局所的接続空間

この位相空間において、Vはpの近傍であり、 pを含む連結な開集合（濃い緑色の円）を含みます。

位相幾何学やその他の数学の分野において、位相空間 X は、すべての点が開連結な集合からなる近傍基底を持つ場合、局所連結です 。

より強い概念として、空間X は、すべての点が開路連結な集合からなる近傍基底を持つ場合、局所路連結です。

背景

位相幾何学の歴史を通じて、連結性とコンパクト性は、最も広く研究されてきた位相的性質の 2 つである。実際、ユークリッド空間の部分集合においてもこれらの性質が研究され、それらがユークリッド計量の特定の形式から独立していることが認識されたことは、位相的性質、ひいては位相空間の概念を明確にする上で大きな役割を果たした。しかし、ユークリッド空間 のコンパクト部分集合の構造はハイン・ボレルの定理によってかなり早い時期に理解されていたのに対し、の連結部分集合( n > 1 の場合) ははるかに複雑であることが判明した。実際、任意のコンパクトハウスドルフ空間は局所的にコンパクト であるが、連結空間、さらにはユークリッド平面 の連結部分集合は、局所的に連結である必要はない (以下を参照)。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

これにより、20世紀前半には豊かな研究の鉱脈が生まれ、位相学者は局所連結空間の概念における、ますます微妙で複雑なバリエーションの間の含意を研究しました。例として、点における 連結性の概念と局所連結性との関係については、本稿の後半で考察します。

20世紀後半には、研究の傾向は、局所的にはよく理解されている（ユークリッド空間に局所的に同相である）が、大域的な振る舞いが複雑な、多様体のような空間のより集中的な研究へと移行しました。これは、多様体の基本的な点集合位相は比較的単純である（多様体は概念のほとんどの定義によれば本質的に計量化可能であるため）ものの、その代数的位相ははるかに複雑であることを意味します。この現代的な観点からは、局所経路連結性のより強い性質がより重要であることがわかります。例えば、空間が普遍被覆を許容するためには、空間は連結かつ局所経路連結でなければなりません

空間が局所連結であるための必要十分条件は、任意の開集合Uに対して、 Uの連結成分（部分空間位相において）が開であることです。例えば、局所連結空間から全不連結空間への連続関数は局所定数でなければなりません。実際、成分の開性は非常に自然なので、一般には当てはまらないことを覚えておく必要があります。例えば、カントール空間は全不連結ですが、離散的ではありません。

定義

を位相空間とし、を の点とします。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

空間が^[1]において局所連結であるとは、のすべての近傍がの連結な開近傍を含む場合、つまり、その点が連結な開集合からなる近傍基底を持つ場合です。局所連結空間^{[2] [1] と}は、その各点において局所連結である空間です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

局所連結性は連結性を意味しません（例えば、 における2つの互いに素な開区間を考えてみましょう）。また、連結性は局所連結性を意味しません（位相幾何学者の正弦曲線 を参照）。 ${\displaystyle \mathbb{R}}$

空間が^[1]において局所的に路連結であるとは、そのすべての近傍が の路連結な開近傍を含む場合、つまり、その点が路連結な開集合からなる近傍基底を持つ場合である。局所的に路連結な空間^{[3] [1]}は、その各点で局所的に路連結な空間である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

局所経路連結空間は局所連結です。逆は成り立ちません（単位正方形 上の辞書式位相を参照）。

連結性

空間が^{[4] [5]}において局所的に連結である、または^[6]において弱局所連結であるとは、そのすべての近傍が の連結な（必ずしも開である必要はない）近傍を含む場合、つまり、その点が連結な集合からなる近傍基底を持つ場合である。空間が各点で弱局所連結である場合、その空間は弱局所連結であると呼ばれる。以下に示すように、この概念は実際には局所連結であることと同じである ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

で局所連結な空間は、で連結である 。逆は成り立たない。例えば、特定の点で連結であるが、その点で局所連結ではない、減少するほうき空間の無限和によって示される。 ^{[7] [8] [9]} しかし、空間がその各点で連結である場合、それは局所連結である。^[10]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

