計量テンソル

数学の分野である微分幾何学において、計量テンソル（または単に計量）は、ユークリッド空間上の内積によってそこでの距離と角度を定義できるのと同じように、距離と角度を定義できる多様体 M（面 など）上の追加構造です。より正確には、 Mの点pにおける計量テンソルは、 pにおける接空間で定義される双線形形式（つまり、接ベクトルのペアを実数にマッピングする双線形関数）であり、 M上の計量体は、pとともに滑らかに変化するMの各点pにおける計量テンソルで構成されます。

計量テンソルgは、任意の非零ベクトルvに対してg ( v , v ) > 0 が成り立つとき、正定値である。正定値計量テンソルを備えた多様体は、リーマン多様体と呼ばれる。このような計量テンソルは、多様体上の無限小距離を指定するものと考えることができる。リーマン多様体M上で、2 点pとq間の滑らかな曲線の長さは積分によって定義でき、pとq間の距離はそのようなすべての曲線の長さの下限として定義できる。これにより、 M は計量空間になる。逆に、計量テンソル自体は距離関数の導関数である（適切な方法で導出された）。 ^[要出典]

計量テンソルの概念は、19世紀初頭からガウスなどの数学者にはある程度知られていましたが、テンソルとしての性質が理解されたのは20世紀初頭、特にグレゴリオ・リッチ＝クルバストロとトゥリオ・レーヴィ＝チヴィタによってであり、彼らはテンソルの概念を初めて体系化しました。計量テンソルはテンソル体の一例です。

座標基底における計量テンソルの成分は、座標系の変化に対して共変的に変化する要素を持つ対称行列の形をとる。したがって、計量テンソルは共変対称テンソルである。座標に依存しない観点から、計量テンソル場は、各接空間上で点から点へと滑らかに変化する非退化対称双線型形式として定義される。

導入

カール・フリードリヒ・ガウスは1827年に著した『曲面の一般研究』 （Disquisitiones generales circa superficies curvas）の中で、曲面をパラメトリックに考察した。パラメトリックとは、曲面上の点の直交座標x、y、zが2つの補助変数uとvに依存するというものである。したがって、パラメトリック曲面は（今日の用語で言えば）ベクトル値関数である。

${\displaystyle {\vec {r}}(u,\,v)={\bigl (}x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v){\bigr )}}$

実変数の順序付きペア( u , v )に依存し、uv平面上の開集合 Dで定義される。ガウスの研究の主な目的の一つは、曲面が空間内で変形（例えば、曲面を伸ばさずに曲げるなど）を受けても、あるいは同じ幾何学的曲面の特定の媒介変数形式が変化しても変化しない関数によって記述できる曲面の特徴を導き出すことであった。

そのような自然な不変量の1つは、曲面に沿って描かれた曲線の長さです。もう1つは、曲面に沿って描かれ、共通点で交わる2本の曲線の間の角度です。3つ目は、曲面の一部の面積です。これらの曲面の不変量の研究は、ガウスが現代の計量テンソルの概念の前身を導入するきっかけとなりました。

計量テンソルについては以下の説明をご覧ください。行列が正定値である限り、行列内の E、F、G には任意の数値を含めることができます。 ${\textstyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

弧の長さ

変数uとv が、区間[ a , b ]内の値をとる第3の変数tに依存するとすると、r → ( u ( t ), v ( t ))はパラメトリック曲面M上のパラメトリック曲線を描く。その曲線の弧長は積分によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{aligned}}}$

ここで はユークリッドノルムを表す。ここでは連鎖律が適用されており、添え字は偏微分を表す。 ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}\,,\quad {\vec {r}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}\,.}$

積分関数は（二次）微分関数の平方根の曲線への制約^{[1]である。}

${\displaystyle (ds)^{2}=E\,(du)^{2}+2F\,du\,dv+G\,(dv)^{2},}$

1

どこ

${\displaystyle E={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u},\quad F={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v},\quad G={\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}.}$

2

( 1 )における量dsは線要素と呼ばれ、ds ^{2 は}Mの第一基本形式と呼ばれる。直感的には、これはu がdu単位増加し、vがdv単位 増加したときにr → ( u , v )が受ける変位の二乗の主成分を表す。

行列表記法を用いると、最初の基本形は次のようになる。

${\displaystyle ds^{2}={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}}$

座標変換

ここで、 uとvが別の変数u ′とv ′に依存するという異なるパラメータ化が選択されたと仮定する。この場合、新しい変数に対する ( 2 )式の類似式は次のようになる。

