計量化可能な位相ベクトル空間

関数解析学および関連する数学分野において、計量化可能（または擬計量化可能）な位相ベクトル空間（TVS）とは、その位相が計量（または擬計量）によって誘導されるTVSである。LM空間は、局所凸計量化可能なTVSの列の帰納的極限である。

疑似計量学と計量学

集合上の擬距離は、次の特性を満たす 写像である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0{\text{すべての }}x\in X に対して}$ ;
2. 対称性：;${\displaystyle d(x,y)=d(y,x){\text{ }}x,y\in X のすべての項について}$
3. 劣加法性:${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z){\text{ }}x,y,z\in X のすべての x,y,z に対して。}$

擬似計量は、次の条件を満たす場合、 計量と呼ばれます。

4. 識別不能なものの同一性：すべての場合、${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$

超擬似計測

上の擬似距離は、次の条件を満たす場合 、超擬似距離または強擬似距離と呼ばれます。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

5. 強/超距離三角不等式:${\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}{\text{ }}x,y,z\in X のすべての x,y,z に対して。}$

擬似計量空間

擬距離空間は、の位相が によって誘導される の位相と同一であるような、 上の擬距離空間とからなる対である。 が計量空間（超擬距離空間）である場合、擬距離空間を計量空間（超擬距離空間）と呼ぶ。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$

擬似距離によって誘導される位相

が集合上の擬距離的である場合、開球体の集合： が上を、が正の実数上をそれぞれ範囲とするとき、は、 -位相または擬距離的位相と呼ばれる位相の基底を形成し、によって誘導される。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

慣例：が擬距離空間であり、が位相空間として扱われる場合、特に断りのない限り、は によって誘導される位相を備えているものと仮定する。${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

擬似メートル化可能空間

位相空間が擬距離的（計量的、超擬距離的）な空間に存在するとき、その空間は擬距離的（計量的、超擬距離的）な空間であるとされ^、[1]によって誘導される位相空間と等しい。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle d.}$

擬計量学と位相群上の値

加法位相群は、群位相と呼ばれる位相を備えた加法群であり、その位相の下では加算と否定が連続演算子になります。

実ベクトル空間または複素ベクトル空間上の位相は、ベクトルの加算とスカラー乗算の演算が連続になる場合（つまり、位相ベクトル空間になる場合） 、ベクトル位相またはTVS 位相と呼ばれます。${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

すべての位相ベクトル空間（TVS）は加法可換位相群であるが、その上のすべての群位相がベクトル位相であるわけではない。これは、ベクトル空間上の群位相は加法と否定を連続にするにもかかわらず、スカラー乗法を連続にできない場合があるためである。例えば、任意の非自明ベクトル空間上の離散位相は加法と否定を連続にするが、スカラー乗法を連続にしない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

翻訳不変擬似計量

が加法群である場合、それが以下の同値な条件のいずれかを満たすとき、 上の擬距離は並進不変または単に不変であるといいます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

1. 翻訳不変性:;${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{ }}x,y,z\in X のすべての項について}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(xy,0){\text{すべての }}x,y\in X に対して。}$

値/G半正規分布

が位相群である場合、（Gは群を表す）上のα値またはG半正規分布は、以下の性質を持つ実数値写像である： ^[2]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\rightarrow\mathbb{R}}$

1. 非負：${\displaystyle p\geq 0.}$
2. 加法性: ;${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ }}x,y\in X に対して}$
3. ${\displaystyle p(0)=0..}$
4. 対称：${\displaystyle p(-x)=p(x){\text{すべての }}x\in X に対して。}$

ここで、G-セミノルムが追加条件を満たす場合、 それをG-ノルムと呼ぶ。

5. 合計/正定値：もしそうなら${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

値のプロパティ

がベクトル空間上の値である場合、次のようになります。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(xy){\text{ }}x,y\in Xのすべてのx,yに対して。}$ ^[3]
• ${\displaystyle p(nx)\leq np(x)}$ そしてすべての正の整数に対して^[4]${\displaystyle {\frac {1}{n}}p(x)\leq p(x/n)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n.}$
• この集合は^[3]の加法部分群である。${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$ ${\displaystyle X.}$

