幾何学において、双曲空間の等長変換群は、それが基本領域を適切に定義できる場合、幾何学的に有限で あるといわれる。双曲多様体は、幾何学的に有限な群で記述できる場合、 幾何学的に有限であるといわれる。
幾何学的に有限な多面体
双曲空間内の凸多面体C は、双曲空間の共形コンパクト化におけるその閉包C が次 の性質を持つ場合、幾何学的に有限であるといわれます。
- C内の各点xに対して、 xの近傍Uが存在し、 Uと交わるCのすべての面がxも通過します(Ratcliffe 1994、12.4)。
例えば、有限個の面を持つ多面体はすべて幾何学的に有限である。最大2次元の双曲空間では、すべての幾何学的に有限な多面体は有限個の辺を持つが、3次元以上では辺が無限に多い幾何学的に有限な多面体も存在する。例えば、n ≥ 2次元のユークリッド空間 R nには、無限個の辺を持つ多面体Pが存在する。R n +1におけるn +1次元双曲空間の上半平面モデルはR nに射影され、この射影によるPの逆像は無限個の辺を持つ幾何学的に有限な多面体である。
幾何学的に有限な多面体には、有限の数の尖端しかなく、有限個を除くすべての辺が尖端の 1 つと接します。
幾何学的に有限な群
双曲空間の等長変換の離散群Gは、凸かつ幾何学的に有限で正確な基本領域Cを持つ場合 (すべての面が、あるg ∈ Gに対してCとgCの交差である)、幾何学的に有限であると呼ばれます (Ratcliffe 1994、12.4)。
最大 3 次元の双曲空間では、幾何学的に有限な群のすべての正確な凸型基本多面体は有限個の辺しか持ちませんが、4 次元以上では無限個の辺を持つ例があります (Ratcliffe 1994、定理 12.4.6)。
最大 2 次元の双曲空間では、有限生成離散群は幾何学的に有限ですが、Greenberg (1966) は、3 次元の有限生成離散群が幾何学的に有限ではない例があることを示しました。
幾何学的に有限な多様体
双曲多様体は、有限個の成分を持ち、各成分が双曲空間を幾何学的に有限な離散等長変換群で割ったものである場合、幾何学的に有限であると呼ばれます(Ratcliffe 1994、12.7)。
参照
参考文献
- グリーンバーグ, L. (1966)、「クライン群の基本多面体」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、84 : 433– 441、doi :10.2307/1970456、ISSN 0003-486X、JSTOR 1970456、MR 0200446
- ラトクリフ、ジョン・G.（1994）、双曲多様体の基礎、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94348-0
