2体問題

Motion problem in classical mechanics

左：質量がほぼ同じ2つの天体が、両方の天体の外側にある共通の重心を周回し、楕円軌道を描いています。このモデルは連星の典型です。
右：質量がわずかに異なる2つの天体が、共通の重心を周回しています。これらの天体の大きさとこの軌道のタイプは、冥王星-カロン系（重心が両方の天体の外側にある）や地球-月系（重心が大きな天体の内側にある）に似ています

古典力学において、二体問題とは、宇宙空間で互いの周りを回る2つの質量の大きな物体の運動を計算し、予測することです。この問題では、2つの物体は互いにのみ相互作用する点粒子であると仮定しています。つまり、各物体に影響を与える力は、もう一方の物体からのみ発生し、他のすべての物体は無視されます。

古典二体問題の最も顕著な例は重力の場合（ケプラー問題も参照）であり、天文学において衛星、惑星、恒星などの物体の軌道（または軌道からの離脱）を予測するために生じます。このような系の2点粒子モデルは、ほぼ常にその挙動を十分に記述し、有用な洞察と予測を提供します

より単純な「一体」モデルである「中心力問題」では、一方の物体を他方の物体に作用する力の不動源として扱います。そして、残った唯一の移動物体の運動を予測しようとします。このような近似は、一方の物体が他方よりもはるかに質量が大きい場合（軽い惑星が重い恒星を周回している場合など、恒星は本質的に静止しているとみなせる場合）に有用な結果をもたらすことができます。

しかし、一体近似は通常、踏み石として使用する場合を除いて不要です。重力を含む多くの力について、一般的な二体問題は一対の一体問題に還元することができ、完全に解くことができ、効果的に使用できるほど単純な解が得られます。

対照的に、三体問題（およびより一般的にはn≥3のn体問題）は、特殊な場合を除いて、第一積分で解くことはできません。

著名なケースの結果

重力およびその他の逆二乗の例

二体問題は天文学において興味深い問題です。なぜなら、天体のペアはしばしば任意の方向に急速に移動している（そのため、その動きが興味深いものになる）、互いに大きく離れている（そのため衝突しない）、そして他の天体からさらに大きく離れている（そのため外部からの影響は安全に無視できるほど小さい）からです

重力の影響下では、このような物体のペアは、互いの質量中心を周回する楕円軌道を描く。ただし、互いに完全に逃れるほどの速度で運動している場合は、軌道は別の平面円錐曲線に沿って分岐する。一方の物体が他方の物体よりもはるかに重い場合、共通の質量中心に対する移動量は、他方の物体よりもはるかに小さい。質量中心は、大きい方の物体の内部にあることさえある。

この問題の解の導出については、古典的中心力問題またはケプラー問題を参照してください。

原理的には、重力だけでなく、逆二乗則に従う他の引力スカラー力場を介して相互作用する物体を含む巨視的問題にも同じ解が適用されます。静電引力は明らかな物理的な例です。実際には、このような問題はめったに発生しません。実験装置やその他の特殊な装置を除いて、衝突を回避するのに十分な速度と方向に移動している、または周囲から十分に隔離されている静電相互作用物体に遭遇することはめったにありません。

トルクの影響下にある二体系の力学系は、シュトゥルム・リウヴィル方程式であることがわかります。[ 1 ]

原子および素粒子への適用不可

二体系モデルは物体を点粒子として扱いますが、古典力学は巨視的スケールの系にのみ適用されます。素粒子のほとんどの挙動は、この記事の基礎となる古典的な仮定の下では、またはここでの数学を用いて予測すること はできません

原子内の電子は、ニールス・ボーアの初期の予想（これが「軌道」という用語の由来です）に従って、原子核の周りを「周回している」と説明されることがあります。しかし、電子は実際には意味のある意味で原子核の周りを周回しているわけではなく、電子の実際の挙動を有用に理解するには量子力学が不可欠です。原子核の周りを周回する電子の古典的な二体問題を解くことは誤解を招きやすく、多くの有用な洞察は得られません。

2つの独立した一体問題への還元

完全な二体問題は、2つの一体問題として再定式化することで解くことができます。1つは自明な問題、もう1つは外部ポテンシャル内の1つの粒子の運動を解く問題です。多くの一体問題は正確に解くことができるため、対応する二体問題も解くことができます

{\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}} — 二体問題のヤコビ座標。ヤコビ座標は、とで表されます。^[2] ${\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}$ ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$ $M=m_{1}+m_{2}\$

2つの物体のベクトル位置を $x 1$ と $x 2$ 、質量をm ₁とm ₂とします。目標は、初期位置 $x 1 (t = 0 )$ と $x 2 (t = 0 )$ 、初期速度 $v$ $1 ($ $t$ $=$ $0$ )と $v$ $2$ $($ $t$ $= 0$ $)$ が与えられたとき、すべての時刻tにおける軌道 $x 1$ $($ $t$ $)$ と $x$ $2$ $($ $t$ ) を決定することです。

2つの質量に適用すると、ニュートンの運動の第二法則は次のようになります。

\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}

式1

\mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}

式2

ここで、 F ₁₂は質量1と質量2の相互作用による力であり、F ₂₁は質量2と質量1の相互作用による力です。x位置ベクトルの上にある2つの点は、時間に関する2次微分、つまり加速度ベクトルを表します

これらの2つの方程式を加算および減算すると、2つの一体問題に分離され、独立に解くことができます。方程式(1)と( 2 )を加算すると、質量中心（重心）の運動を記述する方程式が得られます。対照的に、方程式(1)から方程式(2)を減算すると、質量間のベクトル $r$ $=$ $x$ $1$ $-$ $x$ $2$ が時間とともにどのように変化するかを記述する方程式が得られます。これらの独立した一体問題の解を組み合わせることで、軌道 $x$ $1$ $($ $t$ $)$ と $x$ $2$ $($ $t$ $)$ の解を得ることができます。