${\displaystyle E'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{u'},\quad F'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{v'},\quad G'={\vec {r}}_{v'}\cdot {\vec {r}}_{v'}.}$

2フィート

連鎖律は、E ′、F ′、G ′ を、行列方程式 を介してE、F、Gに関連付けます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}}$

3

ここで、上付き文字Tは転置行列を表す。このように係数E、F、Gが配置された行列は、座標変換の ヤコビ行列によって変換される。

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}\,.}$

このように変換される行列は、テンソルと呼ばれるものの一種である。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

変換則（３）は曲面の計量テンソルとして知られている。

座標変換における弧長の不変性

リッチ＝クルバストロとレヴィ＝チヴィタ（1900）は、ある座標系から別の座標系に移る際にこのように変換される係数E、F、Gの系の重要性を初めて観察した。結論として、最初の基本形（1）は座標系の変化に対して不変であり、これはE、F、Gの変換特性からのみ導かれる。実際、連鎖律によれば、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}}$

となることによって

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&=(ds')^{2}\,.\end{aligned}}}$

長さと角度

ガウスも考えた計量テンソルの別の解釈は、曲面への接ベクトルの長さと、2つの接ベクトル間の角度を計算する方法を提供するというものである。現代の用語で言えば、計量テンソルは、曲面の媒介変数記述に依存しない方法で、接ベクトルの内積を計算することを可能にする。媒介変数曲面Mの点における任意の接ベクトルは、次のように表される 。

${\displaystyle \mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}}$

適切な実数p ₁とp ₂に対して、2つの接ベクトルが与えられた場合：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}\\\mathbf {b} &=b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}\end{aligned}}}$

次にドット積の 双線性を利用して、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+a_{2}b_{1}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G.\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

これは明らかに4つの変数a ₁、b ₁、a ₂、b ₂の関数です。しかし、これをuv平面上のベクトルであるa = [ a ₁ a ₂ ]とb = [ b ₁ b ₂ ]の2つの引数を取る関数として捉えた方がより分かりやすいでしょう。つまり、

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G\,.}$

これはaとbに関して対称な関数であり、

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )\,.}$

これは双線型でもあり、つまり変数aとbそれぞれについて線型である。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}g\left(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} ',\mathbf {b} \right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ',\mathbf {b} \right),\quad {\text{and}}\\g\left(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b} '\right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} '\right)\end{aligned}}}$

uv平面内の任意のベクトルa、a ′、b、b ′、および任意の実数μおよびλに対して。

特に、接ベクトルaの長さは次のように与えられる。

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}}$

そして、 2つのベクトルaとbの間の角度θは次のように計算される。

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,.}$

エリア

表面積は、面自体にのみ依存し、どのようにパラメータ化されるかには依存しない数値量である。もし面Mがuv平面上の領域D上の関数r → ( u , v )でパラメータ化されているとすると、 Mの表面積は次の積分で与えられる。

${\displaystyle \iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv}$

ここで、×は外積を表し、絶対値はユークリッド空間におけるベクトルの長さを表す。外積に関する ラグランジュの恒等式により、積分は次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}}$

ここで、detは行列式です。

意味

M をn次元の滑らかな多様体、例えば直交座標空間の曲面（ n = 2の場合）や超曲面とします。各点p ∈ Mには、点pにおける多様体のすべての接ベクトルから構成される接空間T _p Mがあります。 pにおける計量テンソルは、 p における接ベクトルX _pとY _pのペアを入力として取り、実数（スカラー）を出力する関数g _p ( X _p , Y _p )であり、以下の条件が満たされます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

• g _pは双線型である。2つのベクトル引数を持つ関数が双線型であるとは、それぞれの引数において別々に線型であることを意味する。したがって、 U _p、 V _p、 Y _pがそれぞれpにおける3つの接ベクトルであり、 aとbが実数である場合、$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}(aU_{p}+bV_{p},Y_{p})&=ag_{p}(U_{p},Y_{p})+bg_{p}(V_{p},Y_{p})\,,\quad {\text{and}}\\g_{p}(Y_{p},aU_{p}+bV_{p})&=ag_{p}(Y_{p},U_{p})+bg_{p}(Y_{p},V_{p})\,.\end{aligned}}}$$
• g _pは対称である。 ^[2] 2つのベクトル引数の関数は、すべてのベクトルX _pとY _pに対して、$${\displaystyle g_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(Y_{p},X_{p})\,.}$$
• g _pは非退化である。双線形関数が非退化であるとは、任意の接ベクトルX _p ≠ 0に対して、 X _{p を}一定に保ち、 Y _{p を}変化させる関数が、常にゼロにならないことを意味する。つまり、任意のX _p ≠ 0に対して、 g _p ( X _p , Y _p ) ≠ 0 となるようなY _pが存在する。$${\displaystyle Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})}$$

