リーマン幾何学と計量幾何学の用語集

これはリーマン幾何学と計量幾何学で使用される用語の用語集です。微分位相幾何学の用語は扱っていません。

以下の記事も役に立つかもしれません。これらの記事には専門用語が含まれていたり、以下の定義のより詳しい説明が記載されています。

参照:

特に断りのない限り、以下の文字X、Y、Zは計量空間、M、Nはリーマン多様体、 | xy | はXにおける点xと点y間の距離を表します。斜体で書かれた単語は、この用語集への自己参照を示します。 | x y | X {\displaystyle |xy|_{X}}

注意:凸関数、凸集合など、リーマン幾何学や計量幾何学における多くの用語は、一般的な数学的用法とまったく同じ意味を持ちません。


あ

アフィン接続

アレクサンドロフ空間は、上限、下限、または整数曲率境界を持つリーマン多様体の一般化です (最後のものは次元 2 でのみ機能します)。

ほぼ平坦な多様体

円弧方向の等長変換はパス等長変換と同じです。

漸近円錐

自動平行は完全測地線と同じである。[1]

B

バナッハ空間

重心については、質量中心を参照してください。

双リプシッツ写像。Xの任意のxとyに対して、正の定数cとCが存在するとき、その写像は双リプシッツ写像と呼ばれる。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y}

c | x y | X ≤ | f ( x ) f ( y ) | Y ≤ C | x y | X . {\displaystyle c|xy|_{X}\leq |f(x)f(y)|_{Y}\leq C|xy|_{X}.}

無限遠における境界。一般に、無限遠における方向の空間とみなせる構成。幾何学的な例としては、双曲的境界、グロモフ境界、視覚的境界、ティッツ境界、サーストン境界などを参照。また、射影空間とコンパクト化も参照。

ブゼマン関数は、光線γ:[0,∞)→ Xが与えられたとき、次のように定義される。 B γ ( p ) = lim t → ∞ ( | γ ( t ) − p | − t ) . {\displaystyle B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to \infty }(|\gamma (t)-p|-t).}

C

カルタン接続

カルタン-アダマール空間は、完全で単連結な非正曲面リーマン多様体です。

カルタン・アダマールの定理は、非正の曲率を持つ連結かつ単連結な完全リーマン多様体が指数写像を介してR nに微分同相であるという主張である。距離空間の場合、アレクサンドロフの意味で非正の曲率を持つ連結かつ単連結な完全測地距離空間は（大域的に） CAT(0)空間であるという主張である。

カルタン (エリー)カルタン-アダマール多様体、カルタン部分代数、カルタン接続に名前が付けられた数学者(息子のアンリ カルタンと混同しないでください)。

C A T ( κ ) {\textstyle CAT(\kappa )} 空間

重心。ある点が関数の最小値をとる点である場合、 その点は重心[2]と呼ばれる。 q ∈ M {\textstyle q\in M} p 1 , p 2 , … , p k {\textstyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}

f ( x ) = ∑ i | p i x | 2 . {\displaystyle f(x)=\sum _{i}|p_{i}x|^{2}.}

すべての距離が凸半径より小さい場合、そのような点は一意です。 | p i p j | {\displaystyle |p_{i}p_{j}|}

チーガー定数

クリストッフェルのシンボル

粗い形状

崩壊する多様体

完全多様体リーマンのホップ・リノウ定理によれば、すべての測地線が無限に拡張できる場合のみ、リーマン多様体は距離空間として完全である。

完全計量空間

完了

複素双曲空間

等角写像は角度を保存する写像です。

多様体Mが共形平坦であるとは、それが局所的にユークリッド空間と共形的に等価である場合に言います。たとえば、標準球は共形平坦です。

共役点測地線上の2 つの点pとqは、 pとqに零点を持つヤコビ体が存在する場合に共役であると呼ばれます。 γ {\displaystyle \gamma } γ {\displaystyle \gamma }

