多体局在
孤立多体系量子系が熱平衡に達しない現象

多体局在（MBL）は、孤立した多体量子系において生じる力学現象である。MBLは、系が熱平衡状態に到達できず、局所的な観測量において初期状態の記憶を無限回にわたって保持するという特徴を持つ。[1]

熱化と局在化

教科書的な量子統計力学[2]では、系は熱平衡状態（熱平衡化）に至ると仮定しています。熱平衡化の過程では、初期条件の局所的な記憶が消去されます。教科書では、熱平衡化は、系を外部環境、つまり「リザーバー」と結合させることで実現され、系は外部環境とエネルギー交換を行うことができます。もし系が環境から分離され、独自のシュレーディンガー方程式に従って発展するとしたらどうなるでしょうか？それでも系は熱平衡化するのでしょうか？

量子力学的時間発展はユニタリであり、量子状態の初期条件に関するすべての情報を常に形式的に保存します。しかし、量子系は一般に巨視的な数の自由度を含みますが、実空間において局所的な少数体測定によってのみ調べることができます。したがって、意味のある問いは、利用可能な局所測定が熱化を示すかどうかです。

この問いは、系の量子力学的密度行列ρを考慮することで形式化できる。系を部分領域A（プローブ領域）とその補領域B （それ以外の領域）に分割すると、 Aのみの測定で得られるすべての情報は、縮約密度行列ρに符号化される。長時間限界において、状態におけるエネルギー密度によって設定される温度で熱密度行列ρに近づくと、系は「熱化」し、初期状態に関する局所的な情報は局所測定から抽出できなくなる。この「量子熱化」のプロセスは、BがAの貯蔵庫として機能するという観点から理解できる。この観点から、純粋状態における熱化系のエンタングルメントエントロピーは、熱エントロピーの役割を果たす。[3] [4] [5]したがって、熱化系は一般に、非ゼロ温度において、拡がりエンタングルメントエントロピー、すなわち「体積法則」エンタングルメントエントロピーを有する。[ 6 ] [7] [8]また、これらは一般に、固有状態熱化仮説（ETH）に従う。[9] [10] [11] ρ あ ＝ Tr B ⁡ ρ （ t ） {\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho (t)} ρ あ （ t ） {\displaystyle \rho _{A}(t)} S ＝ − Tr ⁡ （ ρ あ ログ ⁡ ρ あ ） {\displaystyle S=-\operatorname {Tr} (\rho _{A}\log \rho _{A})}

対照的に、 が長時間限界においても熱密度行列に近づくことができず、初期状態に近いままである場合、系は初期状態の記憶を局所観測量に永久に保持する。この後者の可能性は「多体局在」と呼ばれ、B がAの貯蔵庫として機能できないことを意味する。多体局在相にある系はMBLを示し、任意の局所摂動を受けてもMBLを示し続ける。MBLを示す系の固有状態はETHに従わず、一般的にエンタングルメントエントロピーの「面積法則」に従う（すなわち、エンタングルメントエントロピーはサブ領域Aの表面積に比例する）。以下に、熱化系とMBL系を区別する特性の簡単なリストを示す。 ρ あ （ T ） {\displaystyle \rho _{A}(T)} ρ あ （ 0 ） {\displaystyle \rho _{A}(0)}

  • 熱化系では、初期条件の記憶は局所観測量では長時間アクセスできない。MBL系では、初期条件の記憶は局所観測量で長時間アクセス可能である。
  • 熱化系では、エネルギー固有状態はETHに従います。MBL系では、エネルギー固有状態はETHに従いません。
  • 熱化系では、エネルギー固有状態は体積則のエンタングルメントエントロピーを持つ。MBL系では、エネルギー固有状態は面積則のエンタングルメントエントロピーを持つ。
  • 一般的に、熱伝導システムは熱伝導率がゼロではありません。MBLシステムは熱伝導率がゼロです。
  • 熱化システムは連続的な局所スペクトルを持つ。MBLシステムは離散的な局所スペクトルを持つ。[12]
  • 熱化系では、エンタングルメントエントロピーは低いエンタングルメント初期条件から時間の経過に伴ってべき乗則に従って増加する。 [13] MBL系では、エンタングルメントエントロピーは低いエンタングルメント初期条件から時間の経過に伴って対数的に増加する。[14] [15] [16]
  • 熱化系においては、時間順序を外れた相関器のダイナミクスが、情報の弾道伝播を反映する線形光円錐を形成する。MBL系においては、光円錐は対数的である。 [17] [18] [19] [20] [21]