M上の計量テンソル場g は、Mの各点pに、 pにおける接空間上の計量テンソルg _{p を、} pとともに滑らかに変化する形で割り当てます。より正確には、多様体Mの任意の開部分集合UとU上の任意の（滑らかな）ベクトル場XおよびYが与えられたとき、実関数 はp の滑らかな関数となります。 $${\displaystyle g(X,Y)(p)=g_{p}(X_{p},Y_{p})}$$

指標の構成要素

任意のベクトル場の基底、またはフレームにおける計量の成分、f = ( X ₁ , ..., X _n )は^[3]で与えられる。

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right).}$

4

n ^{2 個の}関数g ij _[ f ]はn × n の対称行列G [ f ]の要素となる。

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i}\,,\quad w=\sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}}$

がp∈Uにおける2つのベクトルである場合、 vとwに適用される計量の値は双線型性によって係数（4）によって決定される。

${\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]}$

行列 ( g _ij [ f ] )をG [ f ]で表し、ベクトルvとwの成分を列ベクトル v [ f ]とw [ f ]に配置すると、

${\displaystyle g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {w} [\mathbf {f} ]=\mathbf {w} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {v} [\mathbf {f} ]}$

ここで、v [ f ] T^とw [ f ] T^はそれぞれ ベクトルv [ f ]とw [ f ]の転置を表す。

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{k}X_{k}a_{k1},\dots ,\sum _{k}X_{k}a_{kn}\right)=\mathbf {f} A}$

ある可逆な n × n行列A = ( a _ij )に対して、計量の成分の行列もAに応じて変化する。つまり、

${\displaystyle G[\mathbf {f} A]=A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}$

あるいは、この行列の要素に関して言えば、

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[\mathbf {f} ]a_{lj}\,.}$

このため、量g _ij [ f ]のシステムはフレームfの変化に対して共変的に変換すると言われます。

座標のメートル法

Mの開集合U上の局所座標系を与えるn 個の実数値関数( x ¹ , ..., x ⁿ )の系は、 U上のベクトル場の基底を決定する。

${\displaystyle \mathbf {f} =\left(X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)\,.}$

計量gは、このフレームに対する成分を持ち、

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,.}$

新しい局所座標系を基準にすると、

${\displaystyle y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,2,\dots ,n}$

計量テンソルは異なる係数行列を決定する。

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

この新しい関数系は連鎖律によって元のg _ij ( f )と関連している。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}}$

となることによって

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}.}$

あるいは、行列G [ f ] = ( g _ij [ f ])とG [ f ′] = ( g _ij [ f ′])を用いて、

${\displaystyle G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}}$

ここで、Dy は座標変更の ヤコビ行列を表します。

メトリックの署名

任意の計量テンソルには、各接空間で定義される 二次形式が付随する。

${\displaystyle q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m})\,,\quad X_{m}\in T_{m}M.}$

q _{m が}すべての非零X _mに対して正ならば、計量はmにおいて正定値である。計量が任意のm ∈ Mにおいて正定値ならば、gはリーマン計量と呼ばれる。より一般的には、二次形式q _{m が}mに依存しない定数の符号を持つならば、 gの符号はこの符号であり、gは擬リーマン計量と呼ばれる。^[4] Mが連結ならば、 q _mの符号はmに依存しない。^[5]

シルベスターの慣性法則により、接ベクトルX _iの基底は、二次形式が次のように対角化するように局所的に選ぶことができる。

${\displaystyle q_{m}\left(\sum _{i}\xi ^{i}X_{i}\right)=\left(\xi ^{1}\right)^{2}+\left(\xi ^{2}\right)^{2}+\cdots +\left(\xi ^{p}\right)^{2}-\left(\xi ^{p+1}\right)^{2}-\cdots -\left(\xi ^{n}\right)^{2}}$

1からnまでのいずれかpについてです。qのそのような式（ Mの同じ点mにある）は、いずれも正の符号の数が同じpになります。gの符号は整数のペア（p、n − p）で、そのような式にはp個の正の符号とn − p個の負の符号があることを意味します。同様に、計量の行列g _ijにp個の正の固有値とn − p個の負の固有値がある場合、計量の符号は（p、n − p）になります。

