アフィングラスマン多様体

数学において、体k上の代数群Gのアフィングラスマン多様体は、ループグループG ( k (( t ))) の旗多様体として考えられ、幾何学的佐竹対応として知られるものを通じてラングランズ双対群^L Gの表現論を記述する、有限次元スキームの余極限である ind-スキームです。

点の関数によるGrの定義

kを体とし、可換k代数の圏と集合の圏をそれぞれとで表す。米田の補題により、体k 上のスキームXはその点の関数によって決定される。この関数は、 A をXのA点の集合X ( A )に導く関数である。このとき、この関数はスキームXで表現可能であるといえる。アフィングラスマン多様体は、 k代数から集合への関数であり、それ自体は表現可能ではないが、表現可能な関数によるフィルタリングを持つ。そのため、スキームではないが、スキームの和集合と考えることができ、これを研究するために幾何学的手法を効果的に適用するにはこれで十分である。 $k{\text{-Alg}}$ $\mathrm {セット}$ $X:k{\text{-Alg}}\to \mathrm {Set}$

G をk上の代数群とする。アフィングラスマン多様体Gr _Gは、 k代数Aに( E , φ )の同型類の集合を関連付ける関数である。ここでEはSpec A [[ t ]]上のGの主同質空間であり、 φは Spec A (( t ))上で定義された、Eと自明なG束G × Spec A (( t )) との同型である。ボーヴィル–ラズロの定理により、 k上の代数曲線X、X上のk点xを固定し、E をX _A上のG束、φ を( X − x ) _A上の自明化とすることで、このデータを指定することもできます。Gが簡約群のとき、 Gr _Gは実際には ind-射影的、すなわち、射影スキームの帰納的極限です。

剰余類空間としての定義

k上の形式ローラン級数の体を、k上の形式冪級数の環をと表記する。全体にわたってEの自明化を選ぶことにより、 Gr _Gのk点の集合は剰余類空間と同一視される。 ${\mathcal {K}}=k((t))$ ${\mathcal {O}}=k[[t]]$ $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}$ $G({\mathcal {K}})/G({\mathcal {O}})$

参考文献

アレクサンダー・シュミット（2010年8月11日）『アフィン旗多様体と主束』シュプリンガー社、pp. 3– 6. ISBN 978-3-0346-0287-7. 2012年11月1日閲覧。