繋がり

凸関数。リーマン多様体上の関数f が凸関数であるとは、任意の測地線に対して関数 が凸 となることである。関数fが -凸関数である自然パラメータ を持つ任意の測地線に対して関数 が凸 となることである。 γ {\displaystyle \gamma } f ∘ γ {\displaystyle f\circ \gamma } λ {\displaystyle \lambda } γ {\displaystyle \gamma } t {\displaystyle t} f ∘ γ ( t ) − λ t 2 {\displaystyle f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}}

凸リーマン多様体Mの部分集合Kは、 K内の任意の 2 点に対して、それらを結ぶ最短経路がK内にのみ存在する場合、凸と呼ばれます。完全凸も参照してください。

リーマン多様体のある点における凸半径は、（完全に）凸である を中心とする球体の半径の上限である。多様体の凸半径は、その点における凸半径の下限である。コンパクト多様体の場合、これは正の数である。[3]これらの球体におけるへの距離関数が凸であるという追加の条件が課されることもある。[4] p {\textstyle p} p {\textstyle p} p {\textstyle p}

余接束

共変微分

立方体複合体

カットローカス

D

距離空間の直径は、点のペア間の距離の上限です。

展開面は平面に 等角な面です

膨張はリプシッツ定数と同じです。

E

エアレスマン接続

アインシュタイン多様体

ユークリッド幾何学

指数写像 指数写像（リー理論）、指数写像（リーマン幾何学）

F

フィンスラー計量接空間上のスカラー積をノルムに置き換えたリーマン多様体の一般化。

埋め込みまたは浸漬の最初の基本形式は、計量テンソルの引き戻しです。

平坦多様体

G

測地線は距離を局所的に最小化する曲線です。

測地線方程式は、その局所解が測地線である微分方程式です。

測地線フローは、多様体Mの接線バンドルTM上の流れであり、軌跡が（測地線 ）の形式のベクトル場によって生成されます。 ( γ ( t ) , γ ′ ( t ) ) {\displaystyle (\gamma (t),\gamma '(t))} γ {\displaystyle \gamma }

グロモフ・ハウスドルフ収束

グロモフ双曲的距離空間

測地線距離空間は、任意の 2 点が最小化する測地線の端点となる距離空間です。

H

アダマール空間は非正曲率を持つ完全な単連結空間です。

ハウスドルフ次元

ハウスドルフ距離

ハウスドルフ測度

ヒルベルト空間

ヘルダー地図

ホロノミー群は、閉曲線に沿った 平行移動として得られる接空間の等長変換のサブグループです

Horosphere はBusemann 関数のレベル セットです。

双曲幾何学（リーマン双曲空間も参照）

双曲線リンク

私

リーマン多様体の点pにおける単射半径は、 pにおける指数写像が微分同相写像となる半径の上限である。リーマン多様体の単射半径は、すべての点における単射半径の下限である。[5]カットローカスも参照。

完全多様体では、 pにおける単射半径が有限数rであれば、 pで始まりpで終わる長さ 2 rの測地線が存在するか、 pと共役で（上記の共役点を参照）、 pから距離rにある点qが存在する。[6]閉じたリーマン多様体では、単射半径は閉じた測地線の最小の長さの半分か、測地線上の共役点間の最小距離のいずれかである。

インフラニルマニフォールド単連結な冪零リー群N が自身に左乗法で作用し、 Nの自己同型群Fが有限群として与えられれば、 Nへの半直積の作用を定義できる。N の軌道空間に離散部分群が作用し、その離散部分群がNに自由に作用するものをインフラニルマニフォールドという。インフラニルマニフォールドはニルマニフォールドによって有限被覆される。[7] N ⋊ F {\displaystyle N\rtimes F} N ⋊ F {\textstyle N\rtimes F}

等長埋め込みは、リーマン計量を保存する埋め込みです。

等長写像は距離を保存する射影写像です。

計量空間の等周関数は、「整流可能なループがその長さに関してどれだけ効率的に粗縮約可能か」を測定する。有限表示のケーリー2複体の場合、等周関数は群表示のデーン関数と同値である。等周関数は準等長写像に対して不変である。[8] X {\textstyle X}