空間が^[5]で路連結であるとは、すべての近傍がの路連結（必ずしも開ではない）近傍を含む場合、つまり、点が路連結集合からなる近傍基底を持つ 場合である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

で局所路連結な空間は、で路連結である。 逆は成り立たない。これは、上記と同じ減少するほうき空間の無限和によって示される。しかし、空間がその各点で路連結である場合、それは局所路連結である。^{[11] [より良い出典が必要]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

最初の例

1. 任意の正の整数nに対して、ユークリッド空間は局所パス連結であり、したがって局所連結である。また、連結でもある。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
2. より一般的には、すべての局所凸位相ベクトル空間は局所連結である。なぜなら、各点は凸（したがって連結）近傍の局所基底を持つからである。
3. 実数直線の部分空間は局所パス連結であるが、連結ではない${\displaystyle S=[0,1]\cup [2,3]}$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{1}}$
4. 位相幾何学者の正弦曲線は、連結であるが、局所的に連結ではないユークリッド平面の部分空間である。^[12]
5. 標準的なユークリッド位相を持つ有理数空間は、連結でも局所連結でもない。${\displaystyle \mathbb {Q}}$
6. 櫛形空間はパス連結であるが、局所パス連結ではなく、局所連結でもない。
7. 余有限位相を備えた可算無限集合は、局所的に連結（実際には超連結）であるが、局所的にパス連結ではない。^[13]
8. 単位正方形上の辞書式順序の位相は連結であり、局所的に連結であるが、パス連結でも局所的にパス連結でもない。^[14]
9. キルヒ空間は連結かつ局所連結であるが、パス連結ではなく、どの点においてもイム・クライネン・パス連結ではない。実際には完全にパス非連結である。

第一可算 ハウスドルフ空間 が局所パス連結である場合、かつその場合のみ、がすべての連続パスの集合によって誘導される最終的な位相と等しい。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C([0,1];X)}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ).}$

性質

定理—空間が局所連結である場合、かつその場合のみ、空間は弱局所連結である。^[10]

証明

非自明な方向については、が弱局所連結であると仮定します。局所連結であることを示すには、開集合の連結成分が開であることを示すだけで十分です。 ${\displaystyle X}$ がで開であり、がの連結成分であるとします。がの元であるとします。すると、がの近傍で あり、に含まれるの連結近傍が存在します。は連結であり、を含むので、 （を含む連結成分）の部分集合でなければなりません。したがって、はの内点です。の任意の点はで開である ため、は局所連結です。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

1. 局所連結性は、定義により、位相空間の局所的性質、すなわち、空間Xが特性Pを持つ場合、かつその場合において、Xの各点xが特性Pを持つ集合の近傍基を許容するような位相的性質Pです。したがって、局所的性質が持つすべての「メタ性質」は、局所連結性にも当てはまります。特に、
2. 空間が局所連結である場合、かつその場合において、（開）連結部分集合の基底を許容します
3. 空間族の非結合和 が局所連結であるための必要十分条件は、各空間が局所連結である場合である。特に、1点は確実に局所連結であるため、任意の離散空間は局所連結である。一方、離散空間は全不連結であるため、高々1点しか持たない場合に限り連結である。${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle X_{i}}$
4. 逆に、全不連結空間が局所連結であるための必要十分条件は、離散的である場合に限ります。これは、前述の有理数が局所連結ではないという事実を説明するために使用できます。
5. 空でない積空間が局所連結であるためには、それぞれが局所連結であり、有限個を除くすべてが連結である必要があります。^[15]${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$
6. すべての超連結空間は局所連結であり、連結である。

成分と経路成分

次の結果は定義からほぼ直ちに導かれますが、非常に有用です

補題：X を空間とし、Xの部分集合の族とする。X は空でないとする。すると、それぞれが連結（それぞれ、パス連結）であれば、その和は連結（それぞれ、パス連結）である。^[16]${\displaystyle \{Y_{i}\}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$

