補助処方

数学、特に代数幾何学と複素多様体理論において、随伴公式（じょうたいしょう）は、多様体の標準束とその多様体内部の超曲面を関連付ける公式である。これは、射影空間などの行儀の良い空間に埋め込まれた多様体に関する事実を導いたり、帰納法によって定理を証明したりするためによく用いられる。

滑らかな変種の付加

滑らかな部分多様体の式

X を滑らかな代数多様体または滑らかな複素多様体とし、Y をXの滑らかな部分多様体とする。Y → Xへの包含写像をiで、YのXにおけるイデアル層を で表記する。i に対するコノーマル完全列は ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to i^{*}\Omega _{X}\to \Omega _{Y}\to 0,}$

ここでΩは余接束を表す。この厳密な列の行列式は自然同型である。

${\displaystyle \omega _{Y}=i^{*}\omega _{X}\otimes \operatorname {det} ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee },}$

ここで、は線束の双対を表します。 ${\displaystyle \vee}$

滑らかな因子の特別な場合

DがX上の滑らかな因子であるとする。その正規束はX上の直線束に拡張され、Dのイデアル層はその双対 に対応する。余正規束はであり、これを上の式と組み合わせると次のようになる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$ ${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$

${\displaystyle \omega_{D}=i^{*}(\omega_{X}\otimes{\mathcal{O}}(D)).}$

標準クラスの観点から言えば、

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.}$

これら 2 つの式は両方とも、付加式と呼ばれます。

例

d次超曲面

滑らかな次数超曲面が与えられれば、その正準バンドルと反正準バンドルを随伴公式を用いて計算することができる。これは次のように表される。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i:X\hookrightarrow\mathbb{P}_{S}^{n}}$

${\displaystyle \omega _{X}\cong i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d)}$

これは と同型です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d)}$

交差点を完了する

次数 の 滑らかな完全交差の場合、余正規バンドルは と同型なので、行列式バンドルは であり、その双対は となり、次のようになる。${\displaystyle i:X\hookrightarrow\mathbb{P}_{S}^{n}}$ ${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}(-d_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1}{-}d_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d_{1}{+}d_{2})}$

${\displaystyle \omega _{X}\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d_{1}{+}d_{2})\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d_{1}{+}d_{2})。}$

これは、すべての完全な交差に対して同じように一般化されます。

二次曲面の曲線

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ を、特異でない対称行列から得られる2次多項式の消失軌跡によって与えられる2次曲面として埋め込む。 ^[1]次に、 上の曲線に着目する。 の余接バ​​ンドルは、各 上の余接バンドルの直和を使って計算できるので、 となる。すると、標準層は で与えられ、これはベクトルバンドルの直和のウェッジ分解を使って求めることができる。次に、 の付加公式を使って、セクションの消失軌跡によって定義される曲線を次のように計算できる。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,0)\oplus {\mathcal {O}}(0,-2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,-2)}$ ${\displaystyle f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(a,b))}$

${\displaystyle \omega_{C}\,\cong\,{\mathcal{O}}(-2,-2)\otimes{\mathcal{O}}_{C}(a,b)\,\cong\,{\mathcal{O}}_{C}(a{-}2,b{-}2).}$

ポアンカレ残差

制限写像はポアンカレ留数と呼ばれる。Xが複素多様体であるとする。すると、断面上ではポアンカレ留数は次のように表される。D が関数fの消滅によって与えられるような開集合U を固定する。U上の任意の切断はs / fと表される。ここでs はU上の正則関数である。η をω _XのU上の切断とする。ポアンカレ留数は写像である。 ${\displaystyle \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)\to \omega _{D}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

${\displaystyle \eta \otimes {\frac {s}{f}}\mapsto s{\frac {\partial \eta }{\partial f}}{\bigg |}_{f=0},}$

つまり、ベクトル場 ∂/∂ f を体積形式 η に適用し、正則関数sを乗じることによって形成される。Uが局所座標z ₁ , ..., z _{n を}許容し、あるiに対して∂ f /∂ z _i ≠ 0となる場合、これは次のようにも表される。

${\displaystyle {\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{f(z)}}\mapsto (-1)^{i-1}{\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge {\widehat {dz_{i}}}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{\partial f/\partial z_{i}}}{\bigg |}_{f=0}.}$

ポアンカレ留数を別の視点から見ると、まずは付加式を同型として再解釈する。

${\displaystyle \omega _{D}\otimes i^{*}{\mathcal {O}}(-D)=i^{*}\omega _{X}.}$

開集合U上では、前述のように の切断はdf / fの形をとる正則関数sの積である。ポアンカレ留数は、 ω _Dの切断と の切断の楔積をとる写像である。 ${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$ ${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$

付加の反転

共線的完全列が短完全列でない場合、随伴公式は偽となる。しかし、この誤りを利用して、Xの特異点とDの特異点を関連付けることは可能である。この種の定理は随伴の反転と呼ばれ、現代の双有理幾何学において重要なツールとなっている。

平面曲線の標準因子

を次数同次多項式によって切り取られた滑らかな平面曲線とする。標準因子は であると主張する。ここでは超平面因子である。 ${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle F(X,Y,Z)}$ ${\displaystyle K=(d-3)[C\cap H]}$ ${\displaystyle H}$

まずアフィンチャートで作業する。方程式は、およびとなる。微分係数の約数を明示的に計算する。 ${\displaystyle Z\neq 0}$ ${\displaystyle f(x,y)=F(x,y,1)=0}$ ${\displaystyle x=X/Z}$ ${\displaystyle y=Y/Z}$

${\displaystyle \omega :={\frac {dx}{\partial f/\partial y}}={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}.}$

