高次元超重力

高次元超重力は、一般相対論を高次元において超対称的に一般化したものです。超重力は11次元までの任意の次元で定式化できます。本稿では、4次元を超える超重力（SUGRA）に焦点を当てます。

超多重子

超対称変換によって関連付けられる場は超多重項を形成します。重力子を含む場は超重力多重項と呼ばれます。

超重力理論の名称には、一般に、それが存在する時空の次元数と、それが持つグラビティーノの数が含まれる。理論の名称に、超多重項の選択肢を含めることもある。例えば、(9 + 1)次元超重力は、9つの空間次元、1つの時間、および2つのグラビティーノを持つ。異なる超重力理論の場の内容は大きく異なるが、すべての超重力理論には少なくとも1つのグラビティーノが含まれ、すべてに1つのグラビトンが含まれる。したがって、すべての超重力理論には、1つの超重力超多重項が含まれる。それぞれに1つのグラビトンを持つ複数の分離理論と同等ではない、複数のグラビトンを持つ理論を構築できるかどうかはまだわかっていない。^[要出典]最大超重力理論（以下を参照）では、すべての場は超対称性変換によって関連付けられるため、超多重項は1つだけ、すなわち超重力多重項が存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

ゲージ超重力とヤン・ミルズ超重力

「ゲージ超重力」という用語が、理論内の場が理論内のベクトル場に対して荷電されている超重力理論を指す場合、しばしば誤用される。しかし、区別が重要な場合は、以下が正しい命名法である。大域的（すなわち剛体的）R対称性がゲージ化されている場合、重力場はいくつかのベクトル場に対して荷電されており、その理論はゲージ化超重力と呼ばれる。理論の他の大域的（剛体的）対称性（例えば、理論が非線形シグマモデルである場合）がゲージ化され、いくつかの（重力場以外の）場がベクトルに対して荷電されている場合、それはヤン＝ミルズ＝アインシュタイン超重力理論と呼ばれる。もちろん、上記のゲージ化を組み合わせた「ゲージ化ヤン＝ミルズ＝アインシュタイン」理論を想像することもできる。

グラビティーノを数える

グラビティーノはフェルミオンであり、スピン統計定理によれば、奇数のスピノル指数を持つ必要がある。実際、グラビティーノ場は1つのスピノルと1つのベクトル指数を持ち、これはグラビティーノがスピノル表現とローレンツ群のベクトル表現のテンソル積として変換されることを意味する。これはラリタ・シュウィンガースピノルである。

各ローレンツ群にはベクトル表現が1つしかありませんが、一般にスピノリアル表現は複数存在します。厳密に言えば、これらはスピン群と呼ばれるローレンツ群の二重被覆の表現です。

スピノリアル表現の標準的な例はディラックスピノルであり、これはあらゆる時空次元数で存在する。しかし、ディラックスピノル表現は常に既約ではない。数を計算する際には、常に実既約表現の数を数える。各次元数に存在する、スピン数が3/2未満のスピノルについては、次の節で分類する。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

スピノルの分類

利用可能なスピノル表現はkに依存します。質量のない粒子の運動量を保存するローレンツ群の小群の最大コンパクト部分群は Spin( d  − 1) × Spin( d  −  k  − 1) です。ここで、kは空間次元の数dから時間次元の数d  −  kを引いた値に等しくなります。 (ヘリシティ (素粒子物理学)を参照) たとえば、私たちの世界では、これは 3 − 1 = 2 です。ローレンツ群のホモトピー群のmod 8ボット周期性により、実際にはkを法として 8を考慮するだけで済みます。

kの任意の値に対して、ディラック表現が存在し、これは常に実次元で、x以下の最大の整数です。実マヨラナスピノル表現が存在する場合、その次元はディラック表現の半分になります。kが偶数の場合、ワイルスピノル表現が存在し、その実次元はやはりディラックスピノルの半分になります。最後に、k が8 で割り切れる場合、つまりk が8 を法として 0 の場合、実次元がディラックスピノルの 4 分の 1 で あるマヨラナ–ワイルスピノルが存在します。${\displaystyle 2^{1+\lfloor {\frac {2d-k}{2}}\rfloor }}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle -2\leq k\leq 2{\pmod {8}}}$

