穴の議論

穴の議論の図解

ホール論証は、ドイツ生まれの物理学者アルベルト・アインシュタインによって展開された、一般共変性は重力場の方程式には適用できないという論証である。^[1]

アインシュタインのホール論法

通常の場の方程式では、場の発生源と境界条件が分かれば、あらゆる場所における場が決定されます。例えば、電流と電荷密度、そして適切な境界条件が与えられれば、マクスウェル方程式は電場と磁場を決定します。しかし、ベクトルポテンシャルはゲージの任意の選択に依存するため、マクスウェル方程式はベクトルポテンシャルを一意に決定するわけではありません。

アインシュタインは、重力方程式が一般に共変である場合、計量は時空の座標の関数としてその発生源によって一意に決定できないことに気付きました。例として、太陽などの重力源を考えてみましょう。すると、計量 g(r) によって記述される何らかの重力場があります。ここで、座標変換 r r' を実行します。ここで、r' は太陽の内部にある点に対して r と同じですが、太陽の外部では r' は r と異なります。太陽内部の座標記述は変換の影響を受けませんが、太陽の外部の新しい座標値に対する計量 g' の関数形式は変更されます。場の方程式の一般共変性により、この変換された計量 g' は、変換されていない座標系の解でもあります。 ${\displaystyle \to}$

これは、太陽という一つの源が、一見異なる複数の指標の源となり得ることを意味します。解決策は明白です。「ホール」変換のみが異なる二つの場は物理的に等価であり、ゲージ変換のみが異なる二つの異なるベクトルポテンシャルも物理的に等価であるのと同じです。したがって、これらの数学的に異なる解はすべて物理的に区別できず、場の方程式の唯一の同一の物理的解を表します。

この明らかなパラドックスには多くのバリエーションがあります。 1 つのバージョンでは、いくつかのデータを含む初期値曲面を考えて、時間の関数として計量を見つけます。次に、初期値曲面の未来に点を移動するが、初期曲面や無限遠の点には影響を与えない座標変換を実行します。結論としては、一般に共変な場の方程式は未来を一意に決定しない、ということが考えられます。なぜなら、この新しい座標変換された計量は、元の座標系における同じ場の方程式の等価的に有効な解だからです。つまり、初期値問題は一般相対性理論において一意に解を持ちません。これは電気力学でも同様です。明日のベクトル ポテンシャルにのみ影響を与えるゲージ変換を実行できるためです。どちらの場合も、解決策は追加の条件を使用してゲージを固定することです。

上記のアインシュタインのホール論法に反論する

アインシュタインの重力場方程式の導出は、1913年に彼が提唱したホール論証のために遅れた。^[2]しかし、問題は前述のようなものではなかった。1912年、アインシュタインが「座標の意味との格闘」と呼んだものを始めた頃には^[3]、彼は既に座標変換の影響を受けないテンソル方程式を求めることを知っていた。彼は既に重力場の形（すなわち四面体、フレーム場 、あるいは計量）と、与えられた重力場における物質の運動方程式（によって与えられる固有時を最大化することから導かれる）を発見していた。^[4]これは座標変換に対して不変であることは明らかである。 ${\displaystyle e_{\mu}^{I}(x)}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$ ${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }(x)dx^{\mu }dx^{\nu }}$