任意の点において、は局所パラメータで あるか、 は局所パラメータで あるかのいずれかである。どちらの場合も、 におけるの消滅の位数はゼロである。したがって、 の除数への寄与はすべて無限遠直線 に存在する。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle \partial f/\partial y\neq 0}$ ${\displaystyle x-x_{0}}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x\neq 0}$ ${\displaystyle y-y_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\text{div}}(\omega )}$ ${\displaystyle Z=0}$

さて、直線 を見てください。 と仮定すると、座標 と のグラフを見るだけで十分です。曲線の方程式は次のようになります。 ${\displaystyle {Z=0}}$ ${\displaystyle [1,0,0]\not \in C}$ ${\displaystyle Y\neq 0}$ ${\displaystyle u=1/y}$ ${\displaystyle v=x/y}$

${\displaystyle g(u,v)=F(v,1,u)=F(x/y,1,1/y)=y^{-d}F(x,y,1)=y^{-d}f(x,y).}$

したがって

${\displaystyle \partial f/\partial x=y^{d}{\frac {\partial g}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}=y^{d-1}{\frac {\partial g}{\partial v}}}$

それで

${\displaystyle \omega ={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}={\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{y^{d-1}\partial g/\partial v}}=u^{d-3}{\frac {du}{\partial g/\partial v}}}$

は消滅する順序を持つ。したがって、これは随伴式と一致する。 ${\displaystyle \nu _{p}(\omega )=(d-3)\nu _{p}(u)}$ ${\displaystyle {\text{div}}(\omega )=(d-3)[C\cap \{Z=0\}]}$

曲線への応用

平面曲線の種数-次数公式は、随伴公式から演繹できる。^[2] C  ⊂  P ^{2 を}次数d、種数gの滑らかな平面曲線とする。H をP ²の超平面の類、すなわち直線の類とする。P ²の標準類は −3 Hである。したがって、随伴公式は、( d − 3) HのCへの制限がCの標準類に等しいことを表している。この制限は、交差積( d − 3) H ⋅ dHをCに制限したものと同じであり、したがってCの標準類の次数はd ( d −3)である。リーマン・ロッホの定理より、g − 1 = ( d −3) d − g + 1となり、次の式が成り立つ。

${\displaystyle g={\tfrac {1}{2}}(d{-}1)(d{-}2).}$

同様に、^[3] C が2 次曲面P ¹ × P ¹上の滑らかな曲線で、2 次が ( d ₁ , d ₂ ) であるとき（つまり、d 1 _、 d 2_は、 P ¹への各射影のファイバーとの交差次数である）、 P ¹ × P ¹の標準類は 2 次 (−2,−2) であるので、付則公式から、Cの標準類は 2 次 ( d ₁、d ₂ ) と ( d ₁ −2, d ₂ −2 )の約数の交差積であることが示される。 P ¹ × P ¹上の交差形式は、2 次数の定義と双線型性により、リーマン・ロッホ則を適用すると、または ${\displaystyle ((d_{1},d_{2}),(e_{1},e_{2}))\mapsto d_{1}e_{2}+d_{2}e_{1}}$ ${\displaystyle 2g-2=d_{1}(d_{2}{-}2)+d_{2}(d_{1}{-}2)}$

${\displaystyle g=(d_{1}{-}1)(d_{2}{-}1)\,=\,d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1.}$

P ³における2つの曲面DとEの完全交差である曲線Cの種数も、随伴公式を用いて計算することができる。dとe をそれぞれDとEの次数としよう。随伴公式をDに適用すると、その標準因子は( d − 4) H | _Dであり、これは( d − 4) HとDの交差積であることが示される。これをEに適用すると( Cが完全交差であるので可能であるが) 、標準因子Cは積( d + e − 4) H ⋅ dH ⋅ eH、つまり次数de ( d + e − 4)であることが示される。リーマン・ロッホの定理により、これはCの種数が

${\displaystyle g=de(d+e-4)/2+1.}$

より一般に、CがP ⁿの次数d ₁ , ..., d _{n − 1の}n − 1個の超曲面D ₁ , ..., D _{n − 1}の完全交差であるとき、帰納的計算によりCの標準類はとなる。リーマン・ロッホの定理によれば、この曲線の種数は ${\displaystyle (d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}H^{n-1}}$

${\displaystyle g=1+{\tfrac {1}{2}}(d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}.}$

低次元位相幾何学では

Sを複素曲面（特に4次元多様体）とし、滑らかな（特異でない）連結複素曲線とする。すると^[4]${\displaystyle C\to S}$

${\displaystyle 2g(C)-2=[C]^{2}-c_{1}(S)[C]}$

ここで、 はCの種数、は自己交差、 はクロネッカーペアリングを表します。 ${\displaystyle g(C)}$ ${\displaystyle [C]^{2}}$ ${\displaystyle c_{1}(S)[C]}$ ${\displaystyle <c_{1}(S),[C]>}$

参照

• 対数形式
• ポアンカレ残差
• トム予想

参考文献

1. Zhang, Ziyu. 「10. 代数面」(PDF) . 2020年2月11日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。
2. ハーツホーン、第5章、例1.5.1
3. ハーツホーン、第5章、例1.5.2
4. ゴンプフ、スティプシッツ、定理 1.4.17

• 交差理論第2版、ウィリアム・フルトン、シュプリンガー、ISBN 0-387-98549-2、例3.2.12。
• 代数幾何学の原理、グリフィスとハリス、ワイリークラシックスライブラリー、ISBN 0-471-05059-8146～147ページ。
• 代数幾何学、ロビン・ハーツホーン、Springer GTM 52、ISBN 0-387-90244-9、命題II.8.20。