ここで、位相空間X上の2つの関係を考える。それぞれについて、以下を書く。 ${\displaystyle x\equiv _{c}y}$

${\displaystyle x\equiv _{pc}y}$ xとyの両方を含むXの連結部分集合が存在する場合。そして

${\displaystyle A\cup B}$ xとyの両方を含むXのパス連結部分集合が存在する場合

明らかに、両方の関係は反射的かつ対称的です。さらに、xとyが連結（それぞれパス連結）部分集合Aに含まれ、yとzが連結（それぞれパス連結）部分集合Bに連結されている場合、補題はx、y、zを含む連結（それぞれパス連結）部分集合であることを意味します。したがって、各関係は同値関係であり、 Xの同値類への分割を定義します。これらの2つの分割を順に検討します。 $同値関係$

X内のxに対して、となるすべての点yの集合はxの連結成分と呼ばれます。^[17] 補題は、xを含むXの唯一の最大連結部分集合であることを意味します。^[18]の閉包もxを含む連結部分集合であるため、^{[19] [20]} 、閉じていることが分かります。^[21]${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}=\{x}\}}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}}$

X が有限個の連結成分しか持たない場合、各成分は閉集合の有限和の補集合となり、したがって開集合となる。一般に、連結成分は必ずしも開集合である必要はない。なぜなら、例えば、カントール空間のように離散的ではない、完全に連結されていない空間（つまり、すべての点xに対して）が存在するからである。しかし、局所連結空間の連結成分も開集合であるため、閉開集合となる。^[22] したがって、局所連結空間Xは、その相異なる連結成分の位相的に互いに素な和集合となる。逆に、 Xのすべての開部分集合Uに対して、 Uの連結成分が開集合である場合、X は連結集合の基底を持つため、局所連結となる。^[23]$閉集合$ ${\displaystyle PC_{x}}$

同様に、 Xにおけるxに対して、となるすべての点yの集合はxのパス成分と呼ばれる。^[24]上記のように、はx を含むXのすべてのパス連結部分集合の和集合でもあるため、補題によりそれ自体はパス連結である。パス連結集合は連結であるため、すべての${\displaystyle y\equiv _{pc}x}$ ${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}}$ ${\displaystyle y\equiv _{pc}x}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x\in X.}$

しかし、経路連結集合の閉包は必ずしも経路連結である必要はありません。例えば、位相幾何学者の正弦曲線は、x > 0となるすべての点(x, sin(x))からなる開部分集合Uの閉包であり、Uは実数直線上の区間に同相であるため、必ず経路連結です。さらに、位相幾何学者の正弦曲線Cの経路成分は、開いているが閉じていないUと、閉じているが開いていない U です。${\displaystyle x\in X,}$

空間が局所経路連結であるための必要十分条件は、すべての開部分集合Uに対してUの経路成分が開である場合です。^{[24]したがって、局所経路連結空間の経路成分は、} Xを互いに素な開集合に分割します。したがって、局所経路連結空間の開連結部分空間は必然的に経路連結です。^[25] さらに、空間が局所経路連結である場合、それは局所連結でもあるため、すべての に対して は連結かつ開であり、したがって経路連結です。つまり、 局所経路連結空間では、成分と経路成分は一致します。 ${\displaystyle C_{x}=PC_{x}.}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}=PC_{x}.}$

例

1. 辞書順序位相における集合 (ただし)は、ちょうど1つの成分 (連結であるため) を持つが、パス成分は無数に存在する。実際、 の形の任意の集合は、Iに属する各aに対してパス成分である${\displaystyle I\times I}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle \{a\}\times I}$
2. をから への連続写像とします（これは下限位相にあります）。 は連結であり、連続写像 の下の連結空間の像は連結でなければならないので、の下の の像は連結でなければなりません。したがって、 の下のの像はの成分の部分集合でなければなりません。この像は空でないため、 からへの連続写像は定数写像のみです。実際、連結空間から完全に連結されていない空間への連続写像はすべて定数でなければなりません。${\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\ell}}$ ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle \mathbb{R}_{\ell}}$ ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb{R}_{\ell}}}$ ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle \mathbb{R}_{\ell},}$

準成分

位相空間Xとします。X 上に3番目の関係を定義します。Xを開集合AとBに分離せず、xがAの要素であり、yがBの要素である場合。これはX上の同値関係であり、 xを含む同値類はxの準成分と呼ばれます。^[18]${\displaystyle x\equiv_{qc}y}$ ${\displaystyle QC_{x}}$

