壁の法則
流速と壁面距離の関係
壁の法則、混合長さモデルによる壁近傍の水平速度

流体力学において、壁の法則（対数壁法則とも呼ばれる）は、乱流のある点における平均速度は、その点から「壁」、つまり流体領域の境界までの距離の対数に比例するというものです。この壁の法則は、1930年にハンガリー系アメリカ人の数学者、航空宇宙技術者、そして物理学者で あるセオドア・フォン・カルマンによって初めて発表されました。[1]この法則は、自然の流れの速度分布全体に対して良好な近似値となりますが、技術的には壁に近い部分（流れの高さの20%未満）にのみ適用可能です。[2]

一般的な対数定式化

壁の対数法則は、壁と平行な平均速度に対する自己相似解であり、高レイノルズ数の流れに対して有効である。これは、ほぼ一定のせん断応力を持つ重なり合う領域で、壁から十分に離れているため（直接的な）粘性効果が無視できる場合である。[3]

あなた + ＝ 1 κ ln y + + C + 、 {\displaystyle u^{+}={\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+},}  と​  y + ＝ y あなた τ ν 、 {\displaystyle y^{+}={\frac {y\,u_{\tau }}{\nu }},}   あなた τ ＝ τ わ ρ {\displaystyle u_{\tau }={\sqrt {\frac {\tau _{w}}{\rho }}}}    あなた + ＝ あなた あなた τ {\displaystyle u^{+}={\frac {u}{u_{\tau }}}}

どこ

y + {\displaystyle y^{+}} 壁座標：壁までの距離yを摩擦速度u τと動粘性νで無次元化した値。
あなた + {\displaystyle u^{+}} は無次元速度である。壁に平行な速度uをy（壁からの距離）の関数として表し、摩擦速度uτで割ったもので ある。
τ わ {\displaystyle \tau_{w}} 壁面せん断応力は
ρ {\displaystyle \rho } は流体の密度であり、
あなた τ {\displaystyle u_{\tau}} 摩擦速度またはせん断速度と呼ばれる。
κ {\displaystyle \kappa } はフォン カルマン定数、
C + {\displaystyle C^{+}} は定数であり、
ln {\displaystyle \ln} は自然対数です。

実験により、フォン・カルマン定数は滑らかな壁の場合は となることが分かっています。[ 3] κ ≈ 0.41 {\displaystyle \kappa \approx 0.41} C + ≈ 5.0 {\displaystyle C^{+}\approx 5.0}

次元を考慮すると、壁の対数法則は次のように表される。[4]

あなた ＝ あなた τ κ ln y y 0   {\displaystyle {u}={\frac {u_{\tau }}{\kappa }}\ln \,{\frac {y}{y_{0}}}\ }

ここで、y 0は、壁の法則によって与えられた理想化された速度がゼロになる境界からの距離である。これは、壁の法則によって定義される乱流速度プロファイルが層流下層には適用されないため、必然的にゼロではない。ゼロになる壁からの距離は、層流下層の厚さと、それが流れる表面の粗さを比較することによって決定される。厚さが壁近傍の層流下層で、特徴的な粗さの長さスケールがの場合、[2] δ ν {\displaystyle \delta _{\nu }} け s {\displaystyle k_{s}}

け s < δ ν {\displaystyle k_{s}<\delta _{\nu }\,} : 水力学的に滑らかな流れ、
け s ≈ δ ν {\displaystyle k_{s}\approx \delta _{\nu }\,} : 遷移フロー、
け s > δ ν {\displaystyle k_{s}>\delta _{\nu }\,} : 水力学的に粗い流れ。

直感的に言えば、これは、粗さ要素が層流サブレイヤー内に隠れている場合、それらが流れの主要部分に突き出ている場合よりも、壁面速度プロファイルの乱流法則に大きく異なる影響を及ぼすことを意味します。

