準群

数学、特に抽象代数学において、準群とは「除算」が常に可能であるという意味で群に似た代数構造である。準群は、結合元と単位元の性質が任意であるという点で群と主に異なる。実際、空でない結合準群は群である。^[1]^[2]

単位元を持つ準群はループと呼ばれる。^[3]

定義

準群には、構造的に同等な正式な定義が少なくとも 2 つあります。

準群は、1 つの二項演算を持つ集合として定義されます。
もう 1 つは、普遍代数から、準群を 3 つの基本演算を持つものとして定義します。

しかしながら、準群が3つの基本演算を持つのとは対照的に、1つの二項演算で定義される準群の準同型像は準群である必要はありません。[ 4 ]^最初の定義から始めます。

代数

準群 $(Q, *)$ は、二項演算 $*$ (つまり、マグマであり、準群は閉包性を満たさなければならないことを示す)を持つ集合 $Qであり、$ ラテン方陣の性質に従う。これは、 $Q$ 内の各 $a$ および $b$ に対して、両方が成り立つような $Q$ 内の一意の元 $x$ および $y が$ 存在する、ということを意味する。 (言い換えると、集合の各元は、準群の乗算表、つまりケイリー表の各行と各列に正確に 1 回ずつ出現する。この性質により、有限準群、特に有限群のケイリー表はラテン方陣になることが保証される。) $x$ と $y が$ 一意であるという要件は、マグマが相殺的であるという要件に置き換えることができる。^[5]^[a] $a\ast x=b$ $y\ast a=b$

$これらの方程式の唯一の解は、 x = a \ b$ および $y = b / a$ と書きます。演算「 $\$ 」および「 $/ 」は、それぞれ$ 左除算および右除算と呼ばれます。ケーリー表において、最初の方程式（左除算）は、 $a$ 行の $b要素が$ $x$ 列にあることを意味し、2番目の方程式（右除算）は、 $a$ 列の $b要素が$ $y$ 行にあることを意味します。

空集合に空二項演算を加えたものは、この準群の定義を満たす。空準群を認める著者もいるが、明示的に除外する著者もいる。^[6]^[7]

普遍代数

何らかの代数構造が与えられたとき、恒等式とは、すべての変数が暗黙的に普遍量化され、すべての演算がその構造に固有の基本演算に含まれる方程式のことである。恒等式のみによって与えられる公理を満たす代数構造は、多様体と呼ばれる。普遍代数における多くの標準的な結果は、多様体に対してのみ成立する。左除算と右除算を原始的なものとみなすと、準群は多様体を形成する。

右準群 $(Q, *, / )$ は、次の恒等式を満たす (2, 2)型代数である。 $y=(y/x)\ast x$ $y=(y\ast x)/x$

左準群 $( Q , ∗, \)$ は、次の恒等式を満たす (2, 2)型代数である。 $y=x\ast (x\backslash y)$ $y=x\backslash (x\ast y)$

準群 ( $Q , ∗, \, / )は、次の恒等式を満たす$ (2, 2, 2)型代数(つまり、3つの二項演算を備えた代数) である: ^[b] $y=(y/x)\ast x$ $y=(y\ast x)/x$ $y=x\ast (x\backslash y)$ $y=x\backslash (x\ast y)$

言い換えると、同じ辺の同じ要素に対して、どのような順序で続けて乗算と除算を行っても、実質的な効果はありません。

したがって、前節の定義に従って $(Q, *)$ が準群であるならば、普遍代数の意味で $( Q , ∗, \, /)は同じ準群である。また逆もまた同様である。普遍代数の意味で$ $( Q , ∗, \, /)$ が準群であるならば、最初の定義に従って $(Q, *)$ は準群である。

ループ

ループとは、単位元を持つ準群、すなわち、

Qのすべてのxについて、 x ∗ e = xかつe ∗ x = xです。

したがって、単位元eは一意であり、Qのすべての元には一意の左逆元と右逆元が存在する（これらは必ずしも同じである必要はない）。単位元の存在は必須であるため、ループは空にはならない。

