数学的証明
Reasoning for mathematical statements

P. Oxy. 29 は、ユークリッドの『原論』の現存する最古の断片の一つで、数千年にわたって証明の書き方を教えるために用いられた教科書である。この図は第2巻、命題5に付随している。[1]

数学的な証明とは、数学的な命題に対する演繹的な 議論であり、述べられた仮定が結論を論理的に保証することを示します。この議論では、定理など、以前に確立された他の命題が使用される場合もありますが、すべての証明は、原則として、公理[2] [3] [4]と呼ばれる特定の基本的または独自の仮定と、受け入れられている推論規則のみを使用して構築できます。証明は、論理的な確実性を確立する網羅的な演繹推論の例であり、「合理的な期待」を確立する経験的議論や網羅的ではない帰納的推論とは区別されます。命題が成り立つ多くの事例を提示するだけでは証明には不十分であり、証明では、すべての可能な事例において命題が真であることを示す必要があります。証明されていないが真であると信じられている命題は、予想、またはさらなる数学的研究のための仮定として頻繁に使用される場合は仮説 と呼ばれます

証明は、数学記号で表現された論理と、通常は多少の曖昧さを許容する自然言語を用いて行われます。ほとんどの数学文献では、証明は厳密な 非形式論理で書かれています。自然言語を介さずに完全に記号言語で書かれた純粋に形式的な証明は、証明理論で考慮されます。形式的証明と非形式的証明の区別は、現在および歴史的な数学的実践、数学における準経験主義、いわゆるフォーク数学、主流の数学コミュニティまたは他の文化における口承の伝統について多くの研究につながってきました。数学の哲学は、証明における言語と論理の役割、そして言語としての数学に関係しています。

歴史と語源

証明（proof ）という言葉はラテン語のprobare（「試す」）に由来します。関連語には英語のprobe、probation、probability、スペイン語のprobar（「味わう」（「触る」または「試す」という意味もある）、[5]イタリア語のprovare（「試す」）、ドイツ語のprobieren（「試す」）などがあります。法律用語のprobity（プロビティ）は、権威や信頼性、つまり名声や地位のある人物による証言が事実を証明する力を意味します。[6]

図や類推といった発見的な手法を用いた妥当性の議論は、厳密な数学的証明に先行していました。[7]結論を実証するという考えは、土地測量の実際的な問題に端を発する幾何学に関連して最初に生まれたと考えられます。[8]数学的証明の発展は、主に古代ギリシャ数学の産物であり、その最大の成果の一つです。[9] タレス（紀元前624～546年）とキオスのヒポクラテス（紀元前470～410年頃）は、幾何学における定理の最初の証明のいくつかを与えました。エウドクソス（紀元前408～355年）とテアイテトス（紀元前417～369年）は定理を定式化しましたが、証明はしませんでした。アリストテレス（紀元前384～322年）は、定義は定義される概念を既知の他の概念の観点から記述すべきだと述べました

数学的証明はユークリッド（紀元前300年）によって革命をもたらしました。彼は今日でも使われている公理的方法を導入しました。それは未定義の用語と公理、つまり自明に真であると仮定される未定義の用語に関する命題から始まります（ギリシャ語のaxios「価値のあるもの」に由来）。この基礎から、この方法は演繹論理を用いて定理を証明します。ユークリッドの『原論』は、 20世紀半ばまで西洋で教養があるとみなされる人なら誰でも読んでいました。[10]ピタゴラスの定理などの幾何学の定理に加えて、『原論』は数論も扱っており、 2の平方根が無理数であることの証明や、素数が無限に存在することの証明が含まれています

中世イスラム数学においてもさらなる進歩が見られました。10世紀には、イラクの数学者アル・ハシミが、「線」と呼ばれる数字そのものを扱い、必ずしも幾何学的物体の測定値とはみなされないものを用いて、無理数の存在を含む乗算、除算などに関する代数的命題を証明しました。[11]等差数列の帰納的証明は、アル・ファクリ（1000）でアル・カラジによって導入され、二項定理とパスカルの三角形の性質を証明しました。