固有のメトリック

J

ヤコビ場ヤコビ場は測地線γ上のベクトル場であり、次のように得られる。 の滑らかな1パラメータ測地線族をとると、ヤコビ場は次のように記述される。 γ τ {\displaystyle \gamma _{\tau }} γ 0 = γ {\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }

J ( t ) = ∂ γ τ ( t ) ∂ τ | τ = 0 . {\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}.}

ジョーダン曲線

K

ケーラー・アインシュタイン計量

ケーラー計量

キリングベクトルフィールド

コズルコネクション

L

長さメトリックは固有メトリックと同じです。

長さスペース

レヴィ・チヴィタ接続は、リーマン多様体上のベクトル場を微分する自然な方法です。

線形接続

リンク

マップのLipschitz 定数は、与えられたマップがL - Lipschitzとなるような数Lの最小値です。

リプシッツ収束は、リプシッツ距離によって定義される距離空間の収束です。

計量空間間のリプシッツ距離は、これらの空間間に定数exp(-r)、exp(r)を持つ全単射双リプシッツ写像が存在するような数rの最小値である。 [9]

リプシッツ地図

局所対称空間

対数写像、あるいは対数は指数写像の右逆である。[10] [11]

M

平均曲率

メトリックボール

計量テンソル

ミンコフスキー空間

最小曲面は、平均曲率（のベクトル）がゼロの部分多様体です。

モストウの剛性次元では、コンパクト双曲多様体は基本群によって分類されます。 ≥ 3 {\textstyle \geq 3}

北

自然媒介変数化は長さによる媒介変数化である。[12]

ネット距離空間Xの部分集合Sが-ネットであるとは、 Xの任意の点に対して距離Sの点が存在することを意味する。[13]これは、極限を一般化する位相ネット とは異なる。 ϵ {\textstyle \epsilon } ≤ ϵ {\textstyle \leq \epsilon }

ニルマニフォールド：点を含む多様体の最小集合の元であり、以下の性質を持つ：ニルマニフォールド上の任意の有向- 束はニルマニフォールドである。また、連結冪零リー群の格子による因子として定義することもできる。 S 1 {\displaystyle S^{1}}

法線バンドル: 多様体Mを周囲ユークリッド空間に、法線バンドルは、各点pにおけるファイバーが接空間の直交補空間 ( 内) である。 R N {\textstyle {\mathbb {R} }^{N}} R N {\textstyle {\mathbb {R} }^{N}} T p M {\textstyle T_{p}M}

非拡張マップはショートマップと同じです。

お

オービフォールド

直交フレームバンドルは、リーマン計量に対して直交する接空間の基底のバンドルです。

P

平行輸送

パスアイソメトリ

プレヒルベルト空間

ポーランドのスペース

多面体空間は、誘導された計量を持つ各単体がユークリッド空間の単体と等長であるような計量を持つ単体複合体です。

主曲率は、表面上の点における最大法曲率と最小法曲率です。

主方向は主曲率の方向です。

製品メトリック

積リーマン多様体

真計量空間とは、すべての閉球がコンパクトとなるような計量空間である。同様に、すべての閉有界部分集合がコンパクトとなる場合も同様である。すべての真計量空間は完備となる。[14]

擬リーマン多様体

質問

距離空間の準凸部分空間とは、すべての に対して、すべての測地線分に対して、すべての に対してとなるような部分集合のことである。[ 15] X {\textstyle X} Y ⊆ X {\textstyle Y\subseteq X} K ≥ 0 {\textstyle K\geq 0} y , y ′ ∈ Y {\textstyle y,y'\in Y} [ y , y ′ ] {\textstyle [y,y']} z ∈ [ y , y ′ ] {\textstyle z\in [y,y']} d ( z , Y ) ≤ K {\textstyle d(z,Y)\leq K}

準測地線には2つの意味があるが、ここでは最も一般的な意味を述べる。写像（ただし、 は部分区間）は、定数とが存在し、任意の f : I → Y {\displaystyle f:I\to Y} I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } K ≥ 1 {\displaystyle K\geq 1} C ≥ 0 {\displaystyle C\geq 0} x , y ∈ I {\displaystyle x,y\in I}

