正則接束

数学、特に複素幾何学において、複素多様体の正則接束は、滑らかな多様体の接束の正則な類似体である。点上の正則接束の繊維は正則接空間であり、これは、複素多様体の概複素構造を介して複素ベクトル空間の構造が与えられた、基礎となる滑らかな多様体の接空間である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M}$

意味

複素次元 の複素多様体 が与えられたとき、その滑らかなベクトル束としての接束は上の実階数ベクトル束となる。多様体上の複素構造に対応する可積分概複素構造は、という性質を持つ準同型である。実接束を に複素化した後、この準同型は内のベクトルに対して によって定義される準同型へと複素線型的に拡張できる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J:TM\to TM}$ ${\displaystyle J^{2}=-\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} \to M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J:TM\otimes \mathbb {C} \to TM\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle J(X+iY)=J(X)+iJ(Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle TM}$

は複素接線束上に固有値を持つので、直和として分解される。 ${\displaystyle J^{2}=-\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle i,-i}$ ${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} =T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M}$

ここでは-固有束、 は-固有束です。の正則接束はベクトル束、反正則接束はベクトル束 です。 ${\displaystyle T^{1,0}M}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T^{0,1}M}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{1,0}M}$ ${\displaystyle T^{0,1}M}$

ベクトル束 とは、当然ながら複素ベクトル束の複素ベクトル部分束であり、それらの双対をとることができます。正則余接束 は正則接束 の双対であり、 と書きます。同様に、反正則余接束 は反正則接束 の双対であり、 と書きます。正則（余）接束 と反正則（反正則）接束 は共役によって入れ替えられ、実線型（複素線型ではない！）同型 が得られます。 ${\displaystyle T^{1,0}M}$ ${\displaystyle T^{0,1}M}$ ${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$ ${\displaystyle T_{0,1}^{*}M}$ ${\displaystyle T^{1,0}M\to T^{0,1}M}$

正則接束は、階数の実ベクトル束として正則接束と同型である。この同型性は、複素化接束への包含と、それを -固有束へ射影することで得られる。 ${\displaystyle T^{1,0}M}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle TM\hookrightarrow TM\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {\operatorname {pr} _{1,0}}}T^{1,0}M}$ ${\displaystyle i}$

標準バンドルは によって定義されます。 ${\displaystyle K_{M}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}M}$

代替ローカル説明

の局所正則チャートにおいて、各 に対してによって定義される区別された実座標が存在する。これらは上の区別された複素数値1形式を与える。これらの複素数値1形式の双対は、複素数値ベクトル場（すなわち、複素化接束の切断）である。 ${\displaystyle \varphi =(z^{1},\dots ,z^{n}):U\to \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n},y^{1},\dots ,y^{n})}$ ${\displaystyle z^{j}=x^{j}+iy^{j}}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}-i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

これらのベクトル場は のフレームを形成し、複素接線束を に制限します。したがって、これらのベクトル場は複素接線束を2つの部分束に分割します。 ${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \left.T^{1,0}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\right\},\quad \left.T^{0,1}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\right\}.}$

正則座標変換の下では、 のこれら2つの部分束は保存されるので、正則チャートで覆うことで複素化接束の分割が得られる。これはまさに、前述の正則接束と反正則接束への分割である。同様に、複素数値1形式とは、複素化余接束を正則余接束と反正則余接束に 分割する。${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle dz^{j}}$ ${\displaystyle d{\bar {z}}^{j}}$

この観点から、正則接束という名称は明白になります。つまり、 によって生成された局所フレームを持つ正則接束の遷移関数は、の遷移関数のヤコビ行列によって与えられます。具体的には、 2つの座標系 を持つ2つのチャートがあるとすると、 ${\displaystyle \partial /\partial z^{j}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$ ${\displaystyle z^{j},w^{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial w^{k}}{\partial z^{j}}}{\frac {\partial }{\partial w^{k}}}.}$

座標関数は正則であるため、それらの微分も正則であり、したがって正則接束の遷移関数も正則である。したがって、正則接束は真の正則ベクトル束である。同様に、正則余接束は真の正則ベクトル束であり、遷移関数はヤコビ行列の逆転置によって与えられる。反正則接束と反正則余接束は正則遷移関数ではなく、反正則遷移関数を持つことに注意されたい。

記述された局所フレームの観点から見ると、ほぼ複素構造は次のように作用する。 ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\mapsto i{\frac {\partial }{\partial z^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\mapsto -i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}},}$

または実座標で

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\mapsto {\frac {\partial }{\partial y^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\mapsto -{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}$

正則ベクトル場と微分形式

正則接線束と正則余接線束は正則ベクトル束の構造を持つため、区別できる正則切断が存在します。正則ベクトル場はの正則切断です。正則 1 形式は の正則切断です。 の外冪をとることで、整数 の正則 -形式を定義できます。のコーシー・リーマン演算子は関数から複素数値微分形式に拡張することができ、正則余接線束の正則切断は によって消滅する複素数値微分 -形式と一致します。詳細については、複素微分形式を参照してください。 ${\displaystyle T^{1,0}M}$ ${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$ ${\displaystyle T_{1,0}^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (p,0)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

参照

• ほぼ複素多様体
• エルミート多様体

参考文献

• ハイブレヒト、ダニエル(2005)。複雑な幾何学: 入門。スプリンガー。ISBN 3-540-21290-6。
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、ISBN 978-0-471-05059-9、MR  1288523