マジックシリーズ

魔数列とは、 魔方陣と魔方陣の魔定数に加算される、異なる正の整数の集合であり、魔方陣の四次元方陣の線を構成する可能性があります

したがって、1からn ²までの数字を用いたn  ×  n魔方陣では、魔数列とは、合計がn(n 2 + 1)/2となるn個の異なる数の集合です。n = 2の^場合 、魔数列は1+4と2+3の2つだけです。n = 3の場合の8つの魔数列はすべて、  3 × 3魔方陣の行、列、対角線上に現れます。

モーリス・クライチクは1942年の『数学的レクリエーション』の中で、 n  = 7までの魔法級数の個数を示した（ OEISの配列A052456 ）。2002年、ヘンリー・ボトムリーはこれをn = 36まで拡張し、ウォルター・トランプ も独立にn = 32まで 拡張した。2005年、トランプはこれをn  = 54（2 × 10の¹¹¹倍）まで拡張し、ボトムリーは魔法級数の個数について実験的な近似値を与えた。

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\cdot {\sqrt {\frac {3}{e}}}\cdot {\frac {(en)^{n}}{n^{3}-{\frac {3}{5}}n^{2}+{\frac {2}{7}}n}}}$

2006 年 7 月、Robert Gerbicz はこのシーケンスをn  = 150 まで拡張しました。

2013年、ダーク・キナエスは、魔法級数が多面体の体積と関連している可能性があるという洞察を活用しました。トランプはこの新しいアプローチを用いて、魔法級数をn  = 1000まで拡張しました。^[1]

マイク・クイストは、正確な2次カウントの乗数は分母の^{[2]に相当することを示した。}${\displaystyle {\tfrac {1}{n^{3}}}\!\left(1+{\tfrac {3}{5n}}+{\tfrac {31}{420n^{2}}}+\cdots \right)}$ ${\displaystyle n^{3}-{\tfrac {3}{5}}n^{2}+\left({\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {1}{2100}}\right)\!n+\cdots .}$

リチャード・シュロッペルは1973年、5次の魔方陣の完全な列挙を2億7530万5224個で発表しました。この最近の魔方陣に関する研究は、魔方陣と魔方陣の関係から、6次または7次の魔方陣の正確な数が得られるかもしれないという希望を与えています。魔方陣と魔方陣の中間に位置する、複雑な中間構造を考えてみましょう。これは、共通する整数を1つだけ持つ4つの魔方陣の融合と言えるかもしれません。この構造は、奇数次の魔方陣の2つの主要な対角線と中央の行と列を形成します。このような構成要素が、今後の発展の道となるかもしれません。

参考文献

1. ウォルター・トランプ http://www.trump.de/magic-squares/
2. Quist, Michael (2013). 「魔法級数の漸近列挙」. arXiv : 1306.0616 [math.CO].

外部リンク

• ウォルター・トランプのマジックシリーズに関するページ
• マジックシリーズの数は最大150
• デ・ロエラ、ヘスス・A. ; Kim、Edward D. (2013)、輸送ポリトープの組み合わせ論と幾何学: 最新情報、arXiv : 1307.0124、Bibcode :2013arXiv1307.0124D