歴史

MBLは、1958年にPWアンダーソン[22]によって、強く無秩序な量子系において生じ得る可能性として初めて提唱されました。基本的な考え方は、粒子がすべてランダムなエネルギーランドスケープ内に存在する場合、粒子のいかなる再配置も系のエネルギーを変化させるというものでした。量子力学においてエネルギーは保存量であるため、このような過程は仮想的なものに過ぎず、粒子数やエネルギーの移動にはつながりません。

単一粒子系の局在はアンダーソンの最初の論文（アンダーソン局在として知られるようになった）ですでに実証されていたが、多くの粒子系でこの現象が存在することは数十年にわたって推測のままであった。1980年にフライシュマンとアンダーソン[23]は、摂動法において最低次の相互作用を加えてもこの現象が残存することを実証した。1998年の研究[24]では、解析は摂動法のすべての次数、ゼロ次元系に拡張され、MBL現象が残存することが示された。2005年[25]と2006年[26]には、これは摂動法の高次数に拡張され、少なくとも低エネルギー密度ではMBLが残存すると主張された。一連の数値研究[27] [14] [28] [29]は、1次元系、すべてのエネルギー密度（「無限温度」）での現象のさらなる証拠を提供した。最終的に、2014年に[30]インブリーは、強い無秩序性を持つ特定の1次元スピン鎖に対するMBLの証明を提示し、その局在は任意の局所摂動に対して安定である、つまり、システムが多体局在相にあることが示されました。

現在では、MBLは、駆動周波数を法としてエネルギーが保存される周期的に駆動される「フロケ」システムでも発生する可能性があると考えられています。[31] [32] [33]

2025年に[34]は、多体局在系内のサブシステムが定常熱化状態に近づくのではなく、安定な準周期ダイナミクスに従うことを示した。さらに、この研究は、文献で一般的に用いられる手法である、多数の無秩序性の実現を平均化すると、この挙動が隠蔽され、個々のサブシステムが熱化していないにもかかわらず、エンタングルメントがゆっくりと対数的に成長しているように見えるという誤解を招く可能性があることを示した。この結果は、MBL相の安定性に関する新たな証拠となる。

創発的な統合可能性

多体局在系は、創発的積分可能性として知られる現象を示す。相互作用しないアンダーソン絶縁体では、各局在粒子軌道の占有数は、それぞれ独立に運動の局所積分となる。MBL相にも同様の広範な運動の局所積分が存在するはずであると予想された[35] [36]（そしてImbrieによって証明された）。具体的には、ハミルトニアンが

H ＝ ∑ 私 [ J （ X 私 X 私 + 1 + はい 私 はい 私 + 1 ） + J ′ Z 私 Z 私 + 1 + h 私 Z 私 ] 、 {\displaystyle H=\sum _{i}\left[J\left(X_{i}X_{i+1}+Y_{i}Y_{i+1}\right)+J^{\prime }Z_{i}Z_{i+1}+h_{i}Z_{i}\right],}

ここで、X、Y、Zはパウリ作用素であり、h I はある幅Wの分布から抽出された確率変数である。無秩序性が十分に強く（W > W c ）、すべての固有状態が局在する場合、新しい変数τへの局所ユニタリー変換が存在し、

H ＝ ∑ 私 h 私 ′ τ 私 z + ∑ 私 j J 私 j τ 私 z τ j z + ∑ 私 j け K 私 j け τ 私 z τ j z τ け z + ⋯ 、 {\displaystyle H=\sum _{i}h_{i}^{\prime }\tau _{i}^{z}+\sum _{ij}J_{ij}\tau _{i}^{z}\tau _{j}^{z}+\sum _{ijk}K_{ijk}\tau _{i}^{z}\tau _{j}^{z}\tau _{k}^{z}+\cdots ,}

ここで、τはパウリ作用素であり、これらは局所ユニタリ変換によって物理的なパウリ作用素と関連している。... はτ z作用素のみを含む追加項を示し、係数は距離とともに指数関数的に減少する。このハミルトニアンは、明らかに多数の局所的な運動積分、すなわち「l-ビット」（ハミルトニアンと可換な作用素τ z i）を含む。元のハミルトニアンが摂動を受けると、l-ビットは再定義されるが、積分可能な構造は維持される。