場合によっては、 のときに存在するシンプレクティック・マヨラナ・スピノルも考慮されます。これはディラック・スピノルの半分の成分を持ちます。k =4 のとき、これらはワイル・スピノルとなることもあり、その場合、ディラック・スピノルの4分の1の成分を持つワイル・シンプレクティック・マヨラナ・スピノルが生成されます。 ${\displaystyle 3\leq k\leq 5}$

キラリティーの選択

n次元のスピノルは、 n次元ローレンツ群の表現（実際には加群）であるだけでなく、 n次元クリフォード代数と呼ばれるリー代数の表現でもあります。クリフォード代数の複素次元表現、すなわちディラックスピノルに作用する表現の最も一般的に用いられる基底は、ガンマ行列で構成されます。 ${\displaystyle 2^{\lfloor n\rfloor }}$

nが偶数の場合、ガンマ行列全体の積は、n = 4の場合に初めて考慮されたため、しばしば と呼ばれます が、それ自体はクリフォード代数の元ではありません。しかし、クリフォード代数の元の積であるため、代数の普遍被覆内にあり、ディラックスピノルに作用を持ちます。 ${\displaystyle \Gamma _{5}}$

特に、ディラックスピノルは、固有値が に等しいの固有空間に分解することができる。ここで、kは時空における空間次元数と時間次元数の差である。これら2つの固有空間のスピノルはそれぞれ、ローレンツ群の射影表現を形成し、ワイルスピノルとして知られる。 の固有値はスピノルのカイラリティと呼ばれ、左手系または右手系となる。 ${\displaystyle \Gamma _{5}}$ ${\displaystyle \pm (-1)^{-k/2}}$ ${\displaystyle \Gamma _{5}}$

単一のワイルスピノルとして変換する粒子はカイラルであると言われる。ミンコフスキー空間におけるローレンツ不変性によって要求されるCPT定理は、時間方向が単一である場合、そのような粒子には反対のカイラリティを持つ反粒子が存在することを意味する。

の固有値（その固有空間は2つのカイラリティ）は であることを思い出してください。特に、k が4を法とした2に等しい場合、2つの固有値は複素共役となり、したがってワイル表現の2つのカイラリティは複素共役表現となります。 ${\displaystyle \Gamma _{5}}$ ${\displaystyle \pm (-1)^{-k/2}}$

量子理論における複素共役は時間反転に対応する。したがって、CPT定理は、ミンコフスキー次元の数が4で割り切れる場合（つまりkが4を法とする2に等しい場合）、左手系と右手系の超電荷の数は同数になることを意味する。一方、次元が4を法とする2に等しい場合、左手系と右手系の超電荷の数は異なる可能性があるため、この理論はしばしば二重項で表現される。ここで、 kとkはそれぞれ左手系と右手系の超電荷の数である。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=({\mathcal {N}}_{L},{\mathcal {N}}_{R})}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{R}}$

超対称性を数える

すべての超重力理論は超ポアンカレ代数における変換に対して不変であるが、個々の構成は一般にこの群のすべての変換に対して不変ではない。超ポアンカレ群は、リー超代数である超ポアンカレ代数によって生成される。リー超代数は次数付き代数であり、その中で次数 0 の要素はボソン的、次数 1 の要素はフェルミオン的と呼ばれる。固定次数の各生成子のペア間には、ヤコビ恒等式を満たす反対称括弧である交換子が定義される。フェルミオン的生成子のペアについては、代わりに反交換子と呼ばれる対称括弧が定義される。 ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$

フェルミオン生成子は超電荷とも呼ばれる。任意の超電荷に対して不変な構成はBPSと呼ばれ、多くの場合、非繰り込み定理によって、そのような状態は多くの量子補正の影響を受けないため、特に扱いやすいことが示される。

超電荷はスピノルに変換され、これらのフェルミオン生成子の既約スピノルの数は、上で定義したグラビティーノの数に等しい。この定義は重力のない超対称理論にも拡張されるため、しばしばグラビティーノの数ではなくフェルミオン生成子の数として定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