アプリケーションで頻繁に発生する特定のメトリック シグネチャは次のとおりです。

• gがシグネチャ( n , 0)を持つ場合、gはリーマン計量であり、Mはリーマン多様体と呼ばれる。そうでない場合、gは擬リーマン計量であり、Mは擬リーマン多様体と呼ばれる（半リーマン多様体という用語も用いられる）。
• Mが 4 次元で符号が(1, 3)または(3, 1)の場合、その計量はロレンツ型と呼ばれます。より一般的には、符号が(1, n − 1)または( n − 1, 1)である 4 次元以外のn次元の計量テンソルもロレンツ型と呼ばれることがあります。
• Mが2 n次元でgのシグネチャが( n , n )の場合、この計量は超双曲的と呼ばれます。

逆メトリック

f = ( X ₁ , ..., X _n )をベクトル場の基底とし、上と同様にG [ f ]を係数行列と する。

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,.}$

逆行列 G [ f ] ⁻¹を考えることができる。これは逆計量（あるいは共役計量、双対計量）と同一視される。逆計量は、フレームfが行列Aによって次のように 変換されるときに、変換則を満たす。

${\displaystyle G[\mathbf {f} A]^{-1}=A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}.}$

5

逆計量は反変的、つまり基底行列Aの変化の逆に関して変換します。計量自体はベクトル場の長さ（またはベクトル場間の角度）を測定する手段を提供しますが、逆計量は共ベクトル場、つまり線型関数の場の長さ（またはベクトル場間の角度）を測定する手段を提供します。

これを理解するには、α が共ベクトル体であると仮定します。つまり、各点pに対して、α はpにおける接ベクトル上に定義された関数α _pを決定し、すべての接ベクトルX _pとY _p、およびすべての実数aとbに対して次の線形条件が成り立ちます。

${\displaystyle \alpha _{p}\left(aX_{p}+bY_{p}\right)=a\alpha _{p}\left(X_{p}\right)+b\alpha _{p}\left(Y_{p}\right)\,.}$

pが変化すると、αは次の意味で 滑らかな関数であると仮定される。

${\displaystyle p\mapsto \alpha _{p}\left(X_{p}\right)}$

は、任意の滑らかなベクトル場Xに対してpの滑らかな関数です。

任意の共ベクトル場αはベクトル場fの基底に成分を持つ。これらは次のように決定される。

${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha \left(X_{i}\right)\,,\quad i=1,2,\dots ,n\,.}$

これらの成分の 行ベクトルを次のように表す。

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.}$

行列Aによるfの変化のもとで、α [ f ]は次の規則に従って変化する。

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,.}$

つまり、成分α [ f ]の行ベクトルは共変ベクトルとして変換されます。

共ベクトル場のペアαとβに対して、これら2つの共ベクトルに適用される逆計量を次のように定義する。

${\displaystyle {\tilde {g}}(\alpha ,\beta )=\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.}$

6

結果として得られる定義は、基底fの選択を伴うものの、実際には本質的にはfに依存しない。実際、基底をf Aに変更すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}}$

したがって、式( 6 )の右辺は、基底fを他の基底f Aに変更しても影響を受けません。したがって、式には基底の選択とは独立に意味を割り当てることができます。行列G [ f ]の各要素はg ^ijで表され、添え字iとjは変換則( 5 )を示すために増加しています。

インデックスの上げ下げ

ベクトル場f = ( X ₁ , ..., X _n )の基底において、任意の滑らかな接線ベクトル場Xは次の形式で表すことができる。

${\displaystyle X=v^{1}[\mathbf {f} ]X_{1}+v^{2}[\mathbf {f} ]X_{2}+\dots +v^{n}[\mathbf {f} ]X_{n}=\mathbf {f} {\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]}$

7

一意に定まる滑らかな関数v ¹ , ..., v ⁿに対して、基底fを非特異行列Aで変化させると、係数v ^{i は}式( 7 )が成り立つように変化する。つまり、

${\displaystyle X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.}$

したがって、v [ f A ] = A ⁻¹ v [ f ]となる。言い換えれば、ベクトルの成分は、非特異行列Aによる基底変換の下で反変的（つまり、逆方向、つまり反対方向）に変換される。 v [ f ]の成分の反変性は、表記上、 v ⁱ [ f ]の添え字を上に 置くことで示される。