位相群上の同値性

定理^[2] —が加法可換群であるとする。が 上の並進不変擬距離写像であるとき、写像は上の値であり、に関連付けられた値と呼ばれ、さらに は上の群位相を生成する（すなわち上の -位相が位相群 を形成する）。逆に が上の値であるとき、写像は上の並進不変擬距離写像であり、 に関連付けられた値はである。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(xy)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p.}$

擬似計量化可能な位相群

定理^[2] —が加法可換位相群である場合、以下は同値である。 ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle \tau}$ 擬似計量によって誘導される（すなわち擬似計量化可能である）。${\displaystyle (X,\tau )}$
2. ${\displaystyle \tau}$ は、変換不変の擬似距離によって誘導されます。
3. の単位元は可算な近傍基数を持ちます。${\displaystyle (X,\tau )}$

がハウスドルフである場合、上記の文中の「擬似計量的」という語は「計量的」という語に置き換えることができます。可換位相群が計量化可能であるのは、ハウスドルフかつ擬似計量化可能である場合のみです。 ${\displaystyle (X,\tau )}$

ベクトル位相を誘導しない不変擬距離

を非自明な（すなわち）実数または複素ベクトル空間とし、を で定義される上の並進不変な自明計量とし、とする。に誘導される位相 は離散位相であり、これは加法に関して可換位相群を形成するが、 は不連続であるがすべてのベクトル位相は連結であるため、上のベクトル位相を形成しない。問題となるのは、スカラー乗法が 上で連続ではないことである。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\neq \{0\}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle d(x,y)=1{\text{すべての }}x,y\in X} に対して$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

この例では、変換不変 (疑似) メトリックだけではベクトル トポロジーを保証するのに十分ではないことが示されており、これにより、パラノルムとFセミノルムを定義することになります。

加法シーケンス

ベクトル空間の部分集合の集合は加法的と呼ばれる^[5]。任意のベクトル空間に対して、${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

0 における加法の連続性—が群（すべてのベクトル空間と同様に）であり、が上の位相であり、が の積位相を具備している場合、加法写像（すなわち写像）が の原点で連続であることと、における原点の近傍集合が加法的であることは同値である。この記述は、「近傍」という語を「開近傍」に置き換えても成立する。^[5]${\displaystyle (X,+)}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

上記の条件はすべて、位相がベクトル位相を形成するために必要な条件である。集合の加法列は、非負連続実数値劣加法関数を定義するという特に優れた性質を持つ。これらの関数は、位相ベクトル空間の多くの基本的性質を証明するために用いることができ、また、近傍の可算基底を持つハウスドルフTVSが計量化可能であることを示すためにも用いられる。以下の定理は、より一般的には可換加法位相群に対して成立する。

定理—をベクトル空間の部分集合の集合とし、すべてのに対してとなる。 すべてのに対してとなる。 ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\in U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$ ${\displaystyle u\in U_{0},}$ $${\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ 任意の }}i,{\text{ および }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}} に対して。}$$

ifと それ以外の場合は let で定義します${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U_{0}}$ $${\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}$$

するとは劣加法的（つまり）であり、は 上で成り立つので、特に が すべて対称集合であれば となり、 がすべて釣り合っているなら となるすべてのスカラーに対してとなり、 がすべて となる位相ベクトル空間であり、 がすべて原点の近傍であればは連続となる。ここで がハウスドルフであり、がにおける原点の釣り合いのとれた近傍の基底を形成するなら は上のベクトル位相を定義する計量となる。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y){\text{ }}x,y\in X に対して}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i},}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=f(xy)}$ ${\displaystyle X.}$