理論をグラビティーノや超電荷の既約表現の数ではなく、その次元の総Qで特徴づける方が便利な場合がある。これは、理論のいくつかの特徴が、どの次元数であっても同じQ依存性を持つためである。例えば、すべての粒子のスピンが2以下である理論にのみ関心がある場合が多い。この場合、Qが32を超えないことが求められる。ただし、ボソン生成子の積をフェルミオン生成子の反交換子に用いるという、従来とは異なる非線形な方法で超対称性が実現される特殊なケースは除く。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

例

最大超重力

最も関心を集めている超重力理論は、2以上のスピンを含んでいません。これは特に、ローレンツ変換によって2以上の階数の対称テンソルに変換される場を含まないことを意味します。しかしながら、相互作用する高次スピン場の理論の整合性は、現在非常に活発な関心を集めている分野です。

あらゆる超ポアンカレ代数における超電荷は、 m個の基本超電荷の乗法基底によって生成され、超電荷の加法基底（この超電荷の定義は上記の定義よりもやや広義である）は、これらのm個の基本超電荷の任意の部分集合の積によって与えられる。m個の元の部分集合の数は2 ^mであり、したがって超電荷の空間は2 ^m次元である。

超対称理論における場は、超ポアンカレ代数の表現を形成する。mが5より大きい場合、スピンが2以下の場のみを含む表現は存在しないことが示される。したがって、ここではmが5以下の場合、つまり超荷電の最大数が32であるケースに着目する。正確に32個の超対称性を持つ超重力理論は、最大超重力と呼ばれる。

上で、スピノル内の超電荷の数は時空の次元と符号に依存することを見ました。超電荷はスピノル内で発生します。したがって、上記の超電荷の数の制限は、任意の次元の時空では満たされません。以下では、この制限が満たされるいくつかのケースについて説明します。

12次元の2時間理論

32個の超電荷のみを持つスピノルが存在する最高次元は12です。空間方向が11方向、時間方向が1方向の場合、ワイルスピノルとマヨラナスピノルが存在しますが、どちらも64次元であるため、大きすぎます。しかし、一部の研究者は、高次のスピン場が現れない可能性のある超対称性の非線形作用について考察しています。

代わりに10次元の空間方向と2次元の時間次元を考慮すると、マヨラナ＝ワイルスピノルが存在し、これは期待通り32個の成分のみを持ちます。2時間理論の主要提唱者の一人であるイツァーク・バーズによる概要については、 arxiv.orgに掲載されている彼の論文「Two-Time Physics」および「Two-Time Physics」を参照してください。彼は「超重力、pブレーン双対性、そして隠れた時空次元」において、12次元の超重力を考察しました。

二時間理論には問題が潜んでいる可能性があるという考えは広くあったものの、必ずしも普遍的ではありませんでした。例えば、因果律の問題（原因と結果の乖離）やユニタリー性の問題（負の確率、ゴースト）などが考えられます。また、量子力学におけるハミルトニアンに基づくアプローチは、別の時間に対応する第二のハミルトニアンの存在によって修正が必要となる可能性があります。しかしながら、「二時間物理学」において、こうした潜在的な問題は適切なゲージ対称性によって解決されることが実証されました。

低エネルギー挙動を記述する他の2時間理論としては、例えばCumrun VafaのF理論が挙げられます。この理論も12次元を用いて定式化されています。しかし、F理論自体は2時間理論ではありません。F理論の12次元のうち2次元は、記録装置として理解できますが、他の10の時空座標と混同すべきではありません。これらの2次元は互いに双対的な関係にあり、独立して扱うべきではありません。

11次元最大SUGRA

この最大超重力は、 M理論の古典的極限です。古典的には、11次元超重力理論は7次元超空間＋4次元の共通次元という1つしかありません。他のすべての最大超重力理論と同様に、この理論は単一の超多重項、すなわち重力子、マヨラナ重力子、そしてしばしばC場と呼ばれる3形式ゲージ場を含む超重力超多重項を含みます。

これには2つのpブレーン解、すなわち2-ブレーンと5-ブレーンが含まれており、これらはC場に対してそれぞれ電気的および磁気的に荷電されている。これは、2-ブレーン荷電と5-ブレーン荷電が、それぞれ双対C場と元のC場に対するビアンキ恒等式の破れであることを意味する。超重力2-ブレーンと5-ブレーンは、 M理論におけるM2-ブレーンとM5-ブレーンの長波長極限である（上記の歴史的概説も参照） 。