フレームは、共ベクトルをその成分を用いて表現することを可能にする。ベクトル場の基底f = ( X ₁ , ..., X _n )に対して、双対基底を線型汎関数 ( θ ¹ [ f ], ..., θ ⁿ [ f ])として 定義し、

${\displaystyle \theta ^{i}[\mathbf {f} ](X_{j})={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{cases}}}$

つまり、θ ⁱ [ f ]( X _j ) = δ _j ⁱ、クロネッカーのデルタである。

${\displaystyle \theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}.}$

非特異行列Aの基底f ↦ f Aの変化のもとで、θ [ f ]は次のように変換される。

${\displaystyle \theta [\mathbf {f} A]=A^{-1}\theta [\mathbf {f} ].}$

接ベクトル上の任意の線形関数αは、双対基底θによって展開できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=a_{1}[\mathbf {f} ]\theta ^{1}[\mathbf {f} ]+a_{2}[\mathbf {f} ]\theta ^{2}[\mathbf {f} ]+\cdots +a_{n}[\mathbf {f} ]\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\\[8pt]&={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}a_{1}[\mathbf {f} ]&a_{2}[\mathbf {f} ]&\dots &a_{n}[\mathbf {f} ]\end{array}}{\big \rbrack }\theta [\mathbf {f} ]\\[8pt]&=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]\end{aligned}}}$

8

ここで、a [ f ]は行ベクトル [ a ₁ [ f ] ... a _n [ f ] ]を表す。成分a _iは、基底fをf Aに置き換えた場合でも、式( 8 )が成り立つように変換される。つまり、

${\displaystyle \alpha =a[\mathbf {f} A]\theta [\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]}$

θ [ f A ] = A ⁻¹ θ [ f ]であるので、 a [ f A ] = a [ f ] Aとなる。つまり、成分a は共変変換される（逆行列ではなく行列Aによって）。 a [ f ]の成分の共分散は、 a _i [ f ]の添え字を小文字で表記することで表される。

さて、計量テンソルはベクトルと共ベクトルを次のように識別する手段を与える。X _pを固定して、関数

${\displaystyle g_{p}(X_{p},-):Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})}$

接ベクトルY _pの作用素は、 pにおける接空間上の線型汎関数を定義する。この演算は、点pにおけるベクトルX _pを取り、共ベクトルg _p ( X _p , −)を生成する。ベクトル場fの基底において、ベクトル場Xが成分v [ f ]を持つ場合、双対基底における共ベクトル場g ( X , −)の成分は、行ベクトル

${\displaystyle a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].}$

基底f ↦ f Aを変化させると、この式の右辺は次のように変形される。

${\displaystyle v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}$

となるので、a [ f A ] = a [ f ] A : a は共変変換する。ベクトル場v [ f ] = [ v ¹ [ f ] v ² [ f ] ... v ⁿ [ f ] ] T の（反変）成分に共ベクトル場a [ f ] = [ a ₁ [ f ] a ₂ [ f ] ... a _n [ f ] ]の（共変）成分を^{関連付ける操作}は、

${\displaystyle a_{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f} ]g_{ki}[\mathbf {f} ]}$

をインデックスを下げると言います。

指数を上げるには、同じ構成を、計量の代わりに逆計量を用いて適用する。a [ f ] = [ a ₁ [ f ] a ₂ [ f ] ... a _n [ f ] ]が双対基底θ [ f ]における共ベクトルの成分である場合、列ベクトルは

${\displaystyle v[\mathbf {f} ]=G^{-1}[\mathbf {f} ]a[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}}$

9

反変的に変換される成分を持つ:

${\displaystyle v[\mathbf {f} A]=A^{-1}v[\mathbf {f} ].}$

その結果、量X = f v [ f ]は本質的には基底fの選択に依存せず、 M上のベクトル場を定義する。共ベクトルa [ f ]の（共変）成分に、与えられたベクトルv [ f ]の（反変）成分を関連付ける操作（9 ）は、指数を乗じると呼ばれる。成分において、（9）は

${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].}$

誘導メトリック

U をℝ ⁿの開集合とし、φをUからユークリッド空間ℝ ^mへの連続微分可能関数とする（ただしm > n ） 。 φの写像は、その微分がUの任意の点で単射であるとき、はめ込み写像と呼ばれる。 φの像は、はめ込み部分多様体と呼ばれる。より具体的には、m = 3（つまり周囲のユークリッド空間がℝ ³である）のとき、誘導計量テンソルは第一基本形式と呼ばれる。