彼を悩ませたのは、彼の一般共変性の原理の結果であり、次のことから生じている。^[5]一般共変性は、物理法則はすべての参照フレーム（加速しているかどうかに関係なく）およびすべての座標系で同じ数学的形式をとるべきであると述べているため、重力場の場の方程式である微分方程式はすべての座標系で同じ数学的形式をとるべきである。言い換えると、座標と座標という 2 つの座標系が与えられている場合、一方では独立変数が でもう一方は独立変数が である場合を除いて、両方で解くべき微分方程式がまったく同じである。これは、場の方程式を解く座標系の計量関数が見つかれば、まったく同じ関数を書き、 を にすべて置き換えれば、座標系で場の方程式を解くことができるということを意味する。これら 2 つの解は同じ関数形式をとるが異なる座標系に属するため、異なる時空幾何学を課す。この2番目の解は座標変換によって最初の解と関連していないが、それでも解であることに注意されたい。ここにアインシュタインを非常に悩ませた問題がある。これらの座標系が 以降のみ異なる場合、2つの解が存在する。つまり、初期条件は同じだが、 以降は異なる幾何学的条件を課すことになる。この観察に基づき、アインシュタインは3年間を費やし、ヒルベルトとの熾烈な競争の中で、非一般共変な場の方程式を探し求めた。^[6]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t=0}$

より正確に言えば、アインシュタインは、物質の分布が、物質が存在しない時空の閉領域、すなわち「ホール」の外ではどこでも既知であるという状況を思い描いた。そして、場の方程式と境界条件を組み合わせることで、ホール内の計量場を決定できると想定された。そして、座標と空間座標はホール内では異なるが、ホール外では一致すると仮定する。そして、議論は上記の段落のように進む。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

これら 2 つの解は同じ関数形式を持つため、同じ値を仮定します。ただし、異なる場所で仮定するだけです。したがって、一方の解は、時空多様体上の計量関数を新しい構成にアクティブにドラッグすることによって、もう一方の解から得られます。これは微分同相写像として知られており、物理学者は座標変換 (受動微分同相写像) と区別するために能動微分同相写像と呼ぶこともあります。アインシュタインは、一般に共変でない場の方程式を見つけることができず、ホールの議論に戻って解決しました。それは基本的に、計量が時空多様体上でどのように局在しているかは物理的に無関係であり、時空座標で定義された個々の時空点はそれ自体では物理的な意味を持たない (これが多様体実体論の問題の源である) と主張することで、これら 2 つの解が物理的に等価であると受け入れることを意味していました。「場所」に意味を与えるために、アインシュタインは 2 つの粒子を導入することで上記の段落で示した状況を一般化しました。すると、（穴の中の）物理的な点は、それらが一致する世界線によって定義できる。これは、能動微分同相写像の下で、物質が計量と共に引きずり込まれるためである。これらの粒子の導入がなければ、（穴の中の）物理的な時空点を定義することはできない。「アインシュタインの解決」の節で後述するアインシュタインの引用を参照のこと。

座標不変性の意味

哲学的な視点を持つ人にとっては、まだ微妙な点が残っています。計量成分を一般相対性理論の力学変数とみなすと、方程式が座標不変であるという条件は、それ自体では意味を持ちません。すべての物理理論は、適切に定式化されれば、座標変換に対して不変です。マクスウェル方程式を任意の座標系で記述し、同じように未来を予測することも可能です。

しかし、任意の座標系で電磁気学を定式化するには、特定の座標系に縛られない時空幾何学の記述を導入する必要があります。この記述とは、あらゆる点における計量テンソル、つまり近傍のベクトルが平行であることを定義する接続です。導入された数学的対象であるミンコフスキー計量は、座標系によって形が変わりますが、力学の一部ではなく、運動方程式にも従いません。電磁場は、何が起こっても常に同じです。作用を受けることなく作用するのです。

一般相対性理論では、幾何学を記述するために使用される個々の局所量は、それ自体が局所力学場であり、独自の運動方程式を持つ。これは厳しい制約を生み出す。なぜなら、運動方程式は理にかなったものでなければならないからだ。運動方程式は初期条件から未来を決定し、小さな摂動に対して暴走不安定性を持たず、小さな偏差に対して正定値エネルギーを定義しなければならない。座標不変性が自明であるという見方をすれば、座標不変性の原理は、計量自体が動的であり、その運動方程式は固定された背景幾何学を含まないということを単に述べているに過ぎない。

