ローカルツイスター

微分幾何学において、局所ツイスター束とは、任意の共形多様体（少なくとも局所的には）に関連付けることができる接続を持つ特定のベクトル束である。直感的に言えば、局所ツイスターとは、時空上の各点にツイスター空間を関連付け、異なる点におけるツイスター空間を相互に関係付ける共形不変接続を伴ったものである。この接続は、ホロノミーを持つ場合があり、「大域的」ツイスター（すなわち、開集合におけるツイスター方程式の解）の存在を妨げる。

工事

M を、スピン構造と符号 ( p , q )の共形計量を持つ擬リーマン共形多様体とする。共形群は擬直交群 である。Mの束tractor 束上には共形カルタン接続が存在する。Mのスピン群は基本表現であるスピン表現 を許容し、関連する束は局所ツイスター束である。 ${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$ ${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$

ワイルスピノルによる表現

局所ツイスターは、 M上のワイルスピノルのペアとして表現できる（一般には、署名に固有の実在条件によって決定される異なるスピン表現から）。一般相対論の時空のような 4次元ローレンツ多様体の場合、局所ツイスターは次の形をとる。

${\displaystyle Z^{\alpha }={\begin{bmatrix}\omega ^{A}\\\pi _{A'}\end{bmatrix}}.}$

ここでは、Penrose & Rindler (1986) の指数規則を使用し、 およびはローレンツ群の 2 成分複素スピノルです。 ${\displaystyle \omega^{A}}$ ${\displaystyle \pi _{A'}}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$

ローカルツイスター輸送

この接続は、局所ツイスター輸送とも呼ばれ、次のように表される。

${\displaystyle dZ^{\alpha }={\begin{bmatrix}d\omega ^{A}-i\theta ^{AA'}\pi _{A'}\\d\pi _{A'}-iP_{AA'}\omega ^{A}\end{bmatrix}}.}$

ここに、正準一形式と、正準一形式を用いて1つの添え字で縮約されたスハウテンテンソル がある。他の次元においても、2つのワイルスピン表現の間に適切なクリフォード代数乗数を適用すれば、同様の方程式が成り立つ( Sparling 1986 )。この形式において、ツイスター方程式とは、局所ツイスターが接続に関して平行であるという要件である。 ${\displaystyle \theta ^{AA'}}$ ${\displaystyle P_{AA'}}$

正準濾過

一般に、局所ツイスターバンドルTはベクトルバンドルの 短い正確な列を備えている。

${\displaystyle 0\to \Pi \to T\to \Omega \to 0}$

ここで、 とは2つのワイルスピンバンドルである。このバンドルは特別な部分バンドルであり、共形カルタン接続のマークされた接点に対応する。つまり、トラクターバンドルには標準的なマークされた1次元部分空間Xが存在し、 はクリフォード乗法の下でXの消滅子である。4次元では、はスピノルの空間であり、の空間である。プルッカー埋め込みの下では、4次元のトラクターバンドルは局所ツイスターバンドルの外形平方に同型であり、に接するすべてのツイスターから構成される。 ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \pi _{A'}}$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \omega^{A}}$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle X^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}0&0\\0&\epsilon _{A'B'}\end{bmatrix}}}$

は 上のシンプレクティック形式はどこですか。 ${\displaystyle \epsilon _{A'B'}}$ ${\displaystyle \Pi }$

曲率

局所ツイスター接続の曲率は、ワイル曲率とコットンテンソル の両方を含みます。（これはカルタン共形曲率です。）曲率は空間 を保存し、その上で共形不変なワイル曲率のみを含みます。 ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

参考文献

• ペンローズ, R.; リンドラー, W. (1986),スピノルと時空: 第2巻, 時空幾何学におけるスピノル法とツイスト法, ケンブリッジ大学出版局, ISBN 0-521-25267-9
• Sparling, G (1986)、「物理学の幾何学化に向けて」、Nature、321 : 417–419