φ が部分多様体M ⊂ R ^mへの浸漬であるとする。ℝ mにおける通常のユークリッド内積は^、 Mに接するベクトルに限定された場合、これらの接ベクトルの内積をとる手段を与える計量である。これは誘導計量と呼ばれる。

vがUの点における接ベクトルであるとする。

${\displaystyle v=v^{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +v^{n}\mathbf {e} _{n}}$

ここでe _iはℝ ⁿにおける標準座標ベクトルである。φをUに適用すると、ベクトルvはMに接するベクトルと なり、

${\displaystyle \varphi _{*}(v)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{a=1}^{m}v^{i}{\frac {\partial \varphi ^{a}}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{a}\,.}$

（これはvのφに沿ったプッシュフォワードと呼ばれる。）このような2つのベクトルvとwが与えられたとき、誘導計量は次のように定義される。

${\displaystyle g(v,w)=\varphi _{*}(v)\cdot \varphi _{*}(w).}$

簡単な計算から、座標ベクトル場eの基底における誘導計量の行列は次のように与えられること がわかる。

${\displaystyle G(\mathbf {e} )=(D\varphi )^{\mathsf {T}}(D\varphi )}$

ここでDφはヤコビ行列である。

${\displaystyle D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}.}$

メトリックの本質的な定義

計量の概念は、ファイバー束とベクトル束の言語を用いて本質的に定義することができる。これらの用語では、計量テンソルは関数である。

${\displaystyle g:\mathrm {T} M\times _{M}\mathrm {T} M\to \mathbf {R} }$

10

Mの接線束とそれ自身のファイバー積からRへの写像で、 gの各ファイバーへの制限は非退化双線型写像となる。

${\displaystyle g_{p}:\mathrm {T} _{p}M\times \mathrm {T} _{p}M\to \mathbf {R} .}$

写像（10 ）は連続であることが要求され、関心のあるケースとMがそのような構造をサポートできる かどうかに応じて、連続的に微分可能、滑らか、または実解析的であることがしばしば必要となる。

バンドルのセクションとしてのメトリック

テンソル積の普遍性により、任意の双線型写像( 10 )は、 T Mのテンソル積バンドルとそれ自身との 双対のg _⊗切断を自然に生じさせる。

${\displaystyle g_{\otimes }\in \Gamma \left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right).}$

g ⊗_はT M ⊗ T Mの単純元上で次のよう に定義される。

${\displaystyle g_{\otimes }(v\otimes w)=g(v,w)}$

はT M ⊗ T Mの任意の元に対して、単純な元の線型結合に線型的に拡張することで定義される。元の双線型形式gが対称となるのは、

${\displaystyle g_{\otimes }\circ \tau =g_{\otimes }}$

どこ

${\displaystyle \tau :\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M{\stackrel {\cong }{\to }}TM\otimes TM}$

編組マップです。

Mは有限次元なので、自然同型性が存在する。

${\displaystyle (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\cong \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M,}$

となるので、g _{⊗ は}、それ自身との余接バンドルT* Mのバンドル T* M ⊗ T* Mの切断ともみなされる。gは双線型写像として対称なので、g _{⊗ は}対称テンソルとなる。

ベクトル束における計量

より一般的には、ベクトル束における計量について語ることができる。Eが多様体M上のベクトル束であるとき、計量とは写像である。

${\displaystyle g:E\times _{M}E\to \mathbf {R} }$

各ファイバーにおいて双線形である EからRへのファイバー積から：

${\displaystyle g_{p}:E_{p}\times E_{p}\to \mathbf {R} .}$

上記のように双対性を使用すると、メトリックはテンソル積バンドルE * ⊗ E *のセクションと同一視されることが多いです。

接線-余接同型

計量テンソルは接線束から余接束への自然な同型を与え、これは音楽同型とも呼ばれる。^{[6]この同型は、各接ベクトル}X _p ∈ T _p Mに対して、

${\displaystyle S_{g}X_{p}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,g(X_{p},-),}$

T _p M上の線型汎関数で、 pにおける接ベクトルY _{p を}g _p ( X _p , Y _p )に送る。つまり、 T _p Mとその双対空間Tとの間の[−, −]の対関係において、 ^∗
_pM、

${\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})}$

すべての接ベクトルX _pとY _pに対して、写像S _gはT _p MからTへの線形変換である。^∗
_pM。非退化の定義から、 S _gの核はゼロに縮約され、階数-零定理により、 S _gは線型同型となる。さらに、 S _gは次の意味で 対称線型変換となる