質量中心の運動（第1一体問題）

系の質量中心（重心）の位置をとします。力の方程式(1)と(2)を加算すると、次の式が得られます。ここで、ニュートンの第三法則 $F$ $12$ $= -$ $F$ $21$ を使用し、 $\mathbf {R}$ $m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$ ${\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$

結果として得られる方程式は、質量中心の速度が一定であることを示しており、全運動量 $m$ $1$ $v$ $1$ $+$ $m$ $2$ $v$ $2$ も一定であることがわかります（運動量保存則）。したがって、質量中心の位置 $R$ $($ $t$ $)$ は、初期位置と速度から常に決定できます。 ${\ddot {\mathbf {R} }}=0$ $\mathbf {v} ={\frac {dR}{dt}}$

変位ベクトル運動（第2の一体問題）

両方の力の方程式をそれぞれの質量で割り、最初の方程式から2番目の方程式を引き、整理すると、次の方程式が得られます。ここでも、ニュートンの第三法則 $F$ $12$ $= -$ $F$ $21$ を使用し、 $r$ は上記で定義したように、質量2から質量1への変位ベクトルです ${\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}$

2つの物体に由来する2つの物体間の力は、それらの絶対位置 $x$ $1$ と $x$ $2ではなく、それらの距離$ $r$ のみの関数であるべきです。そうでなければ、並進対称性は存在せず、物理法則は場所によって変化しなければなりません。したがって、減算された方程式は次のように書くことができます。ここで、は縮約質量です。 $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ $\mu$ $\mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$

$r (t)$ について方程式を解くことが、2体問題の鍵です。解は、によって定義される物体間の特定の力に依存します。が反二乗則に従う場合については、ケプラーの問題を参照してください。 $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$

$R (t)$ と $r (t)$ が決定されると、元の軌道を得ることができます。これは、 R とr の定義をこれらの2つの方程式の右辺に代入することで確認できます。 $\mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {R} (t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)$ $\mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {R} (t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)$

2体運動は平面運動です

2つの物体の互いに対する運動は、常に平面内（質量中心座標系内）にあります

証明：質量中心に対する系の線運動量 $p$ と角運動量 $Lを次の式で定義する$ $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \mu {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},$

ここで、 $μ$ は換算質量、 $r$ は相対位置 $r 2 - r 1$ です（これらは質量中心を原点として書き、したがって両方とも $rに平行です）。角運動量$ $L$ の変化率は正味トルク $N$ に等しく、ベクトル外積の性質を用いて、同じ方向を指す任意のベクトル v と w に対して v × w = 0 となります。 $\mathbf {N} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}\ ,$

$\mathbf {N} \ =\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,$ ここで、F = μ d 2 r / dt 2 です。

2つの粒子間の力はそれらの位置を結ぶ線に沿って力は $ニュートンの強い運動の$ 第3法則 $に$ 従うため、これに当てはまります）を導入すると、 $r$ $\times$ $F$ $=$ $0$ となり、角運動量ベクトル $L$ は一定（保存）となります。したがって、変位ベクトル $r$ とその速度 $v$ は、常に定数ベクトル $L$ に垂直な平面内にあります。

二体系のエネルギー

力 $F (r)が$ 保存力である場合、系は位置エネルギー $U (r)$ を持つため、全エネルギーは次のように表すことができます。 $E_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+U(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{1 \over 2}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )$

重心系では運動エネルギーは最も低く、全エネルギーは次のように表されます。座標 $x$ $1$ と $x$ $2$ は次のように表すことができます。同様に、エネルギーEは、各物体の運動エネルギーを個別に含むエネルギー $E$ $1$ と $E$ $2と関連しています。$ $E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )$ $\mathbf {x} _{1}={\frac {\mu }{m_{1}}}\mathbf {r}$ $\mathbf {x} _{2}=-{\frac {\mu }{m_{2}}}\mathbf {r}$ ${\begin{aligned}E_{1}&={\frac {\mu }{m_{1}}}E={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {\mu }{m_{1}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{2}&={\frac {\mu }{m_{2}}}E={\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+{\frac {\mu }{m_{2}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{\text{tot}}&=E_{1}+E_{2}\end{aligned}}$

中心力

多くの物理的問題において、力 $F (r)$ は中心力、つまりの形をとります。ここで $r$ $= |$ $r$ $|$ であり、 $r̂$ $=$ $r$ $/$ $r$ は対応する単位ベクトルです。つまり、次の式が成り立ちます。ここで、引力の場合、 $F$ $($ $r$ $)は負です。$ $\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}$ $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\ ,$

参照

参考文献

^ Luo, Siwei (2020年6月22日). 「二体系のシュトゥルム・リウヴィル問題」. Journal of Physics Communications . 4 (6): 061001.書誌コード:2020JPhCo...4f1001L. doi : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
^ David Betounes (2001).微分方程式. Springer. p. 58; 図2.15. ISBN 0-387-95140-7.

参考文献

Landau LD ; Lifshitz EM (1976). Mechanics (3rd. ed.). New York: Pergamon Press . ISBN 0-08-029141-4.
Goldstein H (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). New York: Addison-Wesley . ISBN 0-201-02918-9.

外部リンク

エリック・ワイスタインの物理学の世界における二体問題

[1] Luo, Siwei (2020年6月22日). 「二体系のシュトゥルム・リウヴィル問題」. Journal of Physics Communications . 4 (6): 061001.書誌コード:2020JPhCo...4f1001L. doi : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .

[Betounes-2] David Betounes (2001).微分方程式. Springer. p. 58; 図2.15. ISBN 0-387-95140-7.