アインシュタインの決意

1915 年、アインシュタインはホール論証が時空の性質について仮定を立てていることを認識しました。つまり、時空座標で定義された時空点における重力場の値 (単なる座標変換を除く) について語ることに意味があると仮定しているのです。より正確には、時空点における重力場の物理的特性、例えばそれが平坦か曲がっているか (これは重力場の座標に依存しない特性です) について語ることに意味があると仮定しているのです。この仮定を捨てることで、一般共変性は決定論と両立するようになりました。能動微分同相写像によって異なる 2 つの重力場は幾何学的には異なっているように見えますが、すべての粒子の軌道を再計算した後、それらの相互作用によって、すべての能動微分同相写像において重力場が同じ値を取る「物理的な」位置が明確に定義されます。^[7]（2つの計量が単なる座標変換によって互いに関連している場合、粒子の世界線は転置されないことに注意してください。これは、これらの計量の両方が同じ時空幾何学を課し、世界線が最大固有時間の軌道として幾何学的に定義されているためです。幾何学が変更され、軌道が修正されるのは、アクティブな微分同相写像の場合のみです。）これは、物理法則におけるゲージ不変性の原理の最初の明確な記述でした。

アインシュタインは、ホール論証は、位置と時間の唯一の意味のある定義は物質を通してのみであると示唆すると信じていました。時空内の点はそれ自体では意味を持ちません。なぜなら、そのような点に与えるラベルは未確定だからです。時空の点は、物質がその中を移動することによってのみ、物理的な意味を獲得するのです。彼の言葉を引用すると、

「我々の時空検証はすべて、時空一致の決定に帰着する。例えば、事象が単に物質点の運動によってのみ構成されるならば、究極的には、これらの点の2つ、あるいはそれ以上の会合以外には何も観測できないであろう。」^[8]

彼はこれを一般相対性理論の最も深い洞察とみなした。この洞察によれば、あらゆる理論の物理的内容は、それが許容する時空一致のカタログによって網羅される。ジョン・スタッチェルはこの原理を「点一致論証」と呼んだ。^[2]

一般的に、能動微分同相写像の下で不変であり、したがってゲージ不変であるのは、重力場の値と物質場の値が同じ「場所」にある場合の一致である。これは、能動微分同相写像の下では重力場と物質場が互いに引きずり合わされるためである。これらの一致から、物質が重力場に対して位置しているという概念を形成することができる。カルロ・ロヴェッリはこう述べている。「時空上にはもはや場はない。場の上にある場だけである。」^[5]これは「舞台は消え去り、役者の一人となる」という格言の真の意味である^{[説明が必要]}。物理学が展開される「容器」としての時空には客観的な物理的意味はなく、重力相互作用は世界を形成する場の一つとして表現される。

アインシュタインは自身の決意を「私の想像をはるかに超えるもの」と評した。

量子重力理論における背景独立性の示唆

ループ量子重力（LQG）は、古典一般相対論の基本原理と量子力学の最小限の本質的特徴を、新たな仮説を一切必要とせずに融合させようとする量子重力へのアプローチである。ループ量子重力物理学者は、背景独立性を重力量子化へのアプローチにおける中心的な信条とみなしている。これは、幾何学（＝重力）を真に量子化するためには量子理論によって保持されるべき古典的な対称性である。その直接的な帰結の一つは、LQGは紫外有限であるということである。なぜなら、小さな距離と大きな距離はゲージ同値であり、ある計量関数を、能動微分同相写像によって最初の計量関数に関連する別の計量関数に置き換えることができるからである。より正確な議論も可能である。^[9]あらゆる形態の物質が存在する場合の標準的なLQGの有限性の直接的な証明は、Thiemannによって与えられている。^{[10]しかし、ループ量子重力は、}好ましい参照系（「スピンフォーム」）を導入することによって背景独立性を破るという示唆もある^{（誰が？） 。 [要出典]}