これは境界レイノルズ数 でより正式に定式化されることが多く、ここで R e わ {\displaystyle Re_{w}}

R e わ ＝ あなた τ け s ν 。   {\displaystyle Re_{w}={\frac {u_{\tau }k_{s}}{\nu }}.\ }

流れは、 では水力学的に滑らか、 では水力学的に粗く、中間の値では遷移的である。[2] R e わ < 3 {\displaystyle Re_{w} R e わ > 100 {\displaystyle Re_{w}>100}

の値は次のように与えられる: [2] [5] y 0 {\displaystyle y_{0}}

y 0 ＝ ν 9 あなた τ {\displaystyle y_{0}={\frac {\nu }{9u_{\tau }}}}   油圧的にスムーズな流れを実現
y 0 ＝ け s 30 {\displaystyle y_{0}={\frac {k_{s}}{30}}} 水力による粗流用。

中間値は一般的に経験的に導かれたニクラセ図によって与えられますが[2] 、この範囲を解くための解析的な方法も提案されています[6] 。

自然の河川システムのような粒度境界のある水路の場合、

け s ≈ 3.5 D 84 、   {\displaystyle k_{s}\approx 3.5D_{84},\ }

ここで、河床物質の粒子の84番目に大きいパーセンタイルの平均直径である。[7] D 84 {\displaystyle D_{84}}

べき乗法則の解

Barenblatt らによる研究では、壁の対数法則（無限レイノルズ数の極限）のほかに、レイノルズ数に依存するべき乗法則解が存在することが示されている。 [8] [9] 1996 年に、Cipra はこれらのべき乗法則の記述を裏付ける実験的証拠を提出した。[10]この証拠自体は、他の専門家に完全には受け入れられていない。[11] 2001 年に、Oberlack は、リー群アプローチの対称性を利用して、レイノルズ平均ナビエ–ストークス方程式から直接、壁の対数法則とべき乗法則の両方を導出したと主張した。[3] [12]しかし、2014 年に Frewer ら[13] がこれらの結果に反論した。

スカラーの場合

スカラー（特に温度）については、壁の自己相似対数法則が理論化され（最初にBA Kader [14]によって定式化）、実験および計算研究で観察されています。[15] [16] [17] [18]多くの場合、圧縮性、可変特性、および実流体効果を考慮するには、（通常は積分変換を通じて）元の壁の法則の定式化に対する拡張が一般的に必要です。

壁の近く

壁の法則が適用される領域より下では、摩擦速度に関する他の推定値が存在する。[19]

粘性下層

粘性サブレイヤーと呼ばれる 5 壁単位未満の領域では、toの変化はおよそ 1:1 であり、次のようになります。 あなた + {\displaystyle u^{+}} y + {\displaystyle y^{+}}

のために  y + < 5 {\displaystyle y^{+}
あなた + ＝ y + {\displaystyle u^{+}=y^{+}}

どこ、

y + {\displaystyle y^{+}} 壁座標：壁までの距離yを摩擦速度と動粘性で無次元化した値。 あなた τ {\displaystyle u_{\tau}} ν {\displaystyle \nu}
あなた + {\displaystyle u^{+}} は無次元速度である。壁に平行な速度uをy（壁からの距離）の関数として表し、摩擦速度で割ったものである。 あなた τ {\displaystyle u_{\tau}}

この近似値は 5 壁ユニット以上でも使用できますが、誤差は 25% 以上になります。 y + ＝ 12 {\displaystyle y^{+}=12}

バッファ層

バッファ層（5 壁ユニットから 30 壁ユニットの間）では、どちらの法則も当てはまりません。

のために  5 < y + < 30 {\displaystyle 5<y^{+}
あなた + ≠ y + {\displaystyle u^{+}\neq y^{+}}
あなた + ≠ 1 κ ln y + + C + {\displaystyle u^{+}\neq {\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+}}

どちらの法則からも最も大きな変化は、2つの式が交差する点（ ）付近で発生します。つまり、11壁単位より前では線形近似の方が正確で、11壁単位より後では対数近似を用いるべきですが、どちらも11壁単位においては比較的正確ではありません。 y + ＝ 11 {\displaystyle y^{+}=11}