${\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]}$

すべての接ベクトルX _pとY _pについて。

逆に、任意の線型同型S  : T _p M → T^∗
_pMはT _p M上の非退化双線型形式を次のように

${\displaystyle g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}]\,.}$

この双線型形式が対称であることは、 Sが対称であることと同値である。したがって、 T _p M上の対称双線型形式と、 T _p Mの双対Tへの対称線型同型との間には、自然な一対一対応が存在する。^∗
_pM .

p がM上で変化するとき、S _{g は}接束から余接束へのベクトル束同型写像Hom(T M , T* M )の切断を定義する。この切断はgと同じ滑らかさを持つ。つまり、gに応じて連続、微分可能、滑らか、または実解析的である。 M上のすべてのベクトル場に対してM上の共ベクトル場を関連付ける写像S _gは、ベクトル場の「インデックスを下げる」という抽象的な定式化を与える。S _gの逆写像T* M → T Mは、同様に共ベクトル場の「インデックスを上げる」という抽象的な定式化を与える。

逆S⁻¹
_グラム線形マッピングを定義する

${\displaystyle S_{g}^{-1}:\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}$

これは、次の意味で非特異かつ対称的である。

${\displaystyle \left[S_{g}^{-1}\alpha ,\beta \right]=\left[S_{g}^{-1}\beta ,\alpha \right]}$

すべての共ベクトルα、βに対して、このような非特異対称写像は（テンソル・ホーン随伴により）写像

${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\to \mathbf {R} }$

あるいはテンソル積の切断に対する 二重双対同型によって

${\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M.}$

弧長と線要素

gがM上のリーマン計量であるとする。局所座標系x ⁱ , i = 1, 2, …, nにおいて、計量テンソルは行列 （ここではGと表記）として現れ、その要素は座標ベクトル場に対する計量テンソルの 成分g _{ijである。}

γ ( t )をM内の区分的に微分可能な媒介変数曲線とする（ a ≤ t ≤ b ）。曲線の 弧長は次のように定義される。

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)}}\,dt\,.}$

この幾何学的応用に関連して、二次 微分形式

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(p)dx^{i}dx^{j}}$

は計量に関連する第一基本形式と呼ばれ、 dsは線分要素である。ds 2 をM内の曲線の像に引き戻すと、^弧長に関する微分の2乗を表す。

擬リーマン計量の場合、上記の長さの公式は常に定義されるとは限りません。これは、平方根の下の項が負になる可能性があるためです。一般に、曲線の長さは平方根の下の量が常にどちらかの符号を持つ場合にのみ定義されます。この場合、次のように定義します。

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left|\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\right|}}\,dt\,.}$

これらの式は座標表現を使用しますが、実際には選択された座標とは無関係であり、メトリックと、式が積分される曲線のみに依存します。

エネルギー、変分原理、測地線

曲線のセグメントが与えられた場合、よく定義される別の量は曲線の （運動）エネルギーです。

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\,dt\,.}$

この用法は物理学、特に古典力学に由来する。古典力学では、積分Eは多様体表面上を運動する点粒子の運動エネルギーに直接対応すると考えられる。例えば、ヤコビによるモーペルテュイの原理の定式化において、計量テンソルは運動粒子の質量テンソルに対応すると考えられる。

多くの場合、計算で長さを用いる必要がある場合は、エネルギーを用いた同様の計算も行うことができます。これにより、平方根を用いる必要がなくなり、式が簡素化されることがよくあります。例えば、測地線方程式は、長さまたはエネルギーのいずれかに変分原理を適用することで得られます。後者の場合、測地線方程式は最小作用原理から生じると考えられます。つまり、測地線方程式は、多様体上での移動に限定されているものの、それ以外は多様体内を一定の運動量で自由に移動する「自由粒子」（力を受けない粒子）の運動を記述します。 ^[7]

標準的な測定と体積形式

曲面の場合と同様に、n次元パラコンパクト多様体M上の計量テンソルは、多様体の部分集合のn次元体積を測定する自然な方法を生み出す。結果として得られる自然な正のボレル測度は、関連するルベーグ積分を用いて、多様体上の関数の積分理論を展開することを可能にする。