べき等元を持つ準群はピケ（「尖ったべき等準群」）と呼ばれます。これはループよりも弱い概念ですが、それでもよく使われます。例えば、アーベル群（A、+）が与えられた場合、その減算演算を準群の乗算と見なすと、群の単位元（ゼロ）が「尖ったべき等」になったピケ（A、−）が生成されます。（つまり、主同位体（x、y、z）↦（x、−y 、 z ）が存在するということです。）

結合性のあるループはグループです。グループには厳密に非結合性のピケ同位体が存在する可能性がありますが、厳密に非結合性のループ同位体が存在することはありません。

特別な名前が付けられた、より弱い結合性プロパティもあります。

たとえば、Bol ループは次のいずれかを満たすループです。

Qの各 x 、 y 、 z について、x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z ) ) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z （左ボルループ）

さもなければ

Qのそれぞれのx、y、zについて、 (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) (右 Bol ループ)。

左ボルループと右ボルループの両方であるループは、ムーファンループと呼ばれます。これは、すべてのx、y、zに対して成立する以下の単一のムーファン恒等式のいずれかと等価です。

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ z

z ∗ ( x ∗ ( y ∗ x )) = (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = x ∗ (( y ∗ z ) ∗ x )

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = ( x ∗ ( y ∗ z )) ∗ x。

ジョナサン・DH・スミスによると、「ループ」はシカゴループにちなんで名付けられました。これは、その創始者が当時シカゴで準群を研究していたためです。^[10]

対称性

スミス (2007) は、次の重要なプロパティとサブクラスを挙げています。

半対称性

準群は、以下の同値な恒等式のいずれかがすべてのx、yに対して成り立つとき、半対称である: ^[c]

x * y = y / x

y ∗ x = x \ y

x = (y * x) * y

x = y * (x * y) です。

このクラスは特別に見えるかもしれませんが、すべての準群Q は次の操作によって直積立方体Q ³上に半対称準群Q Δ を誘導します。

( x 1 , x 2 , x 3 ) ⋅ ( y 1 , y 2 , y 3 ) = ( y 3 / x 2 , y 1 \ x 3 , x 1 ∗ y 2 ) = ( x 2 // y 3 , x 3 \\ y 1 , x 1 ∗ y 2 )、

ここで、「 $//$ 」と「 $\\ 」は、$ $y // x = x / y$ と $y \\ x = x \ y$ によって与えられる共役除算演算です。

トライアリティ

準群は半対称三元性を示すことがある。^[11]

完全な対称性

より狭いクラスは、全対称準群（TS準群と略されることもある）であり、この準群ではすべての共役が一つの演算として一致する： $x ∗ y = x / y = x \ y$ 。全対称準群（同じ概念）を別の方法で定義すると、可換な半対称準群、すなわち $x * y = y * x$ となる。

冪等性を持つ全対称準群は、シュタイナー三重項と全く同じ（すなわち、一対一である）ため、このような準群はシュタイナー準群とも呼ばれ、後者はスクアッグと略されることもある。スループという用語は、ループの類似物、すなわち $x$ $*$ $x$ $=$ $x$ ではなく $x$ $*$ $x$ $= 1$ を満たす全対称ループを指す。冪等性を持たない全対称準群は、一般化楕円3次曲線（GECC）とも呼ばれる拡張シュタイナー三重項の幾何学的概念に対応する。

完全な反対称性

擬群( Q ,∗)が弱全反対称であるとは、すべてのc , x , y∈Qに対して次の含意が成り立つときいう。[ ^12]

( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ xはx = yを意味します。

準群( Q , ∗ )は、さらにすべてのx , y ∈ Qに対して次の含意が成り立つとき、完全反対称群と呼ばれる: ^[12]

x ∗ y = y ∗ xはx = yを意味します。

このプロパティは、たとえばDamm アルゴリズムでは必須です。

例

すべてのグループはループです。なぜなら、a ∗ x = b である場合は x = a ⁻¹ ∗ bであり、y ∗ a = bである場合はy = b ∗ a ⁻¹であるからです。
整数Z（または有理数Q、実数R）と減算（−）は準群を形成します。これらの準群は単位元が存在しないためループではありません（ 0 は a − 0 = a であるため右単位元ですが、一般に0 − a ≠ aであるため左単位元ではありません）。
非ゼロ有理数Q ^×（または非ゼロ実数R ^×）を除算（÷）すると、準群が形成されます。
特性値が2以外の体上の任意のベクトル空間は、 x ∗ y = ( x + y ) / 2という演算の下で、冪等かつ可換な準群を形成する。
すべてのシュタイナー三元系は、冪等かつ可換な準群を定義する。a ∗ bは、 aとbを含む三元系の3番目の元である。これらの準群はまた、準群内のすべてのxとyに対して( x ∗ y ) ∗ y = xを満たす。これらの準群はシュタイナー準群と呼ばれる。^[13]
ii = jj = kk = +1であり、他のすべての積が四元数群と同じである集合{±1, ±i, ±j, ±k}は、8次の非結合ループを形成する。その応用については双曲型四元数を参照のこと。（双曲型四元数自体はループや準群を形成しない。）
非零八元数は乗算において非結合ループを形成します。八元数は、 Moufangループと呼ばれる特殊なループです。
結合準群は空であるか群であるかのいずれかです。少なくとも 1 つの要素がある場合、結合性と組み合わせた準群の二項演算の可逆性により単位元の存在が示され、さらに逆元の存在が示され、群の 3 つの要件がすべて満たされます。
以下の構成はハンス・ザッセンハウスによるものである。3元ガロア体F = Z /3 Z上の4次元ベクトル空間 F ⁴の基底集合上で、
( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) ∗ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) + (0, 0, 0, ( x ₃ − y) ₃ )( x ₁y ₂ − x ₂y ₁ ))。

すると、( F4 ,∗)は可換な Moufangループであるが^、これは群ではない。^[14]

より一般的には、任意の除算代数の非ゼロ要素は、代数における乗算の演算によって準群を形成します。

プロパティ

この記事の残りの部分では、準群の乗算を単に並置によって表すことにします。

準群には相殺性があります。すなわち、 $ab = ac$ ならば $b = c$ です。これは、 abまたはacをaで左除算することが一意であることから導き出されます。同様に、 $ba = ca$ ならば $b = c$ です。

準群のラテン方陣の性質は、 $xy = z$ の 3 つの変数のうちの任意の 2 つが与えられた場合、 3 番目の変数が一意に決定されることを意味します。

乗算演算子

準群の定義は、左乗法演算子 $L x, R x : Q \to Q$ の条件として扱うことができ、次のように定義される。

L _x ( y ) = xy

R _x ( y ) = yx

定義によれば、どちらの写像もQからそれ自身への全単射である。マグマQ が擬群となるのは、 Qの任意のxに対して、これらの作用素がすべて全単射となるときである。逆写像は左除算と右除算であり、すなわち、

L−1 x( y ) = x \ y

R -1 x (y) = y / x

この記法では、準群の乗算と除算の演算間の恒等式（普遍代数の節で述べた）は

長さ×長さ−1 x= x ( x \ y ) = yに対応するid

L−1 xL x = id は x \ ( xy ) = y          に対応する

R \times R -1 x = (y / x) x = y に対応する id

R -1 x R x = id は (yx) / x = y に対応する

ここで、 $id は$ Q上の恒等写像を表します。

ラテン方陣

有限準群の掛け算表はラテン方陣です。ラテン方陣とは、 n 個の異なる記号で埋められた $n \times n$ の表で、各記号は各行に 1 回ずつ、各列に 1 回ずつ出現します。

逆に、あらゆるラテン方陣は、様々な方法で準群の掛け算表として捉えることができます。境界行（列ヘッダーを含む）と境界列（行ヘッダーを含む）は、それぞれ要素の任意の順列にすることができます。「小さなラテン方陣と準群」を参照してください。