平均流速プロファイルは、壁近傍乱流運動エネルギー関数とvan Driest混合長方程式に基づく渦粘性定式化により改善される。完全に発達した乱流チャネル流れのDNSデータとの比較は良好な一致を示した。[20] あなた + {\displaystyle u^{+}} y + < 20 {\displaystyle y^{+} κ + {\displaystyle \kappa^{+}} 109 < R e τ < 2003 {\displaystyle 109<Re_{\tau }<2003}

注記

  1. ^ フォン・カルマン、Th. (1930)、「Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz」、Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、Fachgruppe 1 (Mathematik)、5 : 58– 76(別名：「機械的相似と乱流」、Tech. Mem. NACA、no. 611、1931)。
  2. ^ abcde Mohrig, David (2004). 「質量と運動量の保存則」(PDF) . 12.110: 堆積地質学, 2004年秋. MIT OCW . 2009年3月27日閲覧.
  3. ^ abc シュリヒティング & ゲルステン (2000)、522–524 ページ。
  4. ^ シュリヒティング & ゲルステン (2000) p. 530。
  5. ^ Whipple, Kelin (2004). 「水理学的粗度」(PDF) . 12.163: 地表プロセスと景観の進化. MIT OCW . 2009年3月27日閲覧。
  6. ^ Le Roux, JP (2004)、「平面床上の流体力学的遷移流に関する壁面の統合法則」、堆積地質学、163 ( 3–4 ): 311– 321、Bibcode :2004SedG..163..311L、doi :10.1016/j.sedgeo.2003.07.005
  7. ^ Haws, Benjamin. 「Nikuradseの等価砂粗度（ks）」. 2009年3月27日閲覧。[リンク切れ]
  8. ^ リン・ヤリス「法律の欠陥」バークレー研究所：ハイライト97～98。ローレンス・バークレー国立研究所、米国エネルギー省。2008年12月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2009年3月18日閲覧。
  9. ^ Barenblatt, GI (1993)、「十分に発達した乱流せん断流のスケーリング則。第1部 基本的な仮説と分析」、Journal of Fluid Mechanics、248 : 513– 520、Bibcode :1993JFM...248..513B、doi :10.1017/S0022112093000874、S2CID  123639410
    Barenblatt, GI; Prostokishin, VM (1993)、「十分に発達した乱流せん断流のスケーリング則。第2部 実験データの処理」、Journal of Fluid Mechanics、248 : 521– 529、Bibcode :1993JFM...248..521B、doi :10.1017/S0022112093000886、S2CID  121328837
    Barenblatt, GI; Goldenfeld, N. (1995)、「完全に発達した乱流は存在するのか？ レイノルズ数独立性と漸近共分散性」、流体物理学、7 (12): 3078– 3084、arXiv : cond-mat/9507132、Bibcode :1995PhFl....7.3078B、doi :10.1063/1.868685、S2CID  15138376
    Barenblatt, GI; Chorin, AJ (1998)、「壁面せん断流および発達乱流における局所構造のスケーリング則と粘性消失限界」、Communications on Pure and Applied Mathematics、50 (4): 381– 398、doi :10.1002/(SICI)1097-0312(199704)50:4<381::AID-CPA5>3.0.CO;2-6
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参考文献

  • Chanson, H. (2009)、応用流体力学：理想流体と実流体の入門、CRC Press、Taylor & Francis Group、ライデン、オランダ、478ページ、ISBN 978-0-415-49271-3
  • シュリヒティング、ヘルマン。 Gersten, K. (2000)、境界層理論(第 8 改訂版)、Springer、ISBN 3-540-66270-7

さらに読む

  • Buschmann, Matthias H.; Gad-el-Hak, Mohamed (2009)「乱流チャネルおよびパイプ流の非対数的挙動の証拠」、AIAA Journal、47 (3): 535、Bibcode :2009AIAAJ..47..535B、doi :10.2514/1.37032
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