エキゾチックな注文

MBLは、局在保護された量子秩序という現象を通じて、熱平衡状態では発生しないようなエキゾチックな量子秩序の形成を可能にする。[37]周期的に駆動されるシステムでのみ発生する局在保護された量子秩序の一種がフロケ時間結晶である。[38] [39] [40] [41] [42]

実験的実現

MBL現象を観測した実験は数多く報告されている。[43] [44] [45] [46] これらの実験のほとんどは、極低温原子やトラップされたイオンの集合体などの合成量子系を対象としている。[47]固体系におけるこの現象の実験的探究はまだ初期段階にある。

参照

参考文献

  1. ^ Nandkishore, Rahul; Huse, David A. (2015). 「量子統計力学における多体局在と熱化」. Annual Review of Condensed Matter Physics . 6 (1): 15– 38. arXiv : 1404.0686 . Bibcode :2015ARCMP...6...15N. doi :10.1146/annurev-conmatphys-031214-014726. ISSN  1947-5454. S2CID  118465889.
  2. ^ 桜井 淳一郎著. 1985.現代量子力学. メンロパーク、カリフォルニア州: ベンジャミン/カミングス
  3. ^ Deutsch, JM (2010年7月26日). 「多体エネルギー固有状態の熱力学的エントロピー」. New Journal of Physics . 12 (7) 075021. arXiv : 0911.0056 . doi :10.1088/1367-2630/12/7/075021. S2CID  119180376.
  4. ^ Santos, Lea F.; Polkovnikov, Anatoli; Rigol, Marcos (2012年7月5日). 「量子系における弱い典型性と強い典型性」. Physical Review E. 86 ( 1) 010102. arXiv : 1202.4764 . doi : 10.1103/PhysRevE.86.010102 . PMID  23005351.
  5. ^ Deutsch, JM; Li, Haibin; Sharma, Auditya (2013年4月30日). 「孤立系における熱力学的エントロピーの微視的起源」. Physical Review E. 87 ( 4) 042135. arXiv : 1202.2403 . doi :10.1103/PhysRevE.87.042135. PMID  23679399. S2CID  699412.
  6. ^ Garrison, James R.; Grover, Tarun (2018年4月30日). 「単一の固有状態は完全なハミルトニアンをエンコードするか？」Physical Review X . 8 (2) 021026. arXiv : 1503.00729 . doi : 10.1103/PhysRevX.8.021026 .
  7. ^ Dymarsky, Anatoly; Lashkari, Nima; Liu, Hong (2018年1月25日). 「サブシステム固有状態熱化仮説」. Physical Review E. 97 ( 1) 012140. arXiv : 1611.08764 . doi :10.1103/PhysRevE.97.012140. hdl : 1721.1/114450 . PMID  29448325.
  8. ^ Huang, Yichen (2019年1月). 「カオス的局所ハミルトニアンの普遍的固有状態エンタングルメント」. Nuclear Physics B. 938 : 594–604 . arXiv : 1708.08607 . doi : 10.1016 /j.nuclphysb.2018.09.013 .
  9. ^ Deutsch, JM (1991年2月1日). 「閉鎖系における量子統計力学」. Physical Review A. 43 ( 4): 2046–2049 . Bibcode :1991PhRvA..43.2046D. doi :10.1103/PhysRevA.43.2046. PMID  9905246. S2CID  40633146.
  10. ^ Srednicki, Mark (1994年8月1日). 「カオスと量子熱化」. Physical Review E. 50 ( 2): 888– 901. arXiv : cond-mat/9403051 . Bibcode :1994PhRvE..50..888S. doi :10.1103/PhysRevE.50.888. PMID:  9962049 . S2CID  :16065583.
  11. ^ Rigol, Marcos; Dunjko, Vanja; Olshanii, Maxim (2008年4月). 「一般的な孤立量子系における熱化とそのメカニズム」. Nature . 452 (7189): 854– 858. arXiv : 0708.1324 . Bibcode :2008Natur.452..854R. doi :10.1038/nature06838. PMID:  18421349. S2CID  : 4384040.
  12. ^ Nandkishore, Rahul; Gopalakrishnan, Sarang; Huse, David A. (2014). 「浴槽に弱く結合した多体局在系のスペクトル特性」. Physical Review B. 90 ( 6) 064203. arXiv : 1402.5971 . doi :10.1103/PhysRevB.90.064203. ISSN  1098-0121. S2CID  118568500.
