。

シリーズ₀ F ₀

前述のように、この関数の微分方程式は であり、kが定数 である解を持ちます。${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=w}$ ${\displaystyle w=ke^{z}}$

シリーズ₀ F ₁

この形式の関数は合流型超幾何極限関数と呼ばれ、ベッセル関数と密接な関係があります。 ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$

関係は次のとおりです。

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

この関数の微分方程式は

${\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}$

または

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}$

aが正の整数でない場合、置換

${\displaystyle w=z^{1-a}u,}$

線形独立解を与える

${\displaystyle z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),}$

したがって、一般的な解決策は

${\displaystyle k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)}$

ここで、k、lは定数です。（aが正の整数の場合、独立解は適切な第2種ベッセル関数によって与えられます。）

特別なケースは次の通りです:

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

シリーズ₁ F ₀

重要なケースは次の通りです。

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}$

この関数の微分方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}$

または

${\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,}$

解決策がある

${\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}$

ここでkは定数です。

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(1;;z)=\sum _{n\geqslant 0}z^{n}=(1-z)^{-1}}$ は、比zと係数 1を持つ等比級数です。

${\displaystyle z~{}_{1}F_{0}(2;;z)=\sum _{n\geqslant 0}nz^{n}=z(1-z)^{-2}}$ も便利です。

シリーズ₁ F ₁

形の関数は第一種合流型超幾何関数と呼ばれ、 とも表記される。不完全ガンマ関数は特別な場合である。 ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ ${\displaystyle M(a;b;z)}$ ${\displaystyle \gamma (a,z)}$

この関数の微分方程式は

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}}$

または

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}$

bが正の整数でない場合、置換

${\displaystyle w=z^{1-b}u,}$

線形独立解を与える

${\displaystyle z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),}$

したがって、一般的な解決策は

${\displaystyle k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

ここで、 k、lは定数です。

a が非正の整数の場合、 − nは多項式です。定数倍を除いて、これらはラゲール多項式です。これは、エルミート多項式も ₁ F ₁で表せることを意味します。${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$

シリーズ₁ F ₂

他の関数との関係は、特定のパラメータの組み合わせについてのみ知られています。

関数 は基数正弦の不定積分である。およびの値を修正すると、 の不定積分が得られる。^{[ 10 ]}${\displaystyle x\;{}_{1}F_{2}\left({\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{4}}\right)}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle \sin(x^{\beta })/x^{\alpha }}$

ロンメル関数は^{[ 11 ]}である。${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{}_{1}F_{2}\left(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)}$

シリーズ₂ F ₀

第二種合流型超幾何関数は次のように書ける: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\;{}_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;;-{\frac {1}{z}}\right).}$

シリーズ₂ F ₁

歴史的に最も重要なのは、 の形の関数です。これらは、ガウスの超幾何関数、古典標準超幾何関数、あるいは単に超幾何関数と呼ばれることもあります。混乱の恐れがある場合、関数_p F _qには「一般化超幾何関数」という用語が使用されます。この関数は、カール・フリードリヒ・ガウスによって初めて詳細に研究され、収束条件が探求されました。 ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

この関数の微分方程式は

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}}$

または

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

これは超幾何微分方程式として知られています。cが正の整数でない場合、置換

${\displaystyle w=z^{1-c}u}$

線形独立解を与える

${\displaystyle z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),}$

したがって、| z | < 1 の一般解は

${\displaystyle k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

ここで、 k、lは定数です。 zの値が変化すると、異なる解が導出されます。実際には、複素平面上の異なる領域で有効な、様々な恒等式を用いて導出可能な、 クンマー解として知られる24種類の解があります。

aが非正の整数の場合、 −n、

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

は多項式です。定数倍とスケーリングを除けば、これらはヤコビ多項式です。定数倍を除く他のいくつかの直交多項式はヤコビ多項式の特別な場合であり、これらも₂ F ₁で表すことができます。これには、ルジャンドル多項式とチェビシェフ多項式が含まれます。

超幾何関数を使用して、さまざまな基本関数の積分を表現することができます。例:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.}$

シリーズ₂ F ₂

超幾何級数は一般に、べき関数と指数関数の積の積分と関連付けられます。したがって、指数積分は次のように表すことができます。 ${\displaystyle {}_{2}F_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=x{}_{2}F_{2}(1,1;2,2;x)+\ln x+\gamma .}$

シリーズ₃ F ₀

モット多項式は次のように書ける: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}}).}$

シリーズ₃ F ₂

機能

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$

は二重対数である^{[ 14 ]}

さらに、

${\displaystyle _{3}F_{2}(1,1,1+n;2,2;x)={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}{\frac {\operatorname {Li} _{2-k}(x)}{x}}}$ 、

ここで、 は第一種符号なしスターリング数である。 ^{[ 15 ]}${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}}$

機能

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)}$

はハーン多項式です。

シリーズ₄ F ₃

機能

${\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left(-n,a+b+c+d+n-1,a-t,a+t;a+b,a+c,a+d;1\right)}$

