基本解法

科学計算およびシミュレーションにおいて、基本解法（MFS ）は、偏微分方程式を解く手法であり、その基本解を基底関数として用いる。MFSは、支配方程式を満たすために基本解も用いる境界要素法（BEM）の主要な欠点を克服するために開発された。したがって、MFSとBEMはどちらも境界離散化数値手法であり、計算の複雑さを1次元化することで、無限領域、薄壁構造、逆問題の解法において、有限要素法や有限体積法などの領域型数値手法よりも特に優位性がある。

BEMとは対照的に、MFSは特異な基本解の数値積分を回避し、本質的にメッシュフリーな手法です。しかしながら、この手法は、基本解の特異性を回避するために物理領域外に議論の余地のある架空の境界を必要とするという欠点があり、これが現実の問題への適用性を著しく制限しています。しかしながら、MFSは無限領域問題などの一部の応用分野では非常に競争力があることが分かっています。

MFS は、文献では電荷シミュレーション法、重ね合わせ法、特異点分離法、間接境界要素法、仮想境界要素法など、さまざまな名前で知られています。

MFS製剤

特定の種類の問題を支配する偏微分方程式を考えてみましょう

L u = f ( x , y ) ,     ( x , y ) ∈ Ω , {\displaystyle Lu=f\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \Omega ,}
u = g ( x , y ) ,     ( x , y ) ∈ ∂ Ω D , {\displaystyle u=g\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D},}
∂ u ∂ n = h ( x , y ) ,     ( x , y ) ∈ ∂ Ω N , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N},}

ここで、 は微分部分演算子、は計算領域、は それぞれディリクレ境界とノイマン境界を表します。 L {\displaystyle L} Ω {\displaystyle \Omega } ∂ Ω D {\displaystyle \partial \Omega _{D}} ∂ Ω N {\displaystyle \partial \Omega _{N}} ∂ Ω D ∪ ∂ Ω N = ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega } ∂ Ω D ∩ ∂ Ω N = ∅ {\displaystyle \partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing }

MFSは、演算子の基本解を基底関数として用いて、未知の関数uの近似を次のように表す。

u ∗ ( x , y ) = ∑ i = 1 N α i ϕ ( r i ) {\displaystyle {{u}^{*}}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)}

ここで、は共点と発生点間のユークリッド距離を表し、は次式を満たす基本解である。 r i = ‖ ( x , y ) − ( s x i , s y i ) ‖ {\displaystyle r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(sx_{i},sy_{i}\right)\right\|} ( x , y ) {\displaystyle \left(x,y\right)} ( s x i , s y i ) {\displaystyle \left(sx_{i},sy_{i}\right)} ϕ ( ⋅ ) {\displaystyle \phi \left(\cdot \right)}

L ϕ = δ {\displaystyle L\phi =\delta \,}

ここで、 はディラックのデルタ関数、は未知の係数です。 δ {\displaystyle \delta } α i {\displaystyle {{\alpha }_{i}}}

音源点が物理領域の外側にある場合、MFSは基本解の特異性を回避します。この近似を境界条件に代入すると、次の行列方程式が得られます。

[ ϕ ( r j | x i , y i ) ∂ ϕ ( r j | x k , y k ) ∂ n ]   ⋅   α = ( g ( x i , y i ) h ( x k , y k ) ) , {\displaystyle \left[{\begin{matrix}\phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{i},y_{i}}\right)\\{\frac {\partial \phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{k},y_{k}}\right)}{\partial n}}\\\end{matrix}}\right]\ \cdot \ \alpha =\left({\begin{matrix}g\left(x_{i},y_{i}\right)\\h\left(x_{k},y_{k}\right)\\\end{matrix}}\right),}

ここで、 と はそれぞれディリクレ境界とノイマン境界上の共点を表します。未知の係数は上記の代数方程式によって一意に決定されます。そして、物理領域内の任意の位置における数値解を評価することができます。 ( x i , y i ) {\displaystyle \left(x_{i},y_{i}\right)} ( x k , y k ) {\displaystyle \left(x_{k},y_{k}\right)} α i {\displaystyle \alpha _{i}}

歴史と最近の動向

MFSの基礎となるアイデアは、主に1950年代後半から1960年代初頭にかけて、VD KupradzeとMA Alexidzeによって開発されました。[1]しかし、この手法は、ずっと後になって1970年代後半にR. MathonとRL Johnstonによって計算手法として初めて提案され、[2]その後、Mathon、Johnston、Graeme Fairweatherによる多数の論文と応用が発表されました。MFSはその後、様々な物理問題や工学問題の解決に役立つツールとして徐々に普及していきました。[3] [4] [5] [6]

1990年代には、MA GolbergとCS ChenがMFSを非同次方程式や時間依存問題にも適用できるように拡張し、その適用範囲を大幅に拡大しました。[7] [8]その後の開発により、MFSは変数係数を持つ偏微分方程式を解くのに使用できることが示されました。[9] MFSは、逆問題、 [10]非有界領域問題、自由境界問題などの特定のクラスの問題に特に効果的であることが証明されています。 [11]

MFS における架空境界問題を解決するために、境界ノット法、特異境界法、正規化メッシュレス法などのいくつかの手法が開発されています。

参照

参考文献

  1. ^ K. VD, A. MA, ある種の境界値問題の近似解のための関数方程式法、 USSR Comput Math Math Phys . 4 (1964) 82–126。
  2. ^ R. Mathon, RL Johnston, 楕円境界値問題の基本解による近似解、 SIAM Journal on Numerical Analysis (1977) 638–650。
  3. ^ Z. Fu, W. Chen, W. Yang、「境界のみの境界粒子法によるウィンクラー板曲げ問題」、計算力学。44 (2009) 757–763。
  4. ^ W. Chen, J. Lin, F. Wang, 非均質問題に対する正規化メッシュレス法 Archived 2015-06-06 at the Wayback Machine , Engineering Analysis with Boundary Elements . 35 (2011) 253–257.
  5. ^ W. Chen, FZ Wang, 架空境界のない基本解法 Archived 2015-06-06 at the Wayback Machine ,境界要素によるエンジニアリング解析. 34 (2010) 530–532.
  6. ^ 江欣容、陳文、「ヘルムホルツ方程式の基本解法と境界結び目法：比較研究」、中国計算力学誌、28:3(2011) 338–344
  7. ^ MA Golberg, CS Chen, 非同次偏微分方程式のBEMに適用されるラジアル基底関数の理論、境界要素通信。5 (1994) 57–61。
  8. ^ M. a. Golberg、CS Chen、H. Bowman、H. Power、「双対相互法におけるラジアル基底関数の使用に関するコメント」、計算力学。21 (1998) 141–148。
  9. ^ CM Fan, CS Chen, J. Monroe, 変数係数を持つ対流拡散方程式を解くための基本解法,応用数学と力学の進歩. 1 (2009) 215–230
  10. ^ YC Hon, T. Wei, 多次元逆熱伝導問題の基本解法, CMES Comput. Model. Eng. Sci . 7 (2005) 119–132
  11. ^ AKG Fairweather, 楕円境界値問題の基本解法,計算数学の進歩. 9 (1998) 69–95.
  • 工学・科学における数値シミュレーションソフトウェアの国際センター
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