1 K d ( x , y ) − C ≤ d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ K d ( x , y ) + C . {\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}

準測地線は必ずしも連続した曲線ではないことに注意してください。

準等長写像。定数とが 存在し、 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} K ≥ 1 {\displaystyle K\geq 1} C ≥ 0 {\displaystyle C\geq 0}

1 K d ( x , y ) − C ≤ d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ K d ( x , y ) + C . {\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}

Yの任意の点は、f ( X )の任意の点から最大C の距離を持ちます。準等長写像は連続であるとは仮定されないことに注意してください。例えば、コンパクト距離空間間の写像はどれも準等長写像です。X から Y への準等長写像が存在する場合、X と Y は準等長写像であると言われます。

R

計量空間の半径は、その空間を完全に包含する計量球の半径の最小値である。[16]

光線は各区間で最小となる片側無限測地線である。[17]

本物の木

整流可能な曲線

リッチ曲率

リーマン リーマン幾何学の名前の由来となった数学者。

リーマン角

リーマン曲率テンソルは、リーマン多様体の接束の (4, 0) テンソルとして、およびとして定義さ(慣例によっては、およびは逆の場合もあります)。 ( M , g ) {\textstyle (M,g)} R p ( X , Y , Z ) W = g p ( ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z , W ) , {\displaystyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})},} p ∈ M {\textstyle p\in M} X , Y , Z , W ∈ T p M {\textstyle X,Y,Z,W\in T_{p}M} X {\textstyle X} Y {\textstyle Y}

リーマン双曲空間

リーマン多様体

リーマン部分多様体リーマン計量が周囲のリーマン計量の制限である微分可能な部分多様体（部分リーマン多様体と混同しないでください）。

リーマン沈み込みは、リーマン多様体間の写像であり、同時に 沈み込みとサブメトリックです。

S

スカラー曲率

第二基本形式は超曲面の接空間上の二次形式であり、通常IIと表記され、超曲面の 形状作用素を記述するのと同等の方法である。

II ( v , w ) = ⟨ S ( v ) , w ⟩ . {\displaystyle {\text{II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle .}

これは任意の余次元に一般化することもでき、その場合には通常の空間に値を持つ二次形式になります。

2 つの線形独立ベクトルが張る 2 平面に沿ったリーマン多様体の点における断面曲率は、 という数です。ここで、は曲率テンソルで、はリーマン計量です。 p {\textstyle p} M {\textstyle M} u , v ∈ T p M {\textstyle u,v\in T_{p}M} σ p ( V e c t ( u , v ) ) = R p ( u , v , v , u ) g p ( u , u ) g p ( v , v ) − g p ( u , v ) 2 {\displaystyle \sigma _{p}({Vect}(u,v))={\frac {R_{p}(u,v,v,u)}{g_{p}(u,u)g_{p}(v,v)-g_{p}(u,v)^{2}}}} R p {\textstyle R_{p}} R p ( X , Y , Z ) W = g p ( ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z , W ) {\textstyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})}} g p {\textstyle {g_{p}}}

超曲面Mの形状作用素は接空間上の線型作用素S p :  T p M → T p Mである。nがMの単位法線場であり、 vが接ベクトルであるとき、

S ( v ) = ± ∇ v n {\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}

(定義において + を使用するか - を使用するかについて標準的な合意はありません)。

ショートマップは距離が増加しないマップです。

滑らかな多様体

ソル多様体は、格子によって連結された可解なリー群の因子です。

球面幾何学

部分写像距離空間間の短い写像fは、R > 0が存在し、任意の点xと半径r < Rに対して、計量r球体の像がr球体、すなわち部分リーマン多様体であるとき、部分写像と呼ばれる[18]。 f ( B r ( x ) ) = B r ( f ( x ) ) . {\displaystyle f(B_{r}(x))=B_{r}(f(x)).}

対称空間リーマン対称空間は、任意の点における測地線反射が等長変換となるリーマン多様体である。これらは、実リー群を、測地線対称性を微分することによって得られる反転の固定部分代数であるリー代数を持つ最大コンパクト部分群で割った値となる。この代数的データは、リーマン対称空間の分類を与えるのに十分である。