  13. ^ Kim, Hyungwon; Huse, David A. (2013). 「拡散非積分系におけるエンタングルメントの弾道的拡散」. Physical Review Letters . 111 (12) 127205. arXiv : 1306.4306 . doi :10.1103/PhysRevLett.111.127205. ISSN  0031-9007. PMID  24093298. S2CID  41548576.
  14. ^ アブ・ ジニダリッチ、マルコ;プロセン、トマジュ。プレロフシェク、ピーター（2008年2月25日）。 「ランダム磁場におけるハイゼンベルク XXZ 磁石の多体局在化」。物理的レビュー B . 77 (6) 064426.arXiv : 0706.2539。土井：10.1103/PhysRevB.77.064426。S2CID  119132600。
  15. ^ Bardarson, Jens H.; Pollmann, Frank; Moore, Joel E. (2012). 「多体局在モデルにおけるエンタングルメントの無制限な成長」. Physical Review Letters . 109 (1) 017202. arXiv : 1202.5532 . doi : 10.1103/PhysRevLett.109.017202 . ISSN  0031-9007. PMID  23031128.
  16. ^ Huang, Yichen (2017年5月). 「摂動を伴う臨界ランダム量子イジング鎖におけるエンタングルメントダイナミクス」(PDF) . Annals of Physics . 380 : 224– 227. doi :10.1016/j.aop.2017.02.018. S2CID  44548875.
  17. ^ Huang, Yichen; Zhang, Yong-Liang; Chen, Xie (2017年7月). 「多体局所系における時間順序外相関子」(PDF) . Annalen der Physik . 529 (7) 1600318. doi :10.1002/andp.201600318. S2CID  42690831.
  18. ^ Fan, Ruihua; Zhang, Pengfei; Shen, Huitao; Zhai, Hui (2017年5月). 「多体局在における時間順序外相関」. Science Bulletin . 62 (10): 707– 711. arXiv : 1608.01914 . doi : 10.1016/j.scib.2017.04.011 .
  19. ^ He, Rong-Qiang; Lu, Zhong-Yi (2017年2月10日). 「時間順序を外れた相関による多体局在の特徴づけ」. Physical Review B. 95 ( 5) 054201. arXiv : 1608.03586 . doi :10.1103/PhysRevB.95.054201. S2CID  119268185.
  20. ^ Swingle, Brian; Chowdhury, Debanjan (2017年2月21日). 「無秩序量子系におけるスロースクランブリング」. Physical Review B. 95 ( 6) 060201. arXiv : 1608.03280 . doi :10.1103/PhysRevB.95.060201. hdl : 1721.1/107244 . S2CID  53485500.
  21. ^ Chen, Xiao; Zhou, Tianci; Huse, David A.; Fradkin, Eduardo (2017年7月). 「多体局在相および熱相における時間順序外相関」. Annalen der Physik . 529 (7) 1600332. arXiv : 1610.00220 . doi :10.1002/andp.201600332. S2CID  119201477.
  22. ^ Anderson, PW (1958). 「特定のランダム格子における拡散の不在」. Physical Review . 109 (5): 1492– 1505. Bibcode :1958PhRv..109.1492A. doi :10.1103/PhysRev.109.1492. ISSN  0031-899X.
  23. ^ Fleishman, L.; Anderson, PW (1980). 「相互作用とアンダーソン転移」. Physical Review B. 21 ( 6): 2366– 2377. doi :10.1103/PhysRevB.21.2366. ISSN  0163-1829.
  24. ^ Altshuler, Boris L.; Gefen, Yuval; Kamenev, Alex; Levitov, Leonid S. (1997). 「有限系における準粒子寿命：非摂動論的アプローチ」. Physical Review Letters . 78 (14): 2803– 2806. arXiv : cond-mat/9609132 . Bibcode :1997PhRvL..78.2803A. doi :10.1103/PhysRevLett.78.2803. ISSN  0031-9007. S2CID  18852288.
  25. ^ Gornyi, IV; Mirlin, AD; Polyakov, DG (2005). 「無秩序なワイヤにおける相互作用電子：アンダーソン局在と低T輸送」. Physical Review Letters . 95 (20) 206603. arXiv : cond-mat/0506411 . doi :10.1103/PhysRevLett.95.206603. ISSN  0031-9007. PMID  16384079. S2CID  39376817.