証拠

が常に非負の整数の有限列を表すと 仮定し、次の表記法を使用します。${\displaystyle n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)}$ $${\displaystyle \sum 2^{-n_{\bullet }}:=2^{-n_{1}}+\cdots +2^{-n_{k}}\quad {\text{ および }}\quad \sum U_{n_{\bullet }}:=U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}.}$$ 任意の整数と${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle d>2,}$ $${\displaystyle U_{n}\supseteq U_{n+1}+U_{n+1}\supseteq U_{n+1}+U_{n+2}+U_{n+2}\supseteq U_{n+1}+U_{n+2}+\cdots +U_{n+d}+U_{n+d+1}+U_{n+d+1}.}$$ このことから、異なる正の整数で構成される場合、${\displaystyle n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)}$ ${\displaystyle \sum U_{n_{\bullet }}\subseteq U_{-1+\min \left(n_{\bullet }\right)}.}$ が非負整数で構成され、ある整数に対して となる場合、 が成り立つことが帰納法によって示されます。 これは に対して明らかに真であり、したがってと仮定し、すべてが正であることを意味します。すべてが異なる場合、このステップは完了です。そうでない場合は、 となるような異なる添え字を選び、をそれぞれで置き換え、の要素を削除することでから を構築します（ の他のすべての要素は変更されずに に転送されます）。 となり、（ のため）となることに留意してください。したがって、帰納的仮説を用いて、期待どおり となる結論を導きます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)}$ ${\displaystyle \sum 2^{-n_{\bullet}}\leq 2^{-M}}$ ${\displaystyle M\geq 0}$ ${\displaystyle \sum U_{n_{\bullet }}\subseteq U_{M}.}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle k>2,}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle n_{i}=n_{j}}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{1},\ldots ,m_{k-1}\right)}$ ${\displaystyle n_{\bullet}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}-1}$ ${\displaystyle j^{\text{th}}}$ ${\displaystyle n_{\bullet}}$ ${\displaystyle n_{\bullet}}$ ${\displaystyle m_{\bullet}}$ ${\displaystyle \sum 2^{-n_{\bullet }}=\sum 2^{-m_{\bullet }}}$ ${\displaystyle \sum U_{n_{\bullet }}\subseteq \sum U_{m_{\bullet }}}$ ${\displaystyle U_{n_{i}}+U_{n_{j}}\subseteq U_{n_{i}-1}}$ ${\displaystyle \sum U_{n_{\bullet}}\subseteq \sum U_{m_{\bullet}}\subseteq U_{M},}$ であり、であることは明らかであるので、が劣加法的であることを証明するには、がであるとき、がであることを証明すれば十分であり、それは次のことを意味する 。これは練習問題である。もしすべてが対称ならば、 もしすべてが成り立つならば、となるすべての単位スカラーに対する不等式は同様に証明される。なぜなら、は非負劣加法関数であり、劣線形関数に関する記事で述べられているように、が一様連続であるとき、そしてその場合に限り、が原点で連続である。もしすべてが原点の近傍ならば、任意の実数に対して、となる整数を選ぶので、それは次のことを意味する。 もしすべての集合が原点の成り立つ近傍の基底を形成するならば、任意のに対して、となるようなものが存在し、それは次のことを意味する。${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle 0\leq f\leq 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f(x)+f(y)<1,}$ ${\displaystyle x,y\in U_{0}.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x\in \sum U_{n_{\bullet }}}$ ${\displaystyle -x\in \sum U_{n_{\bullet }}}$ ${\displaystyle f(-x)\leq f(x)}$ ${\displaystyle f(-x)\geq f(x).}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle M>1}$ ${\displaystyle 2^{-Mr}$ ${\displaystyle x\in U_{M}}$ ${\displaystyle f(x)\leq 2^{-Mr.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle n>1,}$ ${\displaystyle 0<r\leq 2^{-n}}$ ${\displaystyle f(x)<r}$ ${\displaystyle x\in U_{n}.}$ ${\displaystyle \blacksquare}$

超常現象

が実数または複素数上のベクトル空間である場合、上のパラノルムは（上で定義した）上のG-セミノルムであり、以下の追加条件のいずれかを満たす。各条件は「内のすべてのシーケンスとすべての収束するスカラーシーケンスに対して」で始まる。 ^[6]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\rightarrow\mathbb{R}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

