自由表面流の計算方法

物理学において、自由表面流とは、垂直方向の応力ゼロと平行方向のせん断応力の両方を受ける流体の表面を指します。これは、容器内の水と地球の大気圏の空気のように、容器の開口面に境界を形成する 2つの均質流体の境界となることもあります。

自由表面の計算は、境界層の位置が連続的に変化するため複雑です。従来の計算方法ではこのような解析には不十分です。そのため、自由表面流れの計算には特別な方法が開発されています。

導入

開水路流れのように、自由かつ移動する境界を持つ流れの計算は困難な作業です。境界の位置は初期時点のみで既知であり、その後の時点における境界の位置は、界面追跡法や界面捕捉法などの様々な手法を用いて決定することができます。

境界条件

自由表面での 位相変化を無視すると、次の境界条件が適用されます。

運動学的条件

自由表面は2つの流体を隔てる明確な境界であるべきである。この境界を通過する流れはあってはならない。すなわち、

[ （ v − v b ） ⋅ n ] f s ＝ 0 、 {\displaystyle [(v-v_{b})\cdot n]_{fs}=0,} または
メートル ˙ f s ＝ 0 {\displaystyle {\dot {m}}_{fs}=0}

ここで、下付き文字は 自由表面を表します。これは、表面における流体の速度の法線成分が自由表面の 速度の法線成分に等しいことを意味します。 ◻ f s {\displaystyle \Box_{fs}}

動的条件

自由表面において流体に作用する力は釣り合い、すなわち自由表面において運動量が保存される。自由表面の両側における法線方向の力は等しく、方向が反対であり、接線方向の力は大きさと方向が等しくなければならない。

（ n ⋅ T ） l ⋅ n + σ K ＝ − （ n ⋅ T ） グラム ⋅ n 、 {\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot n+\sigma K=-(n\cdot T)_{g}\cdot n,}
（ n ⋅ T ） l ⋅ t − ∂ σ ∂ t ＝ （ n ⋅ T ） グラム ⋅ t 、 {\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot t-{\frac {\partial \sigma }{\partial t}}=(n\cdot T)_{g}\cdot t,}
（ n ⋅ T ） l ⋅ s − ∂ σ ∂ s ＝ （ n ⋅ T ） グラム ⋅ s 、 {\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot s-{\frac {\partial \sigma }{\partial s}}=(n\cdot T)_{g}\cdot s,}

ここで、σは表面張力、n、t、sは自由表面における局所直交座標系( n、t、s ) の単位ベクトルです（ nは自由表面に対して外向きの法線、他の2つは接線面にあり、互いに直交しています）。添え字「l 」と「g 」はそれぞれ液体と気体を表し、Kは自由表面の曲率です。

K ＝ 1 R t + 1 R s {\displaystyle K={\frac {1}{R_{t}}}+{\frac {1}{R_{s}}}}

ここで、R tとR s は、座標tとsに沿った曲率半径です。

表面張力σは 表面要素の単位長さあたりの力であり、自由表面に対して接線方向に作用します。

f σ ＝ σ   d l {\displaystyle f_{\sigma }=\sigma \ dl}

無限に小さい表面要素dSの場合、 σ = 定数 のときに表面張力の接線成分は打ち消され、法線成分は表面全体で圧力ジャンプを生じる局所的な力として表現できます。

計算方法

インターフェース追跡方法

これは、自由表面を鋭い界面として扱い、その動きを追跡する手法です。この手法では、境界適合格子が使用され、自由表面が移動するたびに格子が前進します。
界面追跡法は、水中物体周りの流れの計算などに役立ちます。これは、摂動を受けていない自由表面を線形化することで実現され、摂動を受けていない状態に対する自由表面の標高を表す高さ関数が導入されます。

Z ＝ H （ × 、 y 、 t ） {\displaystyle Z=H(x,y,t)}

これにより、運動学的境界条件が新しい形式になります。

∂ H ∂ t ＝ あなた z − あなた × ∂ H ∂ × − あなた y ∂ H ∂ y {\displaystyle {\dfrac {\partial H}{\partial t}}=u_{z}-u_{x}{\dfrac {\partial H}{\partial x}}-u_{y}{\dfrac {\partial H}{\partial y}}}

この式は積分可能であり、自由表面における流体の速度は、内部からの外挿、または動的境界条件を用いて求めることができます。流れの計算には、FV法が広く用いられています。このタイプの完全保存FV法の手順は以下のとおりです。

  • 指定された圧力を使用して、現在の自由表面での速度を取得するために運動量方程式を解きます。 あなた {\displaystyle u} 私 {\displaystyle i} ∗ {\displaystyle *}
  • 各CVにおいて、圧力補正方程式を解くことで局所的な質量保存則が適用されます。質量は全体的および局所的に保存されますが、自由表面では速度補正が行われ、質量流束はゼロではありません。
  • 運動学的境界条件を強制することにより、各自由表面セル面の動きによる体積流束で非ゼロの質量流束を補償するように、自由表面の位置が修正されます。
  • 連続性と運動量方程式を満たし、それ以上の修正が必要なくなるまで繰り返します。
  • 次のタイムステップに進みます。[1]

