不変部分空間問題

数学における部分的に未解決の問題

{\displaystyle x} — ベクトルは行列の固有ベクトルです。非自明な複素有限次元ベクトル空間上のすべての作用素は固有ベクトルを持ち、これらの空間の不変部分空間問題を解きます $x$ $A$

関数解析として知られる数学の分野において、不変部分空間問題は部分的に未解決の問題であり、複素バナッハ空間上のすべての有界作用素が、それ自身に何らかの非自明な閉部分空間を投影するかどうかを問うものである。この問題には、考慮される有界作用素のクラスを限定したり、バナッハ空間の特定のクラスを指定したりすることで、多くの変種が解決されてきた。この問題は可分ヒルベルト空間に対しては未解決である（言い換えれば、これまでに見出された、非自明な不変部分空間を持たない作用素の例は、可分ヒルベルト空間と同型ではないバナッハ空間に作用する作用素である）。

歴史

この問題は、コンパクト作用素の場合の肯定的な解を発見した（しかし公表はされなかった）ボーリングとフォン・ノイマン[ ^1]の研究の後、20世紀半ばに提起されたようです。その後、ポール・ハルモスによって、がコンパクトであるような作用素の場合について提起されました。これは、より一般的な多項式コンパクト作用素のクラス（適切に選ばれた非零多項式に対してがコンパクト作用素であるような作用素）に対して、1966年にアレン・R・バーンスタインとアブラハム・ロビンソンによって肯定的に解決されました（証明の要約については、「非標準解析」§「不変部分空間問題」を参照）。 $T$ $T^{2}$ $T$ $p(T)$ $p$

バナッハ空間において、不変部分空間を持たない作用素の最初の例は、ペル・エンフロによって構築された。彼は1975年に不変部分空間問題に対する反例を提示し、1976年に概要を発表した。エンフロは1981年に論文全文を提出したが、その複雑さと長さのために出版は1987年まで延期された。^[2]エンフロの長大な「原稿は数学者の間で世界中に広まり」^[1]、そのアイデアの一部はエンフロ（1976）以外の出版物でも発表された。^[3]エンフロの研究は、例えばベルナール・ボーザミーによる不変部分空間を持たない作用素の同様の構築に影響を与え、ボーザミーはエンフロのアイデアを認めた。^[2]

1990年代に、エンフロはヒルベルト空間上の不変部分空間問題に対する「構成的」アプローチを開発した。^[4]

2023年5月にEnfloのプレプリントがarXivに掲載され^[5]、これが正しければヒルベルト空間の問題が解かれ、全体像が完成する。^{[一次資料以外が必要]}

2023年7月、ネヴィルの2番目の独立したプレプリントがarXivに登場し、^[6]可分ヒルベルト空間の問題の解決策を主張した。^{[一次資料以外が必要]}

正確な記述

正式には、次元 > 1 の複素バナッハ空間の不変部分空間問題は、すべての有界線型作用素が非自明な閉 -不変部分空間、すなわちの閉線型部分空間で、とが異なり、となるものを持つかどうかという問題です $H$ $T:H\to H$ $T$ $W$ $H$ $\{0\}$ $H$ $T(W)\subset W$

この問題に対する否定的な答えは、軌道の特性と密接に関係しています。がバナッハ空間の元である場合、の作用によるの軌道( と表記)は、数列によって生成される部分空間です。これは、によって生成される-巡回部分空間とも呼ばれます。定義から、は-不変部分空間であることがわかります。さらに、はを含む最小の-不変部分空間です。がを含む別の不変部分空間である場合、すべてのに対して必然的にとなり(は -不変であるため)、となります。がゼロでない場合、はと等しくないため、その閉包は空間全体(その場合はに対して巡回ベクトルであるという) か、非自明な -不変部分空間のいずれかになります。したがって、不変部分空間問題に対する反例は、バナッハ空間と、すべての非ゼロベクトルがに対して巡回ベクトルとなる有界演算子になります。 (ここで、バナッハ空間上の演算子の「巡回ベクトル」とは、の軌道がに稠密であるベクトルを意味します。) $T$ $x$ $H$ $x$ $T$ $[x]$ $\{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}$ $T$ $x$ $[x]$ $T$ $T$ $x$ $W$ $x$ $T^{n}(x)\in W$ $n\geq 0$ $W$ $T$ $[x]\subset W$ $x$ $[x]$ $\{0\}$ $H$ $x$ $T$ $T$ $H$ $T:H\to H$ $x\in H$ $T$ $x$ $T$ $H$ $[x]$ $x$ $H$