収縮期Mのk 収縮期は、ゼロに相同でない kサイクルの最小容積です s y s t k ( M ) {\textstyle syst_{k}(M)}

T

接線束

接線円錐

サーストンの幾何学サーストンの幾何学化予想によって予測さ 、ペレルマンによって証明された 8 つの 3 次元幾何学:、、、、、、、、、および。 S 3 {\textstyle \mathbb {S} ^{3}} R × S 2 {\textstyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{2}} R 3 {\textstyle \mathbb {R} ^{3}} R × H 2 {\textstyle \mathbb {R} \times \mathbb {H} ^{2}} H 3 {\textstyle \mathbb {H} ^{3}} S o l {\displaystyle \mathrm {Sol} } N i l {\displaystyle \mathrm {Nil} } P S L ~ 2 ( R ) {\textstyle {\widetilde {PSL}}_{2}(\mathbb {R} )}

おっぱいの境界

完全に凸リーマン多様体Mの部分集合Kは、 K内の任意の2点に対して、それらを結ぶ測地線が完全にKに含まれるとき、完全に凸と呼ばれる。凸も参照。[19]

完全測地線部分多様体とは、その部分多様体内のすべての測地線が周囲の多様体の測地線でもあるような部分多様体である。[20]

樹木を基調とした空間

あなた

一意に測地線である距離空間は、任意の 2 点が一意に最小化する測地線の端点となる距離空間です。

V

変化

ボリューム形式

W

グループ上の単語メトリックは、一連のジェネレータを使用して構築された Cayley グラフのメトリックです

参考文献

  1. ^ 小林昭七・野水克己 (1963). 「第7章 部分多様体、8. 自己平行部分多様体と完全測地線部分多様体」.微分幾何学の基礎. インターサイエンス出版社, ニューヨーク, pp.  53– 62. ISBN 978-0-471-15732-8. Zbl  0175.48504. {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
  2. ^ Mancinelli, Claudio; Puppo, Enrico (2023-06-01). 「メッシュ上のリーマン重心の計算」. Computer Aided Geometric Design . 103 102203. doi : 10.1016/j.cagd.2023.102203 . ISSN  0167-8396.
  3. ^ シルベストル、ガロット;フーリン、ドミニク。ラフォンテーヌ、ジャック (2004)、ガロット、シルベストル。フーリン、ドミニク。 Lafontaine、Jacques (編)、「Riemannian metrics」、Riemannian Geometry、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、Remark after Proof of Corollary 2.89、p.87、doi :10.1007/978-3-642-18855-8_2、ISBN 978-3-642-18855-8、 2024年11月28日閲覧
  4. ^ Petersen, Peter (2016), Petersen, Peter (ed.), "Sectional Curvature Comparison I" , Riemannian Geometry , Graduate Texts in Mathematics, vol. 171, Cham: Springer International Publishing, Theorem 6.4.8, pp. 258-259, doi :10.1007/978-3-319-26654-1_6, ISBN 978-3-319-26654-1、 2024年11月29日閲覧
  5. ^ Lee, Jeffrey M. (2009). 「13. リーマン幾何学と半リーマン幾何学、定義 13.141」.多様体と微分幾何学. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会 (AMS). p. 615. ISBN 978-0-8218-4815-9. Zbl  1190.58001。
  6. ^ シルベストル、ガロット;フーリン、ドミニク。ラフォンテーヌ、ジャック (2004)、ガロット、シルベストル。フーリン、ドミニク。 Lafontaine、Jacques (編)、「曲率」、リーマン幾何学、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、Scholium 3.78、doi :10.1007/978-3-642-18855-8_3、ISBN 978-3-642-18855-8、 2024年11月28日閲覧
  7. ^ ハーシュ、モリス・W. (1970). 「展開写像と変換群」.大域解析. 純粋数学シンポジウム紀要. 第14巻. pp.  125– 131. doi :10.1090/pspum/014/0298701. ISBN 978-0-8218-1414-7. Zbl  0223.58009.