無限準群

可算無限擬群Qに対して、すべての行とすべての列がQの元qに対応し、元 $a$ $*$ $b$ がaに対応する行とbに対応する列に存在するような無限配列を想像することができます。この状況でも、ラテン方陣の性質により、無限配列の各行と各列には、すべての可能な値が正確に1つずつ含まれます。

乗法における非ゼロの実数の群のような、非可算無限の準群の場合、ラテン方陣の性質は依然として成り立ちますが、その名称はいくぶん不満足です。なぜなら、実数をすべての列で表すことはできないため、上記の無限配列の考え方を拡張した組み合わせの配列を生成することは不可能だからです。(ただし、整列定理を仮定すると、実数は長さの列で表すことができるため、これはいくぶん誤解を招きます。) ${\mathfrak {c}}$

逆の性質

準群の二項演算は、左乗算演算子L _xと右乗算演算子R _xが両方とも全単射であり、したがって可逆であるという意味で可逆です。

すべてのループ要素には、次の式で与えられる一意の左逆と右逆があります。

xλ = e / x xλ x = e ​ ​

x ρ = x \ e xx ρ = e

ループが（両側）逆元を持つとは、任意のxに対して $x λ = x ρ が$ 成り立つことを意味する。この場合、逆元は通常x⁻¹で表される。

ループ内の逆については、役に立つことが多い強力な概念がいくつかあります。

ループは、すべてのxとyに対して $x$ $λ$ $($ $xy$ $) =$ $y$ が成り立つとき、左逆の性質を持ちます。同様に、 $L$ $-1 x = L x λ$ または $x \ y = x λ y$ 。
ループは、すべてのxと yに対して $($ $yx$ $)$ $x$ $ρ$ $=$ $y$ が成り立つとき、右逆の性質を持ちます。同様に、 $R$ $-1 x = R x ρ$ または $y / x = yx ρ$ 。
ループは、 $($ $xy$ $)$ $λ$ $=$ $y$ $λ$ $x$ $λ$ $、またはそれと同等の($ $xy$ $)$ $ρ$ $=$ $y$ $ρ$ $x$ $ρ$ の場合には、反自同型逆特性を持ちます。
ループは、 $($ $xy$ $)$ $z$ $=$ $eと$ $x$ $($ $yz$ $) =$ $e$ が等しいとき、かつその場合に限り、弱逆性を持つ。これは逆写像を用いて $($ $xy$ $)$ $λ$ $x$ $=$ $y$ $λ$ 、あるいは同値な $x$ $($ $yx$ $)$ $ρ$ $=$ $y$ $ρ$ と表すことができる。

ループが左逆性と右逆性の両方を持つ場合、そのループは逆性を持ちます。逆性を持つループは、反保型性と弱逆性も持ちます。実際、上記の4つの恒等式のうち2つを満たすループは逆性を持ち、したがって4つすべてを満たします。

左、右、または反自同型逆の性質を満たすループには、自動的に両側逆が存在します。

モルフィズム

準群準同型写像またはループ準同型写像とは、2つの準群間の写像 f : Q → Pであって、f ( xy ) = f ( x ) f ( y )が成り立つ写像である。準群準同型写像は、左右の除算と単位元（存在する場合）を必ず保存する。

ホモトピーとアイソトピー

QとPを準群とする。QからPへの準群ホモトピーは、 QからPへの写像の三つ組( α , β , γ )であって、

α ( x ) β ( y ) = γ ( x y )

Qのすべてのx、yに対して。準群準同型写像は、3つの写像が等しいホモトピーです。

同位体とは、3つの写像( α、β、γ )のそれぞれが一対一となるホモトピーです。2つの準群は、それらの間に同位体が存在する場合、同位体です。ラテン方陣において、同位体( α、β、γ )は、行αの順列置換、列βの順列置換、および基底元集合γ上の順列置換によって与えられます。

オートトピーとは、準群からそれ自身への同位体である。準群のすべてのオートトピーの集合は、自己同型群を部分群とする群を形成する。

全ての準群はループと同位である。ループが群と同位である場合、ループはその群と同型であり、したがってそれ自体が群である。しかし、群と同位である準群は必ずしも群である必要はない。例えば、乗算が( x , y ) ↦ ( x + y )/2となるR上の準群は加法群( R , +)と同位であるが、単位元を持たないためそれ自体は群ではない。ブルック・豊田定理により、全ての中位準群はアーベル群と同位である。