既知の特殊な場合

可分ヒルベルト空間の不変部分空間問題の場合は未解決ですが、位相ベクトル空間（複素数体上）の場合は他のいくつかのケースが解決されています

有限次元複素ベクトル空間では、すべての演算子は固有ベクトルを許容するため、1 次元の不変部分空間を持ちます。
この予想は、ヒルベルト空間が可分でない場合（つまり、非可算な直交基底を持つ場合）、真である。実際、がの非零ベクトルである場合、線型軌道のノルム閉包は（構成により）可分であり、したがって真部分空間かつ不変である。 $H$ $x$ $H$ $[x]$
フォン・ノイマンは、少なくとも2次元のヒルベルト空間上の任意のコンパクト演算子には非自明な不変部分空間があることを示した^{[7] 。}
スペクトル定理は、すべての正規演算子が不変部分空間を許容することを示しています。
Aronszajn & Smith (1954) は、少なくとも 2 次元の任意のバナッハ空間上のすべてのコンパクト演算子には不変部分空間があることを証明しました。
バーンスタインとロビンソン (1966) は、非標準解析を用いて、ヒルベルト空間上の作用素が多項式コンパクト（言い換えれば、ある非零多項式に対してがコンパクト）であるならば、不変部分空間が存在することを証明した。彼らの証明は、無限次元ヒルベルト空間を超有限- 次元ヒルベルト空間に埋め込むという独自のアイデアを用いている（非標準解析#不変部分空間問題を参照）。 $T$ $p(T)$ $p$ $T$
ハルモス (1966) は、ロビンソンのプレプリントを見た後、非標準的な分析を削除し、同じ雑誌の同じ号でより短い証明を提供しました。
ロモノソフ (1973) は、シャウダー不動点定理を用いて、バナッハ空間上の作用素が非零コンパクト作用素と可換である場合、非自明な不変部分空間を持つことを非常に簡潔に証明した。これは、作用素が任意の多項式自身と可換であるため、多項式コンパクト作用素の場合も含む。より一般的には、彼は、非零コンパクト作用素と可換な非スカラー作用素と可換である場合、不変部分空間を持つことを示した。^[8] $T$ $T$ $S$ $T$ $S$
非自明な不変部分空間を持たないバナッハ空間上の演算子の最初の例は、 Per Enflo (1976、1987) によって発見され、彼の例は Beauzamy (1985) によって簡略化されました。
「古典的な」バナッハ空間に関する最初の反例は、不変部分空間を持たない古典的なバナッハ空間上の演算子を記述したチャールズ・リード (1984、1985)によって発見されました。 $l_{1}$
その後、チャールズ・リード(1988) は、非自明な不変閉集合さえも持たない上の演算子を構築しました。つまり、すべてのベクトルに対して集合は稠密であり、その場合、ベクトルは超巡回と呼ばれます(巡回ベクトルの場合との違いは、この場合は点によって生成される部分空間を取らないことです)。 $l_{1}$ $x$ $\{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}$ $\{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}$
Atzmon(1983)は、核フレシェ空間上の不変部分空間を持たない演算子の例を示した。
Śliwa (2008) は、非アルキメデス体上の可算型の任意の無限次元バナッハ空間は、非自明な閉不変部分空間を持たない有界線型作用素を許容することを証明した。これは、1992年に van Rooij と Schikhof によって提起されたこの問題の非アルキメデス版を完全に解決するものである。
Argyros & Haydon (2011) は、すべての連続演算子がコンパクト演算子とスカラー演算子の和となり、特にすべての演算子が不変部分空間を持つような無限次元バナッハ空間の構築を示しました。

注釈

^ ab Yadav (2005)、292ページ
^ ab Beauzamy (1988); Yadav (2005)
^ 例えば、Radjavi & Rosenthal (1982)を参照。
^ Foiaş, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). 「準潜在作用素について III」 401ページ. Journal of Operator Theory . 54 (2): 401– 414.エンフロの（「フォワード」）「極小ベクトル」法は、ジル・カシエによるこの研究論文のレビュー（Mathematical Reviews : MR 2186363）でも言及されています。
^ Enflo, Per H. (2023年5月26日). 「ヒルベルト空間における不変部分空間問題について」. arXiv : 2305.15442 [math.FA].
^ Neville, Charles W. (2023年7月21日). 「分離可能なヒルベルト空間における不変部分空間予想の証明」. arXiv : 2307.08176 [math.FA].
^ フォン・ノイマンの証明は、アロンザインとスミス（1954）の著者への私信で伝えられたもので、公表されることはなかった。アロンザインが独自に発見した証明のバージョンは、同論文の末尾に掲載されている。
^ レビューについてはPearcy & Shields (1974)を参照。