現代の証明理論は、証明を帰納的に定義されたデータ構造として扱い、公理がいかなる意味でも「真」であるという仮定を必要としません。これにより、公理の代替集合に基づく、与えられた直感的な概念の形式モデルとして、例えば公理集合論と非ユークリッド幾何学のような、並行した数学理論が可能になります。

性質と目的

実践されているように、証明は自然言語で表現され、聴衆に陳述の真実性を納得させることを目的とした厳密な議論です。厳密さの基準は絶対的なものではなく、歴史を通じて変化してきました。証明は、対象となる聴衆に応じて異なる方法で提示することができます。受け入れられるためには、証明は共通の厳密さの基準を満たす必要があり、曖昧または不完全であると見なされる議論は拒否される可能性があります。

証明の概念は、数理論理学の分野で形式化されています。[12]形式的な証明は、自然言語ではなく形式言語で書かれます。形式的な証明とは、形式言語における一連の式であり、仮定から始まり、後続の各式は前の式の論理的帰結となります。この定義により、証明の概念は研究しやすくなっています。実際、証明理論の分野では形式的な証明とその特性が研究されており、最も有名で驚くべきことは、ほとんどすべての公理系が、その系内では証明できない 特定の決定不可能な陳述を生成できるということです

形式的証明の定義は、数学の実践において記述される証明の概念を捉えることを意図している。この定義の妥当性は、公開された証明が原理的には形式的証明に変換できるという確信に等しい。しかしながら、自動証明支援システムの分野以外では、実際にはこれがほとんど行われていない。哲学における古典的な問いとして、数学的証明は分析的か総合的かというものがある。分析的証明と総合的証明の区別を導入したカントは、数学的証明は総合的であると信じていたが、クワインは1951年の著書『経験主義の二つのドグマ』の中で、そのような区別は成り立たないと主張した。[13]

証明はその数学的な美しさから賞賛されることがあります。数学者ポール・エルデシュは、特に優雅だと感じた証明を、各定理を証明する最も美しい方法を収録した仮説的な大著「The Book」から引用したと説明することで知られていました。2003年に出版された『Proofs from THE BOOK』は、編集者が特に満足のいくと感じた32の証明を提示することに専念しています。

証明の方法

直接証明

直接証明では、公理、定義、および以前の定理を論理的に組み合わせることによって結論が確立されます。[14]例えば、直接証明は、2つの偶数 の和が常に偶数である ことを証明するために使用できます

2つの偶数xとyを考えます。これらは偶数なので、ある整数aとbに対して、それぞれx  = 2 a、y  = 2 bと書くことができます。すると、和はx  +  y  = 2 a  + 2 b  = 2( a + b ) となります。したがって、x + yは2を因数として持ち、定義により偶数です。したがって、任意の2つの偶数の和は偶数です。

この証明では、偶数の定義、加算と乗算における閉包の整数特性、および分配法則を用いています。

数学的帰納法による証明

その名前にもかかわらず、数学的帰納法は演繹の方法であり、帰納的推論の一形態ではありません。数学的帰納法による証明では、単一の「基本ケース」が証明され、任意のケースが次のケースを含意することを証明する「帰納法の規則」が証明されます。原理的には帰納法の規則は（証明された基本ケースから始めて）繰り返し適用できるため、すべての（通常は無限に多い）ケースが証明可能であると結論付けられます。[15]これにより、各ケースを個別に証明する必要がなくなります。数学的帰納法の変種として無限降下法による証明があり、これは例えば、2の平方根の無理数を証明するために使用できます。

数学的帰納法による証明の一般的な応用は、ある数に対して成立することが知られている性質がすべての自然数に対して成立することを証明することです。 [ 16 ] N = {1, 2, 3, 4, ... } を自然数の集合とし、P ( n )をNに属する自然数n を含む数学的命題とし、