10d SUGRA理論

タイプIIA SUGRA:北= (1, 1)

この最大超重力は、 IIA型弦理論の古典的極限である。超重力超多重項の場の内容は、重力子、マヨラナ重力子、カルブ・ラモンド場、奇数次元ラモンド・ラモンドゲージポテンシャル、ディラトン、およびディラトンから構成される。

ラモンド・ラモンドゲージポテンシャルのビアンキ恒等式は、D(8 − 2 k )ブレーン と呼ばれるソースを追加することで破れる可能性がある。${\displaystyle C_{2k-1}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle ddC_{2k-1}=\rho .\,\,\,}$

IIA型超重力の民主的な定式化では、0 < k < 6に対してラモンド・ラモンド・ゲージポテンシャルが存在し 、これはD0ブレーン（D粒子とも呼ばれる）、D2ブレーン、D4ブレーン、D6ブレーン、そしてk = 0 の場合も含めるとD8ブレーンにつながる。さらに、 NS5ブレーン と呼ばれる基本弦とその電磁双対が存在する。

明らかに−1形式のゲージ接続は存在しないが、対応する0形式の場の強度G _{0 が}存在する可能性がある。この場の強度はローマンス質量と呼ばれ、それがゼロでない場合、超重力理論は質量付きIIA超重力またはローマンスIIA超重力と呼ばれる。上記のビアンキ恒等式から、D8ブレーンは異なるG ₀の領域間のドメインウォールであることが分かる。したがって、D8ブレーンが存在する場合、少なくとも時空の一部はローマンス理論によって記述される。

11d SUGRAからのIIA SUGRA

IIA SUGRAは、円周上の11次元超重力の次元縮小である。これは、時空上の11次元超重力が、円周S ¹の半径の逆数に比例する質量を持つモードを消去した10次元多様体上のIIA超重力と等価であることを意味する。 ${\displaystyle M^{10}\times S^{1}\,}$ ${\displaystyle M^{10}\,}$

特に、IIA 超重力の場とブレーン内容は、この次元削減手順によって導くことができます。ただし、場は次元削減から生じるものではなく、有質量 IIA が高次元理論の次元削減であることは知られていません。1 形式の Ramond–Ramond ポテンシャルは、Kaluza–Klein 手順から生じる通常の 1 形式の接続であり、コンパクト化された円に沿って 1 つのインデックスを含む 11 次元計量の成分から生じます。IIA 3 形式ゲージ ポテンシャルは、円に沿っていないインデックスを持つ 11 次元 3 形式ゲージ ポテンシャル成分の削減であり、IIA Kalb–Ramond 2 形式 B 場は、円に沿って 1 つのインデックスを持つ 11 次元 3 形式の成分で構成されます。IIA の高次の形式は独立した自由度ではありませんが、ホッジ双対性を使用して低次の形式から得られます。 ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}\,}$ ${\displaystyle C_{3}\,}$

同様に、IIA ブレーンは 11 次元ブレーンと幾何学から派生しています。IIA D0 ブレーンは、コンパクト化された円に沿ったカルツァ＝クライン運動量モードです。IIA 基本弦は、コンパクト化された円を包む 11 次元の膜です。IIA D2 ブレーンは、コンパクト化された円を包まない 11 次元の膜です。IIA D4 ブレーンは、コンパクト化された円を包む 11 次元の 5 ブレーンです。IIA NS5 ブレーンは、コンパクト化された円を包まない 11 次元の 5 ブレーンです。IIA D6 ブレーンは、カルツァ＝クラインのモノポール、つまりコンパクト円ファイバの位相的欠陥です。 IIA D8 ブレーンの 11 次元への持ち上げは知られていない。IIA 幾何学の 1 つの側面は非自明なローマ質量であり、ローマ質量の 11 次元のオリジナルは不明であるからである。

タイプIIB SUGRA:北= (2, 0)

