写像シリンダー

数学、特に代数的位相幾何学において、写像シリンダー^[1]とは、位相空間と間の連続 関数 の商である${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle M_{f}=(([0,1]\times X)\amalg Y)\,/\,\sim }$

ここで は非結合和集合を表し、 ~ は以下によって 生成される同値関係である。${\displaystyle \amalg}$

${\displaystyle (0,x)\sim f(x)\quad {\text{各 }}x\in X について。}$

つまり、写像円筒は、写像 を介しての一端を に貼り付けることによって得られる。円筒の「上」はに同相で、一方「下」は空間 であることに注意されたい。 についてはと書き、写像円筒の構築にはまたは という表記法を用いるのが一般的である。つまり、 ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle X\times [0,1]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{1\}\times X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)\subset Y}$ ${\displaystyle Mf}$ ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle \sqcup _{f}}$ ${\displaystyle \cup _{f}}$

${\displaystyle Mf=([0,1]\times X)\cup _{f}Y}$

添え字付きのカップ記号は同値性を表します。マッピングシリンダーは、シリンダーの一端を点に折り畳むことで得られるマッピングコーンを作成するためによく使用されます。マッピングシリンダーは、 コファイブレーションの定義において中心的な役割を果たします。 ${\displaystyle Cf}$

基本特性

下側のYはの変形収縮です。投影は（ を介して）分割され、変形収縮は次のように与えられます ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle M_{f}\to Y}$ ${\displaystyle Y\ni y\mapsto y\in Y\subset M_{f}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R:M_{f}\times I\rightarrow M_{f}}$

${\displaystyle ([t,x],s)\mapsto [s\cdot t,x],(y,s)\mapsto y}$

（ただし、 の点は、すべての に対してであるため、固定されたままです）。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [0,x]=[s\cdot 0,x]}$ ${\displaystyle s}$

この写像は、"上面"が の強い変形収縮である場合にのみホモトピー同値となる。^[2]強い変形収縮の明示的な式を導くことができる。^[3]${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \{1\}\times X}$ ${\displaystyle M_{f}}$

例

繊維束のマッピングシリンダー

繊維を含む繊維束 の場合、マッピングシリンダーは ${\displaystyle \pi:P\to X}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle M_{\pi }=(([0,1]\times P)\coprod X)/\sim }$

同値関係がある

${\displaystyle (0,p_{x})\sim (0,q_{x})}$

に対してである。すると、点を 点に写す標準写像が存在し、ファイバー束を与える。 ${\displaystyle p_{x},q_{x}\in F_{x}}$ ${\displaystyle [i,p_{x},x]\in M_{\pi}}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle p:M_{\pi}\to X}$

そのファイバーは円錐である。これを理解するために、点上のファイバーは商空間であること に注意する。${\displaystyle CF_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle [0,1]\times F_{x}\coprod \{x\}/\sim }$

ここで、 内のすべての点は同等です。 ${\displaystyle \{0\}\times F_{x}}$

解釈

マッピングシリンダーは、任意の写像を同等のコファイブレーションに置き換える方法として、次のように 考えることができます

写像 が与えられると、写像シリンダーは、コファイブレーションおよび射影ホモトピー同値（実際、Yはの変形後退）を伴う空間 となり、その合成はf に等しくなります。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}}$ ${\displaystyle M_{f}\to Y}$ ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle X\to M_{f}\to Y}$

したがって、空間Yはホモトピー同値空間に置き換えられ、写像fは持ち上げられた写像に置き換えられる。同様に、図 ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

図に置き換えられる

${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}}$

それらの間のホモトピー同値性も示します。

この構成は、任意の位相空間のマップをホモトピーと同等のコファイブレーションに置き換えるのに役立ちます。

点ごとに、コファイブレーションは閉じた包含であることに注意してください。

応用

マッピングシリンダーは非常に一般的なホモトピーツールです。マッピングシリンダーの用途の一つは、空間の包含に関する定理を、単射ではない可能性のある一般の写像に適用すること です

したがって、関係する空間および写像のホモトピー類にのみ依存する定理や手法（ホモロジー、コホモロジー、ホモトピー理論など）は、 および実際には部分空間が含まれるという仮定のもとでに適用できます。 ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X\subset Y}$ ${\displaystyle f}$

この構成のもう 1 つの、より直感的な魅力は、関数が 1 対 1 である必要がないにもかかわらず、の点を の点に「送信」し、したがって に埋め込むという関数の通常の精神的イメージと一致することです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

カテゴリーの適用と解釈

マッピングシリンダーを用いてホモトピー余極限を構築することができる：^[要出典]これは、すべてのプッシュアウトとコイコライザーを持つ任意のカテゴリはすべての余極限を持つという一般的な命題から導かれる。つまり、図が与えられた場合、マッピングシリンダーを用いて写像をコファイブレーションに置き換え、通常の点ごとの極限を求める（少し注意が必要だが、マッピングシリンダーは構成要素である）。

逆に言えば、マッピングシリンダーは、およびの図のホモトピープッシュアウトです。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {\text{id}}_{X}\colon X\to X}$

マッピング望遠鏡

写像の 列が与えられたとき

${\displaystyle X_{1}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{2}{\xrightarrow {f_{2}}}X_{3}\to \cdots }$

マッピング望遠鏡はホモトピー的な直接極限です。写像がすべてすでにコファイブレーションである場合（直交群 の場合など）、直接極限は和ですが、一般にはマッピング望遠鏡を使用する必要があります。マッピング望遠鏡は、端から端まで結合されたマッピングシリンダーの列です。構築の図は、望遠鏡のように、次第に大きくなるシリンダーを積み重ねたように見えます ${\displaystyle O(n)\subset O(n+1)}$

正式には次のように定義される。

${\displaystyle {\Bigl (}\coprod _{i}[0,1]\times X_{i}{\Bigr )}/((0,x_{i})\sim (1,f_{i}(x_{i}))).}$

関連項目

• 共繊維化
• シリンダーのマッピング（ホモロジー代数）
• ホモトピー余極限
• マッピングパス空間は、マッピングコシリンダーとして見ることができる

参考文献

1. ハッチャー、アレン(2003).代数的位相幾何学. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学. Pr. p. 2. ISBN 0-521-79540-0。
2. ハッチャー、アレン (2003).代数的位相幾何学. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 15. ISBN 0-521-79540-0。
3. Aguado, Alex (2012). 「シリンダーのマッピングに関する短いメモ」arXiv : 1206.1277 [math.AT].

• メイ, JP (1999). 『代数的位相幾何学簡潔講座』シカゴ大学出版局. ISBN 978-0-2265-1183-2。