  26. ^ Basko, DM; Aleiner, IL; Altshuler, BL (2006). 「局所的単一粒子状態を有する弱相互作用多電子系における金属–絶縁体転移」Annals of Physics . 321 (5): 1126– 1205. arXiv : cond-mat/0506617 . Bibcode :2006AnPhy.321.1126B. doi :10.1016/j.aop.2005.11.014. ISSN  0003-4916. S2CID  18345541.
  27. ^ Oganesyan, Vadim; Huse, David A. (2007). 「高温における相互作用フェルミオンの局在」. Physical Review B. 75 ( 15) 155111. arXiv : cond-mat/0610854 . doi :10.1103/PhysRevB.75.155111. ISSN  1098-0121. S2CID  119488834.
  28. ^ Pal, Arijeet; Huse, David A. (2010). 「多体局在相転移」. Physical Review B. 82 ( 17) 174411. arXiv : 1010.1992 . doi :10.1103/PhysRevB.82.174411. ISSN  1098-0121. S2CID  41528861.
  29. ^ Serbyn, Maksym; Papić, Z.; Abanin, DA (2014). 「多体局在相における量子クエンチ」. Physical Review B. 90 ( 17) 174302. arXiv : 1408.4105 . doi :10.1103/PhysRevB.90.174302. hdl : 1721.1/91499 . ISSN  1098-0121. S2CID  18658716.
  30. ^ Imbrie, John Z. (2016). 「 量子スピン鎖の多体局在について」. Journal of Statistical Physics . 163 (5): 998–1048 . arXiv : 1403.7837 . doi :10.1007/s10955-016-1508-x. ISSN  0022-4715. S2CID  11250762.
  31. ^ D'Alessio, Luca; Polkovnikov, Anatoli (2013). 「周期駆動系における多体エネルギー局在遷移」Annals of Physics . 333 : 19– 33. arXiv : 1210.2791 . doi :10.1016/j.aop.2013.02.011. ISSN  0003-4916. S2CID  118476386.
  32. ^ Lazarides, Achilleas; Das, Arnab; Moessner, Roderich (2015). 「周期駆動下における多体局在の運命」. Physical Review Letters . 115 (3) 030402. arXiv : 1410.3455 . doi :10.1103/PhysRevLett.115.030402. ISSN  0031-9007. PMID  26230771. S2CID  28538293.
  33. ^ Ponte, Pedro; Papić, Z.; Huveneers, François; Abanin, Dmitry A. (2015). 「周期駆動系における多体局在」(PDF) . Physical Review Letters . 114 (14) 140401. doi :10.1103/PhysRevLett.114.140401. ISSN  0031-9007. PMID  25910094. S2CID  38608177.
  34. ^ Azodi, Peyman; Rabitz, Herschel A. (2025). 「多体局所ダイナミクスの安定性と準周期性」. New Journal of Physics . 27 (7). IOP Publishing: 074506. doi : 10.1088/1367-2630/adedae .
  35. ^ Serbyn, Maksym; Papić, Z.; Abanin, Dmitry A. (2013). 「局所保存則と多体局在状態の構造」. Physical Review Letters . 111 (12) 127201. arXiv : 1305.5554 . doi :10.1103/PhysRevLett.111.127201. ISSN  0031-9007. PMID  24093294. S2CID  13006260.
  36. ^ Huse, David A.; Nandkishore, Rahul; Oganesyan, Vadim (2014). 「完全多体局在系の現象学」. Physical Review B. 90 ( 17) 174202. arXiv : 1305.4915 . doi :10.1103/PhysRevB.90.174202. ISSN  1098-0121. S2CID  5553355.
  37. ^ Huse, David A.; Nandkishore, Rahul; Oganesyan, Vadim; Pal, Arijeet; Sondhi, SL (2013). 「局在保護された量子秩序」. Physical Review B. 88 ( 1) 014206. arXiv : 1304.1158 . Bibcode :2013PhRvB..88a4206H. doi : 10.1103/PhysRevB.88.014206 . ISSN  1098-0121.
  38. ^ ケマニ、ヴェディカ;ラザリデス、アキレアス。メスナー、ローデリヒ。ソンディ、SL (2016)。 「駆動量子システムの位相構造」。物理的なレビューレター。116 (25) 250401.arXiv : 1508.03344。ビブコード:2016PhRvL.116y0401K。土井：10.1103/PhysRevLett.116.250401。ISSN  0031-9007。PMID  27391704。
