数学、特に群論において、等傾斜性は群上の同値関係であり、同型性を一般化したものである。等傾斜性は、ホール (1940) によってp-群の分類と理解を助けるために導入されたが、すべての群に適用可能である。等傾斜性は、鈴木 (1982, p. 256) およびコンウェイ他 (1985, p. xxiii, Ch. 6.7) で説明されているように、シューア乗数や関連する特性理論の側面にも影響を与える。「等傾斜性」という言葉は、等しい傾きを意味するギリシャ語の ισοκλινης に由来する。
等傾斜論について論じた教科書としては、Berkovich (2008, §29)、Blackburn、Neumann & Venkataraman (2007, §21.2)、Suzuki (1986, pp. 92–95) などがあります。
意味
群Gの等傾斜類は、群G / Z ( G ) (内部自己同型群) とG ′ ( 交換子部分群) およびG / Z ( G ) × G / Z ( G )からG ′ ( a、bをaba −1 b −1に取る) への交換子写像によって決定されます。
言い換えれば、G 1 / Z ( G 1 )からG 2 / Z ( G 2 )への同型と、G 1 ′ から G 2 ′ への同型が交換子写像と可換である場合 、2つのグループ G 1とG 2は等傾斜です。
例
すべてのアーベル群は、その中心に等しく、その交換子部分群は常に恒等部分群であるため、等傾斜群である。実際、群がアーベル群と等傾斜であるための必要十分条件は、それ自体がアーベル群である場合であり、G がG × Aと等傾斜であるための必要十分条件は、 Aがアーベル群である場合である。位数 2 n の二面体群、準二面体群、および四元数群は、 n ≥ 3に対して等傾斜群である。詳細は Berkovich (2008, p. 285) を参照。
等斜群はp群を族に分割し、各族の最小の要素は幹群と呼ばれる。群が幹群であるための必要十分条件は、Z( G )≤[ G , G ]、すなわち、群の中心のすべての元が導来部分群（交換子部分群とも呼ばれる）に含まれる場合である（Berkovich (2008, p. 287）。等斜族に関するいくつかの列挙結果は、Blackburn, Neumann & Venkataraman (2007, p. 226)に示されている。
等傾斜は有限群の射影表現理論において用いられる。これは、群のすべてのシューア被覆群が等傾斜であることからであり、これは鈴木（1982, p. 256）によればホールによって既に示唆されていた事実である。これは有限単純群の指標表を記述する際に用いられる（Conway et al. 1985, p. xxiii, Ch. 6.7）。
参考文献
- Berkovich、Yakov (2008)、プライムパワーオーダーのグループ。 Vol. 1、de Gruyter Expositions in Mathematics、vol. 46、Walter de Gruyter GmbH & Co. KG、ベルリン、doi :10.1515/9783110208221.285、ISBN 978-3-11-020418-6、MR 2464640
- ブラックバーン、サイモン・R.;ノイマン、ピーター・M.;ベンカタラマン、ギータ（2007）「有限群の列挙」、ケンブリッジ数学論文集第173号（第1版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88217-0、OCLC 154682311
- コンウェイ、ジョン・ホートン；カーティス、RT；ノートン、SP；パーカー、RA；ウィルソン、RA（1985）有限群の地図帳、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853199-9、MR 0827219
- Hall、Philip (1940)、「プライムパワーグループの分類」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1940 (182): 130–141、doi :10.1515/crll.1940.182.130、ISSN 0075-4102、MR 0003389、S2CID 122817195
- ストルイク、ルース・レベッカ (1960). 「素数冪群に関するノート」.カナダ数学速報. 3 : 27–30 . doi : 10.4153/cmb-1960-006-5 . ISSN 0008-4395. MR 0148744.
- 鈴木道夫(1982)、群理論。 I、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol. 247、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-10915-0、MR 0648772
- 鈴木道夫(1986)、群理論。 II、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol. 248、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-642-86885-6、ISBN 978-0-387-10916-9、MR 0815926
