等時線

力学系の数学理論において、等時線とは、系の初期条件の集合であり、それらはすべて同じ長期的挙動をもたらします。^{[1] [2]}

数学的等時線

入門例

時間とともに発展する 解の常微分方程式を考えてみましょう。${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}=1}$

この常微分方程式（ODE）は、例えば時刻 における2つの初期条件を必要とします。初期条件を と で表します。 ここで、と はいくつかのパラメータです。次の議論は、この系の等時線がここでは直線 であることを示しています。 ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle y(0)=y_{0}}$ ${\displaystyle dy/dt(0)=y'_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle y'_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}+y'_{0}={\mbox{定数}}}$

上記のODEの一般解は

${\displaystyle y=t+A+B\exp(-t)}$

さて、時間が増加するにつれて、指数項は非常に急速にゼロに減少します（指数関数的減少）。したがって、 ODEのすべての解は急速に に近づきます。つまり、が同じであるすべての解は同じ長期的発展を示します。項の指数関数的減少は、同じ長期的発展を共有する多数の解を集めます。どの初期条件が同じ を持つかを答えることで、 等時線を見つけます${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle y\to t+A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\exp(-t)}$ ${\displaystyle A}$

初期時点では、およびです。これらの2つの方程式から非物質的な定数を代数的に消去すると、すべての初期条件は同じであり、したがって同じ長期発展を持ち、したがって等時線を形成することが推論されます。 ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle y_{0}=A+B}$ ${\displaystyle y'_{0}=1-B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y_{0}+y'_{0}=1+A}$ ${\displaystyle A}$

正確な予測には等時線が必要です

等時線の概念のより興味深い応用例を見てみましょう。等時線は、力学系のモデルから予測しようとするときに生じます。2つの常微分方程式を結合したおもちゃのシステムを考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-xy{\text{ かつ }}{\frac {dy}{dt}}=-y+x^{2}-2y^{2}}$

素晴らしい数学的なトリックは、正規形（数学）変換です。^[3] ここで、原点付近の座標変換は

${\displaystyle x=X+XY+\cdots {\text{ かつ }}y=Y+2Y^{2}+X^{2}+\cdots }$

新しい変数への変換は、力学を分離形に変換します。 ${\displaystyle (X,Y)}$

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=-X^{3}+\cdots {\text{ かつ }}{\frac {dY}{dt}}=(-1-2X^{2}+\cdots )Y}$

したがって、原点付近では、その方程式が であるため、指数関数的に急速にゼロに減少します。したがって、長期的な発展は によってのみ決定されます。方程式がモデルです ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle dY/dt=({\text{負}})Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

この方程式を使って未来を予測してみましょう。元の変数の初期値が与えられています。 の初期値は何でしょうか？ 答え：は同じ長期変化を示す です。上記の正規形では、 は とは独立に変化します。したがって、 は同じだが が異なるすべての初期条件は、同じ長期変化を示します。 を固定して を変化させると、平面上の曲線状の等時線が得られます。例えば、原点に非常に近いところでは、上記の系の等時線はおおよそ直線 です。初期値がどの等時線上にあるかを調べてください。その等時線は何らかの によって特徴付けられます 。したがって、モデルからすべての時間に対して正しい予測を与える初期条件は です 。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle X(0)}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x-Xy=XX^{3}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X(0)=X_{0}}$

比較的単純な常微分方程式系（決定論的および確率的）のこのような正規形変換は、インタラクティブなウェブサイト[1]で見つけることができます。

参考文献

1. J. Guckenheimer, Isochrons and phaseless sets, J. Math. Biol., 1:259–273 (1975)
2. SM Cox and AJ Roberts, 力学系モデルの初期条件, Physica D, 85:126–141 (1995)
3. AJ Roberts, 正規形は確率力学系における低速モードと高速モードを別々に変換する, Physica A: 統計力学とその応用387:12–38 (2008)