  39. ^ エルス, ドミニク・V.; バウアー, ベラ; ナヤック, チェタン (2016). 「フロケ時間結晶」. Physical Review Letters . 117 (9) 090402. arXiv : 1603.08001 . Bibcode :2016PhRvL.117i0402E. doi :10.1103/PhysRevLett.117.090402. ISSN  0031-9007. PMID  27610834. S2CID  1652633.
  40. ^ von Keyserlingk, CW; Khemani, Vedika; Sondhi, SL (2016). 「フロケ系における絶対安定性と時空間長距離秩序」. Physical Review B. 94 ( 8) 085112. arXiv : 1605.00639 . Bibcode :2016PhRvB..94h5112V. doi : 10.1103/PhysRevB.94.085112 . ISSN  2469-9950.
  41. ^ Zhang, J.; Hess, PW; Kyprianidis, A.; Becker, P.; Lee, A.; Smith, J.; Pagano, G.; Potirniche, I.-D.; Potter, AC; Vishwanath, A.; Yao, NY; Monroe, C. (2017). 「離散時間結晶の観測」. Nature . 543 (7644): 217– 220. arXiv : 1609.08684 . Bibcode :2017Natur.543..217Z. doi :10.1038/nature21413. ISSN  0028-0836. PMID  28277505. S2CID  4450646.
  42. ^ チェ・スンウォン;チェ・ジュニ。ランディグ、レナーテ。ゲオルク、クチスコ。周、恒雲。磯谷純一；ヘレスコ、ヒョードル。小野田 忍炭谷 仁;ケマニ、ヴェディカ。カート・フォン・カイザーリングク。ヤオ、ノーマン Y.デムラー、ユージン。ルーキン、ミハイル D. (2017)。 「無秩序な双極子多体系における離散時間結晶秩序の観察」。自然。543 (7644 ) : 221–225。arXiv : 1610.08057 。Bibcode :2017Natur.543..221C。土井：10.1038/nature21426. ISSN  0028-0836。PMC 5349499 . PMID  28277511 . 
  43. ^ Kondov, SS; McGehee, WR; Xu, W.; DeMarco, B. (2015). 「強相関原子ハバード気体における無秩序誘起局在」. Physical Review Letters . 114 (8) 083002. arXiv : 1305.6072 . doi : 10.1103/PhysRevLett.114.083002 . ISSN  0031-9007. PMID  25768762.
  44. ^ Schreiber, M.; Hodgman, SS; Bordia, P.; Luschen, HP; Fischer, MH; Vosk, R.; Altman, E.; Schneider, U.; Bloch, I. (2015). 「準ランダム光格子における相互作用フェルミオンの多体局在の観測」. Science . 349 (6250): 842– 845. arXiv : 1501.05661 . doi :10.1126/science.aaa7432. ISSN  0036-8075. PMID  26229112. S2CID  5112350.
  45. ^ Choi, J.-y.; Hild, S.; Zeiher, J.; Schauss, P.; Rubio-Abadal, A.; Yefsah, T.; Khemani, V.; Huse, DA; Bloch, I.; Gross, C. (2016). 「2次元における多体局在遷移の探究」. Science . 352 (6293): 1547– 1552. arXiv : 1604.04178 . Bibcode :2016Sci...352.1547C. doi :10.1126/science.aaf8834. ISSN  0036-8075. PMID  27339981. S2CID  35012132.
  46. ^ Wei, Ken Xuan; Ramanathan, Chandrasekhar; Cappellaro, Paola (2018). 「核スピン鎖における局在の探究」. Physical Review Letters . 120 (7) 070501. arXiv : 1612.05249 . Bibcode :2018PhRvL.120g0501W. doi : 10.1103/PhysRevLett.120.070501 . ISSN  0031-9007. PMID  29542978.
  47. ^ Smith, J.; Lee, A.; Richerme, P.; Neyenhuis, B.; Hess, PW; Hauke, P.; Heyl, M.; Huse, DA; Monroe, C. (2016). 「プログラム可能なランダム無秩序性を持つ量子シミュレータにおける多体局在」. Nature Physics . 12 (10): 907– 911. arXiv : 1508.07026 . Bibcode :2016NatPh..12..907S. doi :10.1038/nphys3783. ISSN  1745-2473. S2CID  53408060.
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