この最大超重力は、 IIB型弦理論の古典的極限である。超重力超多重項の場の内容は、重力子、ワイル重力子、カルブ・ラモンド場、偶数次元ラモンド・ラモンドゲージポテンシャル、ディラトン、およびディラトンから構成される。

ラモンド・ラモンド場は、奇数次元D(2 k  + 1)-ブレーンによって供給され、超対称U (1)ゲージ理論をホストする。IIA超重力理論と同様に、基本弦はカルブ・ラモンドB場の電場源であり、NS5-ブレーンは磁場源である。IIA理論とは異なり、NS5-ブレーンは超対称性を持つ世界体積U (1)超対称ゲージ理論をホストするが、この超対称性の一部は時空の幾何学と存在する他のブレーンに依存して破れる可能性がある。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$

この理論は、カルブ・ラモンド場とRR 2形式を入れ替え、ディラトンとRR 0形式アクシオンを混合するS双対性として知られるSL(2,  R )対称性を備えています。

タイプIゲージSUGRA：北= (1, 0)

これらは、I型弦理論と2つのヘテロティック弦理論の古典的な極限である。超電荷のマヨラナ＝ワイルスピノルは1つしか存在せず、10次元では16個の超電荷を含む。16は超電荷の最大数である32より小さいため、I型は最大超重力理論ではない。

特に、これは超多重項が複数種類存在することを意味します。実際には 2 種類あります。通常どおり、超重力超多重項が存在します。これはタイプ II の超重力超多重項よりも小さく、重力子、マヨラナ–ワイルグラビティーノ、2 形式ゲージ ポテンシャル、ディラトン、ディラティーノのみを含みます。この 2 形式がカルブ–ラモンド場と考えられるかラモン–ラモンド場と考えられるかは、超重力理論をヘテロティック弦理論の古典的極限と見なすかタイプ I 弦理論のどちらと見なすかによって異なります。また、ベクトル超多重項もあり、これにはグルーオンと呼ばれる 1 形式ゲージ ポテンシャルとマヨラナ–ワイルグルーイノが含まれます。

古典理論が唯一であるタイプIIAおよびIIBの超重力とは異なり、古典理論としての超重力は、単一の超重力超多重項と任意の数のベクトル多重項と矛盾しません。超重力超多重項がなくても矛盾しませんが、その場合は重力子が含まれないため、超重力理論ではありません。複数の超重力超多重項を追加することはできますが、それらが一貫して相互作用するかどうかはわかりません。ベクトル超多重項の数（ある場合）を自由に決定できるだけでなく、それらの結合を決定する際にもある程度自由があります。それらは古典的な超ヤン・ミルズゲージ理論を記述する必要がありますが、ゲージ群の選択は任意です。さらに、古典理論では重力結合のいくつかの選択を自由に行うことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

古典的超重力には多くの種類があるが、それらのすべてが量子理論の古典的極限というわけではない。一般的に、これらの理論の量子バージョンは様々な異常性を抱えており、これは六角形ファインマン図の1ループで既に見られる。1984年と1985年に、マイケル・グリーンとジョン・H・シュワルツは、ちょうど496個のベクトル超多重項を含み、2次元形式と計量の特定の結合を選択すると、重力異常性が打ち消されることを示した。これはグリーン・シュワルツ異常打ち消し機構と呼ばれている。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

さらに、異常キャンセルには、ゲージ異常をキャンセルする必要があります。これにより、ゲージ対称性代数は、、、またはのいずれかに固定されます。ただし、最初の2つのリー代数のみ、超弦理論から得ることができます^{[引用が必要]}。少なくとも8つのスーパーチャージを持つ量子理論は、真空の連続モジュライ空間を持つ傾向があります。16のスーパーチャージを持つこれらの理論のコンパクト化では、さまざまなウィルソンループの異なる値を持つ縮退した真空が存在します。このようなウィルソンループを使用して、ゲージ対称性をさまざまなサブグループに破ることができます。特に、上記のゲージ対称性は、標準モデルのゲージ対称性だけでなく、GUT理論で一般的なSO(10)やSU(5)などの対称群も得るために破られる可能性があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(32)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}\oplus {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}\oplus 248{\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle 496{\mathfrak {u}}(1)}$