摂動的な弦理論（およびいくつかの非摂動的な定式化）は、無限遠における境界条件に依存するため、「明らかに」背景に依存しない。これは、摂動的な一般相対論が「明らかに」背景に依存しないのと同様である。しかし、弦理論の一部の分野では、背景独立性が明白に表れる定式化が認められ、最も顕著な例としてはAdS/CFTが挙げられる。弦理論は一般に背景独立であると考えられているが、多くの有用な定式化ではそれが明白に表れていない。^[11]反対の見解については、スモーリンを参照のこと。^[12]

参照

• エーリッヒ・クレッチマン
• 空間と時間の哲学

参考文献

1. Stachel, John (2014). 「ホール論証といくつかの物理的・哲学的含意」. Living Reviews in Relativity . 17 (1): 1. Bibcode :2014LRR....17....1S. doi : 10.12942/lrr-2014-1 . ISSN  1433-8351. PMC 5253803.  PMID 28163626  .
2. Norton, John D.、「The Hole Argument」、The Stanford Encyclopedia of Philosophy、Edward N. Zalta（編）。
3. カルロ ロヴェッリ、『量子重力』、ケンブリッジ大学出版局、2007 年、65–66 ページ。
4. ロヴェッリの著書『量子重力』 65～66ページを参照。
5. ロヴェッリの著書『量子重力』を参照。
6. ロヴェッリの著書『量子重力』 68ページを参照。
7. ロヴェッリの著書『量子重力』 69ページの図を参照。
8. アインシュタイン、1916年、117ページ（ロヴェッリの著書『量子重力』 70ページに引用）。
9. Lee Smolin著「Recent Developments in Non-Perturbative Quantum Gravity」（arXiv : hep-th/9202022） 21ページ参照
10. トーマス・ティーマン『現代の正統量子一般相対性理論』ケンブリッジ大学出版局
11. Joe Polchinski による弦理論論争についての発言 (2014 年 7 月 10 日、Wayback Machineにアーカイブ) : 「弦理論では、たとえ使用されている言語が背景に依存していなくても、物理学は背景に依存しないことは常に明らかであり、より適切な言語の探求が続けられています。」
12. Lee Smolin、「背景独立性のケース」、arXiv : hep-th/0507235

出典

• アルバート・アインシュタイン、HAローレンツ、H.ワイル、H.ミンコフスキー、『相対性原理』 (1952年)：アインシュタイン、アルバート(1916)「一般相対性理論の基礎」、pp. 111–164。
• カルロ・ロヴェッリ著『量子重力』ケンブリッジ大学出版局（2004年）ISBN 0-521-83733-2暫定版はhttp://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdfから無料でダウンロードできます。
• ノートン、ジョン、「ホール論証」、スタンフォード哲学百科事典（2004 年春版）、エドワード N. ザルタ（編）
• レイ・ディンヴェルノ（1992年）『アインシュタインの相対性理論入門』オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-859686-3。セクション13.6 を参照してください。
• プランクスケールでの物理学と哲学の出会い（ケンブリッジ大学出版局）。
• ジョイ・クリスチャン『なぜ量子は重力に屈服しなければならないのか』、電子版はgr-qc/9810078で入手可能。『Physics Meets Philosophy at the Planck Scale』（ケンブリッジ大学出版）に収録。
• Carlo Rovelliと Marcus Gaul、「ループ量子重力と微分同相写像不変性の意味」、電子プリントは gr-qc/9910079 として入手可能。
• Robert Rynasiewicz：「ホール議論の教訓」、Brit.J.Phil.Sci. vol.45, no.2 (1994), pp.407–437。
• アラン・マクドナルド、「アインシュタインのホール議論」、 American Journal of Physics（2001年2月）第69巻第2号、pp.223-225。

外部リンク

• スタッヘル、ジョン、「ホールの議論といくつかの物理的および哲学的含意」、リビング・レヴ・レラティヴ。17 （ 1）（2014）。