参考文献

アブラモビッチ、ユーリ・A.；アリプランティス、チャラランボス・D.（2002）『作用素論への招待』、数学大学院研究科、第50巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、doi：10.1090/gsm/050、ISBN 978-0-8218-2146-6、MR 1921782
Argyros, Spiros A.; Haydon, Richard G. (2011)「スカラープラスコンパクト問題を解く遺伝的に分解不可能なL∞空間」_ActaMath. , 206 (1): 1– 54, arXiv : 0903.3921 , doi :10.1007/s11511-011-0058-y, MR 2784662, S2CID 119532059
Aronszajn, N. ; Smith, KT (1954)、「完全連続作用素の不変部分空間」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、60 (2): 345– 350、doi :10.2307/1969637、JSTOR 1969637、MR 0065807
アツモン、アハロン（1983）「核フレシェ空間上の不変部分空間を持たない作用素」、数学年報、第2集、117（3）：669-694、doi：10.2307/2007039、JSTOR 2007039、MR 0701260
ボーザミー、ベルナール（1985）「不変部分空間を持たない演算子：P.エンフロの例の簡略化」[ Integral Equations and Operator Theory（フランス語）]、8（3）：314-384、doi：10.1007/BF01202903、MR 0792905、S2CID 121418247
ボーザミー、バーナード（1988年）、作用素論と不変部分空間入門、ノースホランド数学図書館、第42巻、アムステルダム：ノースホランド、ISBN 978-0-444-70521-1、MR 0967989
バーンスタイン、アレン・R.；ロビンソン、エイブラハム（1966）、「KTスミスとP.R.ハルモスの不変部分空間問題の解」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス、16（3）：421–431、doi：10.2140/pjm.1966.16.421、MR 0193504
Enflo、Per (1976)、「Banach 空間の不変部分空間問題について」、Séminaire Maurey--Schwartz (1975--1976) Espaces L ^p、アプリケーション radonifiantes et géométrie des espaces de Banach、Exp。 No. 14-15、Center Math.、エコールポリテック、パレゾー、p. 7、MR 0473871
エンフロ、ペル（1987）「バナッハ空間の不変部分空間問題について」アクタ・マセマティカ、158（3）：213–313、doi：10.1007/BF02392260、MR 0892591
エンフロ、ペル;ロモノソフ、ヴィクター(2001)、「不変部分空間問題のいくつかの側面」『バナッハ空間幾何学ハンドブック』第1巻、アムステルダム：北ホラント、pp. 533– 559、doi :10.1016/S1874-5849(01)80015-2、ISBN 9780444828422、MR 1863701
ハルモス、ポール・R. (1966)、「多項式コンパクト作用素の不変部分空間」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス、16 (3): 433– 437、doi : 10.2140/pjm.1966.16.433、MR 0193505
ロモノソフ, VI (1973), 「完全連続作用素と可換な作用素族の不変部分空間」, Akademija Nauk SSSR. Funkcional' Nyi Analiz I Ego Prilozenija , 7 (3): 55– 56, doi :10.1007/BF01080698, MR 0420305, S2CID 121421267
カール・パーシー、アレン・L・シールド（1974）「不変部分空間理論におけるロモノソフ手法の概説」、C. パーシー編『作用素論の話題』、数学概説、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 219-229、MR 0355639
Read, CJ (1984)、「不変部分空間問題の解」、ロンドン数学会報、16 (4): 337– 401、doi :10.1112/blms/16.4.337、MR 0749447
Read, CJ (1985)、「空間l ₁上の不変部分空間問題の解」、ロンドン数学会報、17 (4): 305– 317、doi :10.1112/blms/17.4.305、MR 0806634
Read, CJ (1988)、「バナッハ空間のクラスの不変部分空間問題、2：超巡回演算子」、イスラエル数学ジャーナル、63 (1): 1– 40、doi : 10.1007/BF02765019、MR 0959046、S2CID 123651876
Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (1982)、「不変部分空間問題」、The Mathematical Intelligencer、4 (1): 33– 37、doi :10.1007/BF03022994、MR 0678734、S2CID 122811130
Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2003), Invariant Subspaces (Second ed.), Mineola, NY: Dover, ISBN 978-0-486-42822-2、MR 2003221
Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2000), Simultaneous triangularization , Universitext, New York: Springer-Verlag, pp. xii+318, doi :10.1007/978-1-4612-1200-3, ISBN 978-0-387-98467-4、MR 1736065
Śliwa, Wiesław (2008)、「非アルキメデス的バナッハ空間の不変部分空間問題」(PDF)、Canadian Mathematical Bulletin、51 (4): 604– 617、doi :10.4153/CMB-2008-060-9、hdl : 10593/798、MR 2462465、S2CID 40430187
Yadav, BS (2005)、「不変部分空間問題の現状と遺産」、ミラノ数学ジャーナル、73 (1): 289– 316、doi :10.1007/s00032-005-0048-7、MR 2175046、S2CID 121068326

[Yadav,_page_292-1] Yadav (2005)、292ページ

[Beauzamy_1988;_Yadav-2] Beauzamy (1988); Yadav (2005)

[3] 例えば、Radjavi & Rosenthal (1982)を参照。

[4] Foiaş, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). 「準潜在作用素について III」 401ページ. Journal of Operator Theory . 54 (2): 401– 414.エンフロの（「フォワード」）「極小ベクトル」法は、ジル・カシエによるこの研究論文のレビュー（Mathematical Reviews : MR 2186363）でも言及されています。

[5] Enflo, Per H. (2023年5月26日). 「ヒルベルト空間における不変部分空間問題について」. arXiv : 2305.15442 [math.FA].

[6] Neville, Charles W. (2023年7月21日). 「分離可能なヒルベルト空間における不変部分空間予想の証明」. arXiv : 2307.08176 [math.FA].

[7] フォン・ノイマンの証明は、アロンザインとスミス（1954）の著者への私信で伝えられたもので、公表されることはなかった。アロンザインが独自に発見した証明のバージョンは、同論文の末尾に掲載されている。

[8] レビューについてはPearcy & Shields (1974)を参照。