  8. ^ Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Bridson, Martin R.; Haefliger, André (eds.), "δ-双曲空間と面積" , Metric Spaces of Non-Positive Curvature , Berlin, Heidelberg: Springer, 2. Area and isoperimetric inequalities, pp. 414 – 417, doi :10.1007/978-3-662-12494-9_21, ISBN 978-3-662-12494-9、 2024年12月23日閲覧
  9. ^ ブラゴ、ドミトリ;ブラゴ、ユリイ。イワノフ、セルゲイ (2001)。計量幾何学のコース。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会 (AMS)。第 7 章、§7.2、249 ～ 250 ページ。ISBN 0-8218-2129-6. Zbl  0981.51016。
  10. ^ ブラゴ、ドミトリ;ブラゴ、ユリイ。イワノフ、セルゲイ (2001)。計量幾何学のコース。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会 (AMS)。第 9 章、§9.1、321 ～ 322 ページ。ISBN 0-8218-2129-6. Zbl  0981.51016。
  11. ^ ラング、セルジュ (1999). 「微分幾何学の基礎」 .大学院数学テキスト. 191.第12章 半負曲率の例, p. 323. doi :10.1007/978-1-4612-0541-8. ISBN 978-1-4612-6810-9. ISSN  0072-5285.
  12. ^ ブラゴ、ドミトリ;ブラゴ、ユリイ。イワノフ、セルゲイ (2001)。計量幾何学のコース。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会 (AMS)。第 2 章、§2.5.1、定義 2.5.7。ISBN 0-8218-2129-6. Zbl  0981.51016。
  13. ^ ブラゴ、ドミトリ;ブラゴ、ユリイ。イワノフ、セルゲイ (2001)。計量幾何学のコース。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会 (AMS)。第 1 章、§1.6、定義 1.6.1、p. 13.ISBN​ 0-8218-2129-6. Zbl  0981.51016。
  14. ^ Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Bridson, Martin R.; Haefliger, André (eds.), "Basic Concepts" , Metric Spaces of Non-Positive Curvature , Berlin, Heidelberg: Springer, Chapter I.1, § Metric Spaces, Definitions 1.1, p. 2, doi :10.1007/978-3-662-12494-9_1, ISBN 978-3-662-12494-9、 2024年11月29日閲覧
  15. ^ マーティン・R・ブリッドソン; Haefliger、André (1999)、Bridson、Martin R.; Haefliger、André (編)、「非正曲率と群理論」、非正曲率の計量空間、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、定義 3.4、p. 460、土井：10.1007/978-3-662-12494-9_22、ISBN 978-3-662-12494-9、 2024年12月23日閲覧
  16. ^ ブラゴ、ドミトリ;ブラゴ、ユリイ。イワノフ、セルゲイ (2001)。計量幾何学のコース。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会 (AMS)。第 10 章、§10.4、演習 10.4.5、p. 366.ISBN​ 0-8218-2129-6. Zbl  0981.51016。
  17. ^ Petersen, Peter (2016). 「リーマン幾何学」 .大学院数学テキスト. 171.第7章, §7.3.1 光線と直線, p. 298. doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. ISSN  0072-5285.
  18. ^ Berestovskii, VN (1987-07-01). 「負の曲率を持つ空間形式の部分空間距離」 .シベリア数学ジャーナル. 28 (4): 552– 562. Bibcode :1987SibMJ..28..552B. doi :10.1007/BF00973842. ISSN  1573-9260.
  19. ^ Petersen, Peter (2016). 「リーマン幾何学」 .大学院数学テキスト. 171.第12章, §12.4 魂の定理, p. 463. doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. ISSN  0072-5285.
  20. ^ シルベストル、ガロット;フーリン、ドミニク。ラフォンテーヌ、ジャック (2004)。「リーマン幾何学」。大学テキスト。第 2 章、§2.C.1、定義 2.80 の 2、p.82。土井：10.1007/978-3-642-18855-8。ISBN 978-3-540-20493-0. ISSN  0172-5939.
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