${\displaystyle QC_{x}}$ は、 x を含むXのすべての閉開部分集合の交差として特徴付けることもできます。^[18]したがって、は閉じています。一般には開である必要はありません。 ${\displaystyle QC_{x}}$

明らかにすべての^[18]に対して、xにおけるパス成分、成分、および準成分の間には、次のような包含関係があります。 ${\displaystyle C_{x}\subseteq QC_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ $${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.}$$

Xが局所連結である場合、上記のように、はxを含む閉開集合であるため、したがって、局所パス連結性は局所連結性を意味するため、局所パス連結空間の すべての点xにおいて、次の関係が成り立ちます。${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}}$ ${\displaystyle QC_{x}=C_{x}.}$ $${\displaystyle PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.}$$

準成分が成分と一致する別の空間のクラスは、コンパクトハウスドルフ空間のクラスです。^[26]

例

1. 準成分がその成分と等しくない空間の例として、二重極限点を持つ列が挙げられる。この空間は完全に不連続であるが、両方の極限点は同じ準成分に属する。なぜなら、どちらか一方を含む任意の閉開集合は列の末尾を必ず含み、したがってもう一方の点も必ず含むからである。
2. 空間は局所コンパクトかつハウスドルフであるが、集合とは同じ準成分に属する2つの異なる成分である。${\displaystyle (\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,0)}$ ${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$
3. アレンス・フォート空間は局所連結ではないが、それでも成分と準成分は一致し、すべての点xに対して一致する。^[27]${\displaystyle QC_{x}=C_{x}=\{x\}}$

参照

• 局所単連結空間
• 半局所単連結
• マンデルブロ集合は局所連結であると予想されている

注釈

1. Munkres 2000, p. 161.
2. Willard 2004, p. 199, 定義 27.7.
3. Willard 2004, p. 199, 定義 27.4.
4. Willard 2004, p. 201, 定義 27.14
5. Björn, Anders; Björn, Jana; Shanmugalingam, Nageswari (2016)、「マズルキエヴィチ距離と境界で有限連結な集合」、Journal of Geometric Analysis、26 (2): 873– 897、arXiv : 1311.5122、doi :10.1007/s12220-015-9575-9、S2CID  255549682、第2節
6. Munkres 2000、p. 162、演習6
7. Steen & Seebach 1995、p. 139、例119.4
8. Munkres 2000、p. 162、演習7
9. 「Xがpで局所連結ではないことを示せ」、Math StackExchange
10. Willard 2004, p. 201, 定理27.16.
11. 「局所経路連結の定義」、Math StackExchange
12. Steen & Seebach 1995, pp. 137–138.
13. Steen & Seebach 1995, pp. 49–50.
14. Steen & Seebach 1995, p. 73, 例48.
15. Willard 2004, p. 201, 定理27.13.
16. Willard 2004, p. 192, 定理26.7a.
17. Willard 2004, p. 194, 定義26.11.
18. Willard 2004, pp. 195–196, 問題26B
19. Kelley 1975, p. 54, 定理20.
20. Willard 2004, p. 193, 定理26.8.
21. Willard 2004, p. 194, 定理26.12.
22. Willard 2004, p. 200, 系27.10
23. Willard 2004, p. 200, 定理27.9.
24. Willard 2004, p. 202, 問題27D.
25. Willard 2004, p. 199, 定理27.5.
26. Engelking 1989, p. 357, 定理6.1.23.
27. Steen & Seebach 1995, pp. 54–55.

参考文献

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• ケリー、ジョン・L. (1975) [1955]、『一般位相幾何学』、大学院数学テキスト、第27巻（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90125-1、OCLC  1365153
• マンクレス、ジェームズ・R. (2000)、『位相幾何学（第2版）』、アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティス・ホール社、ISBN 978-0-13-181629-9、OCLC  42683260
• スティーン、リン・アーサー；シーバッハ、J・アーサー・ジュニア(1995) [1978]、『位相幾何学における反例』（ 1978年版のドーバー版再版）、ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー・パブリケーションズ社、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  1382863
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]、『一般位相幾何学』、ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-43479-7、OCLC  115240

参考文献

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