リースの表現定理により、 M上のコンパクトに支えられた連続関数の空間C ₀ ( M )上の正の線型関数 Λを与えることで、測度を定義できます。より正確には、Mが（擬）リーマン計量テンソルgを持つ多様体である場合、任意の座標チャート( U、φ )に対して、 Uで支えられている すべてのfに対して、となる唯一の正のボレル測度μ _gが存在します。ここで、det gは、座標チャートの計量テンソルの成分によって形成される行列の行列式です。 Λが座標近傍で支えられている関数上で明確に定義されていることは、変数のヤコビ変換によって正当化されます。これは、 1 の分割によってC ₀ ( M )上の唯一の正の線型関数に拡張されます。 $${\displaystyle \Lambda f=\int _{U}f\,d\mu _{g}=\int _{\varphi (U)}f\circ \varphi ^{-1}(x){\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx}$$

Mも向きが定められている場合、計量テンソルから自然な体積形式を定義することができます。正の向きに定められた座標系 ( x ¹ , ..., x ⁿ )において、体積形式は次のように表されます 。 ここで、dx ⁱは座標微分、∧ は微分形式代数における外積を表します。体積形式は多様体上の関数を積分する方法も提供し、この幾何学的積分は標準的なボレル測度によって得られる積分と一致する。 $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$$

例

ユークリッド計量

最もよく知られている例は、初等ユークリッド幾何学における2次元ユークリッド計量テンソルである。通常の直交座標 （x , y）では、次のように書ける。

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,.}$

曲線の長さは次の式に簡約されます。

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}\,.}$

他の一般的な座標系におけるユークリッド計量は次のように記述できます。

極座標 （r、θ）：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\J&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

それで

${\displaystyle g=J^{\mathsf {T}}J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}}$

三角関数の恒等式によって。

一般に、ユークリッド空間上の直交座標系 x ⁱにおいて、偏微分∂ / ∂ x ⁱはユークリッド計量に関して直交する。したがって、計量テンソルはこの座標系におけるクロネッカーのデルタδ _{ijである。任意の（曲線的である可能性のある）座標}q ⁱに関する計量テンソルは次のように与えられる 。

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{kl}\delta _{kl}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{j}}}.}$

球面上の円形メトリック

ℝ ³の単位球面は、誘導計量のセクションで説明した手順により、周囲のユークリッド計量から誘導された自然計量を備えている。標準球面座標( θ , φ )において、θは余緯度（ z軸からの角度）、φ はxy平面におけるx軸からの角度であり、計量は以下の形をとる。

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.}$

これは通常、次のような形式で書かれます

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\,.}$

相対性理論によるロレンツ計量

平坦なミンコフスキー空間（特殊相対論）では、座標は

${\displaystyle r^{\mu }\rightarrow \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)\,,}$

メトリックは、メトリックシグネチャの選択に応じて、

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,.}$

例えば、時間座標が一定である曲線の場合、この計量を用いた長さの公式は通常の長さの公式に簡約されます。時間的曲線の場合、長さの公式は曲線に沿った 固有時間を与えます。

この場合、時空間隔は次のように表される。

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=dr^{\mu }dr_{\mu }=g_{\mu \nu }dr^{\mu }dr^{\nu }\,.}$

シュワルツシルト計量は、惑星やブラックホールなどの球対称な天体の周りの時空を記述する。座標系では

${\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,}$

この指標は次のように書ける。

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,,}$

ここで、G (行列内) は重力定数であり、M は中心物体の 全質量エネルギー量を表します。

参照

• リーマン多様体
• 擬リーマン多様体
• 曲がった時空の数学の基礎入門
• クリフォード代数
• フィンスラー多様体
• 座標チャート一覧
• リッチ計算
• ティソの指示線図、計量テンソルを視覚化する手法

注記

1. より正確に言うと、積分関数はこの微分を曲線に引き戻したものです。
2. 古典的な統一場理論のいくつかの定式化では、計量テンソルが非対称であることが許されていた。しかし、そのようなテンソルの反対称部分はここで説明する文脈では何の役割も果たさないので、これ以上考慮されない。
3. 成分の計算に使用する基底を角括弧で示す表記法は普遍的ではない。ここで用いる表記法はWells (1980)の表記法をモデルにしている。通常、このような基底への明示的な依存は完全に抑制される。
4. ドッドソン＆ポストン 1991、第7章§3.04
5. ヴォーン 2007、§3.4.3
6. 「音楽的同型性」という用語については、Gallot, Hulin & Lafontaine (2004, p. 75)を参照。また、Lee (1997, pp. 27–29)も参照。
7. スターンバーグ 1983

参考文献

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• ガロット、シルベストル。Hulin, ドミニク; Lafontaine、Jacques (2004)、リーマン幾何学(第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-20493-0。
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