はウィルソン多項式です。

五次方程式のすべての根は、根号とブリング根号（ の実数解）で表すことができます。ブリング根号は次のように表すことができます。^{[ 16 ]}${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$

${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\;{}_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-{\frac {3125a^{4}}{256}}\right).}$

外部磁場のない2次元等方性イジングモデルの分配関数は1940年代にオンサガーによって発見され、次のように表される^{[ 17 ]。}${\displaystyle Z(K)}$

${\displaystyle \ln Z(K)=\ln(2\cosh 2K)-k^{2}{}_{4}F_{3}\left(1,1,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};2,2,2;16k^{2}\right),}$

およびと。 ${\displaystyle K={\frac {J}{k_{\mathrm {B} }T}}}$ ${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\tanh 2K\,\operatorname {sech} 2K}$

_q+1 F _q級数

機能

${\displaystyle \operatorname {Li} _{q}(z)=z\;{}_{q+1}F_{q}\left(1,1,\ldots ,1;2,2,\ldots ,2;z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-p}(z)=z\;{}_{p}F_{p-1}\left(2,2,\ldots ,2;1,1,\ldots ,1;z\right)}$

およびは多重対数です。 ${\displaystyle q\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$

n ≥ 2の各整数に対して、多項式x ⁿ − x + tの根は、最大でN −1個の_{n + 1} F _n型の超幾何関数の和として表すことができ、これは少なくとも1組のaとbのパラメータを除去することによって常に簡約することができます。^{[ 16 ]}

一般化

一般化された超幾何関数は、マイヤーの G 関数およびマクロバートの E 関数と結びついています。超幾何級数は、ポール・エミール・アペルやジョセフ・カンペ・ド・フェリエなどによって、複数の変数に一般化されましたが、同等の一般理論が現れるまでに長い時間がかかりました。多くの恒等式が見つかり、その中には非常に注目すべきものもありました。一般化であるq 級数の類似物である基本超幾何級数は、19 世紀後半にエドゥアルト・ハイネによって与えられました。ここで、連続する項の比として考えられるのは、 nの有理関数ではなく、 q ⁿの有理関数です。もう 1 つの一般化である楕円超幾何級数は、項の比がnの楕円関数(二重周期有理型関数)である級数です。

20世紀において、これは組合せ数学の実り豊かな分野であり、他の分野との多くの関連がありました。青本、イスラエル・ゲルファンドらによる一般超幾何関数の新しい定義が数多くあり、例えば複素N空間における複数の超平面の配置の組合せ論への応用もあります（超平面の配置を参照）。

特殊超幾何関数は、リーマン対称空間および半単純リー群上の帯球面関数として現れる。その重要性と役割は、次の例から理解できる。超幾何級数₂ F _1はルジャンドル多項式を特別なケースとして持ち、球面調和関数の形で考えると、これらの多項式はある意味で二球面の対称性、あるいはそれと同値なリー群SO(3)によって与えられる回転を反映する。この群の具体的な表現のテンソル積分解では、クレプシュ・ゴルダン係数が満たされ、これは₃ F ₂超幾何級数と表すことができる。

双対超幾何級数は、正の整数だけでなくすべての整数を合計する超幾何関数の一般化です。

フォックス・ライト関数は、一般化超幾何関数の一般化であり、級数表現のポッホハマー記号は、指数nの線形表現のガンマ関数に一般化されます。

参照

• アペルシリーズ
• ハンバート級数
• カンペ・ド・フェリエ機能
• ローリセラ超幾何級数

注記

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6. 証明については、( Slater 1966、セクション2.3.1)または( Bailey 1935 、セクション2.2)、あるいはProofWikiを参照してください。
7. パフ、JF [1797]. L. Euleri Institutiones Calculi Integralis による観察分析。 Vol. IV、補足。 II および IV、1793 年の歴史、Nova Acata Acad。サイ。ペトロポリタンエ。 XI、38-57。 (注: 歴史セクションは、このジャーナルの科学セクションとは別のページに掲載されています。)
8. 詳細な証明については( Bailey 1935 , 3.1節) を参照。別の証明は ( Slater 1966 , 2.3.3節)
9. Weisstein, Eric W. 「Dougall-Ramanujan Identity」 . mathworld.wolfram.com . 2025年3月13日閲覧。
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11. ワトソンの『ベッセル関数論』（1966年）第10.7節、式（10）
12. 「DLMF: §13.6 他の関数との関係 ‣ クンマー関数 ‣ 第13章 合流型超幾何関数」 . dlmf.nist.gov .
13. Erdélyi et al. 1955を参照。
14. Candan, Cagatay. 「F(1,1,1;2,2;x)=dilog(1-x)/x の簡単な証明」(PDF) .
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外部リンク

• この本「A = B」はインターネットから無料でダウンロードできます。
• 数学の世界
  • ワイスタイン、エリック W. 「一般化超幾何関数」。MathWorld 。
  • ワイスタイン、エリック W. 「超幾何関数」。MathWorld 。
  • ワイスタイン、エリック・W. 「第一種合流型超幾何関数」MathWorld。
  • ワイスタイン、エリック W. 「合流型超幾何極限関数」MathWorld。