  • (i) P (1)は真である。すなわち、n = 1 のときP ( n )は真である。
  • (ii) P ( n +1)は、 P ( n )が真であるときはいつでも真である。すなわち、P ( n )が真であるということは、P ( n +1)が真であることを意味する。
  • すると、

例えば、2 n − 1 の形のすべての正の整数は奇数であることを帰納法によって証明できる。P (n )を 「 2 n − 1は奇数である」と表すとしよう。

( i ) n = 1のとき、 2 n − 1  = 2(1) − 1 = 1であり、1 は2で割ると余りが1となるので奇数である。したがって、P (1)は真である
(ii)任意のnについて、2 n  − 1が奇数（P ( n )）ならば、奇数に2を加えると奇数になるため、(2 n  − 1) + 2も奇数でなければなりません。しかし、 (2 n  − 1) + 2 = 2 n  + 1 = 2( n + 1) − 1なので、2( n + 1) − 1は奇数（P ( n + 1)）です。したがって、P ( n )はP ( n + 1)を意味します。
したがって、すべての正の整数 nについて、 2 n  − 1は奇数です。

「数学的帰納法による証明」の代わりに、「帰納法による証明」という短い表現がよく使用されます。[17]

対偶による証明

対偶による証明は、「もし pならばqである」という命題を、論理的に同値な対偶命題「もしq でないならばp でない」 を確立することによって推論します

例えば、対偶は整数が与えられたとき、が偶数であれば、が偶数であることを証明するために使用できます。 x {\displaystyle x} x 2 {\displaystyle x^{2}} x {\displaystyle x}

が偶数ではないと仮定します。すると、は奇数です。2つの奇数の積は奇数なので、は奇数です。したがって、は偶数ではありません。したがって、が偶数であれば、仮定は偽であるはずなので、は偶数でなければなりません。 x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot x} x 2 {\displaystyle x^{2}} x 2 {\displaystyle x^{2}} x {\displaystyle x}

背理法による証明

背理法による証明は、ラテン語の「reductio ad absurdum 」（不合理への還元によって）としても知られ、ある命題が真であると仮定すると、論理的な矛盾が生じ、したがってその命題は偽であることが示されます。有名な例としては、 無理数であるという証明があります 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}

が有理数だと仮定しましょう。すると、最小の項で書くと、aとbは共通因数を持たない非ゼロの整数です。つまり、 です。両辺を二乗すると、 2 b 2 = a 2となります。左側の式は 2 の整数倍なので、右側の式は定義により 2 で割り切れます。つまり、a 2は偶数であり、これは上の命題 (#対偶による証明) に見られるように、a も偶数でなければならないことを意味します。したがって、 a = 2 cと書くことができます。ここでもc は整数です。元の式に代入すると、 2 b 2 = (2 c ) 2 = 4 c 2となります。両辺を 2 で割ると、b 2 = 2 c 2となります。しかし、前と同じ議論により、 2 はb 2を割り切るので、b は偶数でなければなりません。ただし、aとbが両方とも偶数の場合、共通因数は 2 になります。これは、 aとbに共通因数が存在しないという以前の記述と矛盾するため、無理数であると結論付けなければなりません。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 = a b {\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}} b 2 = a {\displaystyle b{\sqrt {2}}=a} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}

言い換えると、分数で表すことができる場合、2は常に分子と分母から因数分解できるため、この分数は最小の項で表すことはできません。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}

構成による証明

構成による証明、または例による証明とは、ある性質を持つものが存在することを示すために、その性質を持つ具体的な例を構築することです。例えば、ジョセフ・リウヴィルは、明示的な例を構築することによって超越数の存在を証明しました。また、すべての要素が特定の性質を持つという命題を反証するための 反例を構築するためにも使用できます。