活用形（パラストロフィー）

左除算と右除算は、定義方程式の変数を置換することで擬群を形成する例です。元の演算 ∗ (つまり $x * y = z$ ) から、5つの新しい演算、つまり $x o y := y * x$ (逆演算)、 $/、$ \ $、$ そしてそれらの逆演算を形成できます。これらを合わせると、擬群演算は合計6つになります。これらは∗ の共役またはパラストロフィと呼ばれます。これらの演算の任意の2つは、互いに（そして自分自身に対しても）「共役」または「パラストロフィック」であると言われます。

等方性（パラトピー）

集合Q が二つの準群演算 ∗ と · を持ち、そのうちの一方が他方の共役に同位である場合、それらの演算は互いに等方性であるといわれる。この「等方性」の関係には、パラトピーなど、他にも多くの名前がある。

一般化

多項式または多項式準群

n項擬群とは、n項演算 $($ $Q$ $,$ $f$ $)$ $（ f$ $:$ $Q$ $n$ $\to$ $Q$ ）を持つ集合であり、方程式 $f$ $($ $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ $) =$ $y$ は、他のn個の変数を任意に指定した場合、任意の1つの変数に対して一意の解を持つ。多項式または多項式とは、ある非負整数nに対してn項であることを意味する。

0元群（または零元群）はQの定数元です。1元群（または単元群）はQとそれ自身との単射です。2元群（または2元群）は通常の準群です。

多項擬群の例としては、反復群演算 $y = x 1 \cdot x 2 \cdot \cdot\cdot\cdot \cdot x n$ が挙げられます。群は結合法則に従うため、演算の順序を指定するために括弧を使用する必要はありません。演算の順序が指定されていれば、同じまたは異なる群演算または擬群演算を任意の順序で実行することによっても、多項擬群を形成できます。

これらのいずれの方法でも表現できない多項式準群が存在する。n項準群は、その演算が以下のように2つの演算の合成に因数分解できない場合、 既約群と呼ばれる。

f ( x ₁ , ..., x _n ) = g ( x ₁ , ..., x _{i −1} , h ( x _i , ..., x _j ), x _{j +1} , ..., x _n ),

ただし、 $1 \leq i < j \leq n$ かつ $(i, j) \neq (1, n)$ $で$ $ある。n > 2$ の場合には有限既約n元準群が存在する。詳細は Akivis & Goldberg (2001) を参照のこと。

n 元バージョンの結合性を持つ n元準群は、 n元群と呼ばれます。

小さな準群とループの数

小さな準群（ OEISの配列A057991）とループ（OEISの配列A057771 ）の同型類の数は次のように与えられる：^[15]

参照

除算環– ゼロでないすべての元に逆元が存在する環
半群– 集合と結合二項演算からなる代数構造
モノイド– 単位元を持つ半群
平面三元環- 加法的および乗法的ループ構造を持つ
ループ理論と準群理論の問題点
数独の数学

注記

^ 明確にするために、相殺性だけでは不十分であり、解の存在の要件は保持されなければなりません。
^ これらの演算が満たす恒等式は6つある。^[8] これらのうち、最初の3つは最後の3つを意味し、逆もまた同様であり、どちらの3つの恒等式のセットも準群を等式的に指定するのに十分である。^[9] $y=(y/x)\ast x$ $y=x\backslash (x\ast y)$ $y=x/(y\backslash x)$ $y=(y\ast x)/x$ $y=x\ast (x\backslash y)$ $y=(x/y)\backslash x$
^ 最初の2つの式は、準群の相殺特性を直接適用することで、最後の2つの式と同値になります。最後の2つの式は、 $x = ((x * y) * x) * (x * y) = y * (x * y)$ と設定することで同値であることが示されます。

参考文献

引用

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出典

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外部リンク

準群 2012年4月26日アーカイブ - Wayback Machine
「準群」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]