9d SUGRA理論

9次元ミンコフスキー空間において、唯一既約なスピノル表現は16個の成分を持つマヨラナスピノルである。したがって、スーパーチャージは最大2個存在するマヨラナスピノルに存在する。

10日目から9日目のSUGRAが最大

特に、2つのマヨラナスピノルが存在する場合、9次元最大超重力理論が得られます。10次元では、IIAとIIBという2つの非等価な最大超重力理論が存在したことを思い出してください。円上のIIAまたはIIBの次元縮小は、唯一の9次元超重力理論です。言い換えれば、9次元空間M ⁹と円の積上のIIAまたはIIBは、円がゼロに収縮する極限を取らない限り、カルツァ＝クラインモードを持つ M ⁹上の9次元理論と等価です。

T双対性

より一般的には、 M ⁹上の非自明な円束上の 10 次元理論を考えることができる。次元削減によってもM ⁹上の 9 次元理論が得られるが、1 形式ゲージポテンシャルは円束の接続に等しく、2 形式場の強度は古い円束のチャーン類に等しい。次に、この理論を他の 10 次元理論に持ち上げることができ、その場合、1 形式ゲージポテンシャルはカルブ・ラモンド場に持ち上げられることがわかる。同様に、2 番目の 10 次元理論における円のファイバ化の接続は、コンパクト化された円上の元の理論のカルブ・ラモンド場の積分である。

この2つの10次元理論間の変換はT双対性として知られています。超重力におけるT双対性は次元削減を伴うため情報が失われますが、完全な量子弦理論では追加の情報が弦の巻きモードに保存されるため、T双対性は2つの10次元理論間の双対性となります。上記の構成は、完全な量子理論においても、円束の接続と双対カルブ・ラモンド場の関係を得るために使用できます。

北= 1ゲージSUGRA

元の10次元理論と同様に、9次元N=1超重力理論は、1つの超重力多重項と任意の数のベクトル多重項を含む。これらのベクトル多重項は結合することで任意のゲージ理論を許容することができるが、すべての可能性が量子完備化を持つわけではない。前の節で述べたように、10次元理論とは異なり、超重力多重項自体にはベクトルが含まれるため、N=2の場合でも少なくともU(1)ゲージ対称性が常に存在する。

数学

^{クレマー、ジュリア、シェルク[1]}が力ずくで発見した11次元超重力のラグランジアンは次の通りである。

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}L&=&+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}eR-{\frac {1}{2}}e{\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNP}D_{N}[{\frac {1}{2}}(\omega -{\overline {\omega }})]\psi _{P}\\&&+{\frac {1}{48}}eF_{MNPQ}^{2}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{384}}e({\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNPQRS}\psi _{S}\\&&+12{\overline {\psi }}^{N}\Gamma ^{PQ}\psi ^{R})(F+{\overline {F}})_{NPQR}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{3456}}\varepsilon ^{M_{1}\dots M_{11}}F_{M_{1}\dots M_{4}}F_{M_{5}\dots M_{8}}A_{M_{9}M_{10}M_{11}}\end{array}}}$

次の 3 種類のフィールドが含まれます。

${\displaystyle e_{M}^{A},\psi _{M},A_{MNP}}$

この超重力理論の対称性は、超群OSp(1|32)によって与えられ、その部分群はボソン対称性に対してO(1)、フェルミオン対称性に対してSp(32)となる。これは、スピノルが11次元で32個の成分を必要とするためである。11次元超重力は4次元にコンパクト化することができ、その場合OSp(8|4)対称性を持つ。（それでも8 × 4 = 32なので、成分数は同じである。）スピノルは4次元で4個の成分を必要とする。これによりゲージ群はO(8)となるが、これは標準モデルのゲージ群U(1) × SU(2) × SU(3)（少なくともO(10)を必要とする）を包含するには小さすぎる。

注釈と参考文献

1. Cremmer, E.; Julia, B.; Scherk, J. (1978). 「11次元における理論上の超重力」. Physics Letters B. 76 ( 4). Elsevier BV: 409– 412. Bibcode :1978PhLB...76..409C. doi :10.1016/0370-2693(78)90894-8. ISSN  0370-2693.