網羅的証明

網羅的証明では、結論を有限個のケースに分割し、それぞれを個別に証明することで証明します。ケースの数は非常に多くなることがあります。例えば、四色定理の最初の証明は、1936個のケースを用いた網羅的証明でした。この証明は、ケースの大部分が手作業ではなくコンピュータプログラムによって検証されたため、物議を醸しました。[18]

閉連鎖推論

閉連鎖推論は

文がそれぞれ一対一で同値であることを証明するために、含意、、、およびについて証明が与えられます。[19] [20] φ 1 , … , φ n {\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}} φ 1 ⇒ φ 2 {\displaystyle \varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}} φ 2 ⇒ φ 3 {\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}} … {\displaystyle \dots } φ n − 1 ⇒ φ n {\displaystyle \varphi _{n-1}\Rightarrow \varphi _{n}} φ n ⇒ φ 1 {\displaystyle \varphi _{n}\Rightarrow \varphi _{1}}

一対一の同値性は、物質的条件文の推移性から生じます。

確率的証明

確率的証明とは、確率論の方法を用いて、例が確実に存在することを示す証明です。確率的証明は、構成による証明と同様に、存在定理を証明する多くの方法の1つです。

確率的方法では、多数の候補から始めて、特定の特性を持つオブジェクトを探します。選択される各候補に一定の確率を割り当て、選択された候補が目的の特性を持つ確率がゼロではないことを証明します。これは、どの候補がその特性を持つかを特定するものではありませんが、少なくとも1つがなければ確率は正にはなりません

確率的証明は、定理が「おそらく」真であるという議論、つまり「妥当性議論」と混同してはなりません。コラッツ予想に向けた研究は、妥当性が真の証明からどれほどかけ離れているかを示しており、メルテンス予想の反証も同様です。ほとんどの数学者は、与えられた対象の性質に関する確率的証拠が真の数学的証明とはみなさないものの、少数の数学者と哲学者は、少なくともいくつかの種類の確率的証拠（素数性を判定するためのラビンの確率的アルゴリズムなど）は真の数学的証明と同じくらい優れていると主張しています。[21] [22]

組合せ論的証明

組合せ論的証明は、異なる表現が同じ対象を異なる方法で数えることを示すことによって、それらの同値性を確立します。多くの場合、 2つの集合間の一対一表現は、それらの2つのサイズを表す表現が等しいことを示すために使用されます。あるいは、二重計数論は、1つの集合のサイズを表す2つの異なる表現を提供し、これもまた2つの表現が等しいことを示します。

非構成的証明

非構成的証明は、ある性質を持つ数学的対象が存在することを証明しますが、そのような対象がどのように見つかるかは説明しません。多くの場合、これは背理法による証明の形を取り、対象の非存在が不可能であることが証明されます。対照的に、構成的証明は、特定の対象を見つける方法を提供することで、その対象が存在することを証明します。次の有名な非構成的証明の例は、2つの無理数 aとbが存在し、それらが有理数であることを示しています。この証明では、無理数が無理数であること（簡単な証明はユークリッド以来知られています）を使用していますが、無理数が無理数であることは使用していません（これは正しいですが、証明は初等的ではありません）。 a b {\displaystyle a^{b}} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}

が有理数であればこれで完了です（ を取る）、またはが無理数であれば と書くことができます。すると が得られ、これは という形式の有理数です。 2 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} a = b = 2 {\displaystyle a=b={\sqrt {2}}} 2 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} a = 2 2 {\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} b = 2 {\displaystyle b={\sqrt {2}}} ( 2 2 ) 2 = 2 2 = 2 {\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2} a b . {\displaystyle a^{b}.}

純粋数学における統計的証明

「統計的証明」という表現は、暗号学、カオス級数、確率数論、解析数論など、純粋数学の分野で専門的または口語的に使用されることがあります。[23] [24] [25]数理統計学として知られる数学の分野における数学的証明を指すためにはあまり使用されません。以下の「データを用いた統計的証明」のセクションも参照してください。

