数学の分野である幾何学的位相幾何学において、ハンドルボディとは多様体を標準的な断片に分解したものである。ハンドルボディは、モース理論、コボルディズム理論、高次元多様体の手術理論において重要な役割を果たしている。ハンドルは、特に3次元多様体の研究に用いられる。
ハンドルボディは、ホモトピー理論における単体複体やCW 複体と同様の役割を果たし、個々の部分とそれらの相互作用の観点から空間を分析することができます。
n次元ハンドルボディ
が境界を持つ次元多様体であり、
（ここで はn次元球面を表し、はn次元球面を表す）は埋め込みであり、境界を持つ次元多様体で ある。
から得られると言われている
ハンドルを取り付けることによって。境界は から の演算によって得られる。些細な例として、 0 ハンドルを取り付けることは球体との素な和集合を取ることであり、 に n ハンドルを取り付けることは の任意の球面成分に沿って球体を接着することである点に注意されたい 。モース理論は、ルネ・トムとジョン・ミルナーによって使用され、あらゆる多様体（境界の有無にかかわらず）がハンドルボディである、つまりハンドルの和集合として表現できることを証明した。この表現は一意ではない。ハンドルボディ分解の操作は、スメールのh-コボルディズム定理の証明、およびs-コボルディズム定理へのその一般化において不可欠な要素である。多様体は、r が最大で k である r-ハンドルの和集合である場合、「k-ハンドルボディ」と呼ばれる。これは多様体の次元と同じではない。たとえば、4 次元の 2-ハンドルボディは、0-ハンドル、1-ハンドル、および 2-ハンドルの和集合です。任意の多様体は n-ハンドルボディです。つまり、任意の多様体はハンドルの和集合です。多様体が (n-1)-ハンドルボディである場合、かつその多様体は空でない境界を持つ場合のみであることは容易にわかります。r-ハンドルを付加することは、ホモトピー同値性を除いて、r-セルを付加することと同じであるため、多様体の任意のハンドルボディ分解は、多様体のCW 複素分解を定義します。ただし、ハンドルボディ分解は、多様体のホモトピー型だけでなく、より多くの情報を提供します。たとえば、ハンドルボディ分解は、同相写像まで多様体を完全に記述します。4 次元では、付加するマップが滑らかである限り、滑らかな構造も記述します。これは、より高次元では偽です。任意のエキゾチック球は、0 ハンドルと n ハンドルの結合です。
3次元ハンドルボディ
ハンドルボディは、互いに素で適切に埋め込まれた2次元円板を含む、境界付き有向3次元多様体として定義できます。この円板に沿って切断すると、3次元球体が得られます。このプロセスを逆にしてハンドルボディを得る方法を想像してみると、理解が深まります。（この最後の定義では、有向可能性の仮説が省略され、有向性のないハンドルを持つ、より一般的な種類のハンドルボディが得られる場合もあります。）
ハンドルボディの種数は、その境界面の種数である。同相写像 を除いて、 任意の非負整数種数には、ハンドルボディが1つだけ存在する。
3次元多様体理論におけるハンドルボディの重要性は、ヒーガード分割との関連に由来する。幾何群論におけるハンドルボディの重要性は、その基本群が自由であるという事実に由来する。
3 次元のハンドルボディは、特に古い文献では、ハンドル付きの立方体と呼ばれることがあります。
例
G をn 次元ユークリッド空間に埋め込まれた連結有限グラフとする。Vをユークリッド空間におけるGの閉正則近傍とする。このとき、 Vは n 次元ハンドルボディである。グラフGはVのスパインと呼ばれる。
種数0のハンドルボディは、三球体B 3と同相である。種数1のハンドルボディは、B 2 × S 1（S 1は円）と同相であり、立体トーラスと呼ばれる。その他のハンドルボディは、立体トーラスの集合の 境界連結和をとることで得られる。
参照
参考文献
- 松本幸雄（2002）『モース理論入門』、数学モノグラフ翻訳集、第208巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1022-4、MR 1873233