この手順におけるアルゴリズムの主な問題は、1つのセルに対して方程式が1つしかないのに、多数のグリッドノードが移動することです。不安定性と波の反射を回避するために、この手法は次のように修正されます。
前の手順から、質量保存則を満たすようにCVに流入または流出する流体の体積を計算できます。自由表面におけるCV頂点の座標を取得するには、各セルの体積流量が1つであるため、未知数が増え、方程式の数が少なくなります。

したがって、CVは頂点ではなくセル面の中心によって定義され、頂点は補間によって得られます。これは2次元の場合、三重対角行列系となり、 TDMA法を用いて解くことができます。3次元の場合、この系はブロック三重対角行列となり、反復ソルバーのいずれかを用いて解くのが最適です。

インターフェースキャプチャ方法

2 流体の流れの計算では、界面が複雑すぎて、再メッシュの頻度を許容レベルに保ちながら界面を追跡することが難しい場合があります。3D での再メッシュの頻度を削減できないと、メッシュ生成と投影のコストが膨大になり、界面追跡技術による計算が実行不可能になる可能性があります。このような場合、通常はコストのかかるメッシュ更新ステップを必要としない界面キャプチャ技術を、界面が界面追跡技術ほど正確に表現されないことを理解した上で使用できます。[2] 界面を明確な境界として定義しない方法。計算が実行される自由表面を超えて固定グリッドが拡張されます。自由表面の形状を決定するために、界面近くの各セルが部分的に満たされている割合が計算されます。

マーカーアンドセルまたはMACスキーム

MAC法は1965年にHarlowとWelchによって提案されました。この方法では、初期時間に質量ゼロの粒子を自由表面に導入します。この質量ゼロの粒子の運動を時間の経過と共に追跡します。

利点:この方式では、波の砕波などの複雑な現象を処理できます。

欠点: 3 次元フローでは、流体の流れを支配する方程式を解き、同時に多数のマーカーの動きを追跡するには、高い計算能力が必要です。

流体体積法またはVOF法

VOF法は1981年にヒルトとニコルズによって提案されました。この方法では、輸送方程式を解くことで、セル内の液相の割合を計算することができます。[3]輸送方程式は以下のとおりです。

⁠∂c/∂t⁠ + div(cv) = 0

ここで、cは制御体積の充填率です。制御体積が完全に充填されている場合はc=1、完全に空の場合はc=0です。
したがって、VOF法では、質量保存方程式、運動量保存方程式、そして各制御体積の充填率方程式という3つの方程式を解く必要があります。

注意: 非圧縮性の流れの場合、上記の式は c および 1 - c と同じ結果を与えるため、質量保存の強制が必須になります。

2 つの流体の人工的な混合を防ぐためには、低次スキームよりも高次スキームが優先されるため、条件 0 ≤ c ≤ 1 によるオーバーシュートとアンダーシュートを防ぐことが重要です。このような問題に対して、MAC スキームと VOF スキームに変更が加えられました。

MACおよびVOFスキームの変更

次の基準に従ってローカル グリッドの細分化が行われるマーカーおよびマイクロ セル方式:

0 < c < 1 のセルのみが精製されます。

この手法は境界上のセルのみを細分化するため、MAC法よりも効率的です。ただし、この手法では自由表面のプロファイルが明確に定義されません。

ハイブリッド方式

どちらのカテゴリにも属さない流体の流れも存在します。たとえば、気泡流などです。上で説明したどのカテゴリにも属さないこのような二相流の計算では、表面キャプチャ法と表面追跡法の両方の要素を借用します。このような方法はハイブリッド法と呼ばれます。この方法では、流体の特性は、インターフェースに垂直な一定数のグリッド ポイントに塗りつぶされます。ここで、インターフェース キャプチャ法と同様に、両方の流体は可変の特性を持つ単一の流体として扱われます。インターフェースは、フロー ソルバーによって生成された速度場を使用してマーカー パーティクルを移動することにより、塗りつぶされるのを防ぐために、インターフェース追跡法と同様に追跡されます。マーカー パーティクルは、それらの間のおおよその間隔を等しく保つことで、精度を維持するために追加および削除されます。

参考文献

  1. ^ Ferziger, Joel H., Milovan Perić. 流体力学の計算手法. 第3巻. ベルリン: Springer, 2002.
  2. ^ Tezduyar, T.「移動境界および界面の計算のための界面追跡および界面キャプチャリング技術」第6回世界計算力学会議議事録、オンライン出版：http://wccm [永久リンク切れ] . tuwien. ac. at/、論文ID. Vol. 81513. 2002.
  3. ^ Hirt, CW; Nichols, BD (1981), 自由境界のダイナミクスのための流体体積法（VOF法）、Journal of Computational Physics 39 (1): 201–225、Bibcode :1981JCoPh..39..201H、doi :10.1016/0021-9991(81)90145-5
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