コンピュータ支援証明

20世紀までは、いかなる証明も原理的には有能な数学者によって検証され、その妥当性を確認できると考えられていました。[7]しかし、現在ではコンピュータは定理を証明するためだけでなく、人間や人間のチームでは検証できないほど長い計算を実行するためにも使用されています。四色定理の最初の証明は、コンピュータ支援による証明の例です。一部の数学者は、コンピュータプログラムのエラーや計算の実行時エラーの可能性が、そのようなコンピュータ支援による証明の妥当性に疑問を投げかけるのではないかと懸念しています。実際には、計算に冗長性と自己チェックを取り入れ、複数の独立したアプローチとプログラムを開発することで、コンピュータ支援による証明を無効にするエラーの可能性を減らすことができます。人間による証明の検証においても、特に証明に自然言語が含まれており、潜在的な隠れた仮定や誤りを明らかにするために深い数学的洞察が必要な場合は、エラーを完全に排除することはできません。

決定不可能な文

公理の集合から証明も反証もできない命題は、（それらの公理から）決定不能と呼ばれます。一例として、平行線公準は、ユークリッド幾何学の残りの公理からは証明も反証もできません。

数学者は、数学における集合論の標準体系である選択公理（ZFC）を用いて、ツェルメロ＝フランケル集合論において証明も反証もできない命題が多数存在することを示しました（ZFCが矛盾しないと仮定した場合）。ZFCにおいて決定不能な命題の一覧を参照してください。

ゲーデルの（第一）不完全性定理は、数学的に興味深い多くの公理系が決定不能な命題を持つことを示しています。

発見的数学と実験数学

クニドスのエウドクソスのような初期の数学者は証明を使用しませんでしたが、ユークリッドから19世紀後半から20世紀にかけての基礎数学の発展に至るまで、証明は数学の不可欠な部分でした。 [26] 1960年代の計算能力の向上に伴い、実験数学において、証明定理の枠組みを超えた数学的対象を調査する重要な研究が行われ始めました。 [27]これらの手法の初期の先駆者たちは、最終的に古典的な証明定理の枠組みに解決されることを意図していました。例えば、フラクタル幾何学の初期の発展は[28]、最終的にそのように解決されました。

視覚的証明

初等的証明

2列証明

1913年に発表された2列証明

2つの平行な列を用いて証明を構成する特定の方法は、アメリカ合衆国の初等幾何学の授業で数学の演習としてよく用いられます。 [29]証明は2つの列に一連の行として書かれます。各行において、左側の列には命題が含まれ、右側の列には、左側の列の対応する命題が公理、仮説、または以前の命題から論理的に導き出される方法についての簡単な説明が含まれます。左側の列は通常「主張」、右側の列は通常「理由」と題されます。[30]

データを用いた統計的証明

帰納論理による証明とベイズ解析

心的対象としての証明

証明の終了

証明の終わりを示すために「QED」という略語が書かれることがあります。この略語は「quod erat demonstrandum」の略で、ラテン語で「証明されるべきもの」を意味します。より一般的な代替手段は、□や∎などの正方形または長方形を使用することです。これらは「トゥームストーン」または、ポール・ハルモスに ちなんで「ハルモス」と呼ばれます。口頭発表中に「QED」、「□」、または「∎」と書く際に、「示されるべきもの」が口頭で述べられることがよくあります。Unicodeは「証明の終了」文字U+220E (∎) (220E(16進数) = 8718(10進数))を明示的に提供しています。

関連項目

参考文献

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参考文献

ウィキクォートには数学的証明に関する引用があります。
無料辞書のウィクショナリーで証明を調べてください
  • ウィキメディア・コモンズにおける数学的証明に関連するメディア
  • 数学における証明：シンプル、魅力的、そして誤り
  • ウィキバーシティのコースにおける証明に関するレッスン
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