1. 乗法の連続性：がスカラーであり、が成り立つような場合、${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to s,}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}-sx\right)\to 0.}$
2. 両方の条件:
   • かつ がとなる場合、 となる。${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • ならば、すべてのスカラーに対して${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}\right)\to 0}$ ${\displaystyle s.}$
3. 両方の条件:
   • あるスカラーに対してであれば、となります。${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • もしそうなら${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x\right)\to 0{\text{ for all }}x\in X.}$
4. 別個の連続性：^[7]
   • あるスカラーに対してであれば、任意の に対して;${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$ ${\displaystyle x\in X}$
   • がスカラーの場合、となります。${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$

超正規分布は、以下に加えて次の条件を満たす場合、完全分布と呼ばれます。

• 合計/正定値：意味する${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

超規範の性質

がベクトル空間上のパラノルムである場合、によって定義される写像は、ベクトル位相を定義する、変換不変擬距離写像である^[8]${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y):=p(xy)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

がベクトル空間上の超正規分布である場合、次のようになります。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

• この集合は^[8]のベクトル部分空間である。${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle p(x+n)=p(x){\text{すべての }}x,n\in X に対して}$ ^[8]と${\displaystyle p(n)=0.}$
• パラノルムがとスカラーを満たす場合、は絶対同次性（すなわち等式が成立する）^[8]であり、したがってセミノルムである。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(sx)\leq |s|p(x){\text{ すべての }}x\in X に対して}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

超規範の例

• がベクトル空間上の変換不変擬距離であり、ベクトル空間上にベクトル位相を誘導する（すなわち、 TVSである）場合、写像は上に連続なパラノルムを定義する。さらに、このパラノルムがで定義する位相は^[8]である。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p(x):=d(xy,0)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$
• が超正規分布であれば、写像も超正規分布となる^[8]${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q(x):=p(x)/[1+p(x)].}$
• パラノルム（合計パラノルム）のすべての正のスカラー倍数は、再びそのようなパラノルム（合計パラノルム）です。
• あらゆるセミノルムはパラノルムである。^[8]
• パラノルム（全パラノルム）をベクトル部分空間に制限することもパラノルム（全パラノルム）である。^[9]
• 2つの超正規分布の和は超正規分布である。^[8]
• と が 上の超正規分布ならばも である。さらに、 であり、これにより 上の超正規分布の集合は条件付き完全格子になる。^[8]${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf _{}\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ }}y,z\in X\}.}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\leq p}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\leq q.}$ ${\displaystyle X}$
• 次の実数値写像はそれぞれ 上の超正規写像である。 ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|+|y|}$
• 実数値写像と^[8]はパラノルムではない。${\displaystyle (x,y)\mapsto {\sqrt {\left|x^{2}-y^{2}\right|}}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \left|x^{2}-y^{2}\right|^{3/2}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R}^{2}.}$
• がベクトル空間上のハメル基底であるとき、 （有限個を除くすべてのスカラーが0である）をに送る実数値写像は、すべてのおよびスカラーに対してを満たすパラノルムである^[8]${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}{\sqrt {\left|s_{i}\right|}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p(sx)={\sqrt {|s|}}p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$
• 関数は、バランスが取れていないが、それでも の通常のノルムと等価である。関数が劣加法であることに注意。^[10]${\displaystyle p(x):=|\sin(\pi x)|+\min\{2,|x|\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle x\mapsto |\sin(\pi x)|}$
• を複素ベクトル空間とし、をベクトル空間として考えると、上の任意の超正規化は上の超正規化でもある^[9]。${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R}}}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

F-セミノルム

が実数または複素数上のベクトル空間である場合、 （はフレシェを表す）上のF半正規写像は次の4つの性質を持つ実数値写像である： ^[11]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. 非負：${\displaystyle p\geq 0.}$
2. 劣加法：すべてに対して${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$
3. バランス：すべてのスカラーが${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1;}$
   • この条件は、フォームの各セットまたは一部のセットがバランスの取れたセットであることを保証します。${\displaystyle \{z\in X:p(z)\leq r\}}$ ${\displaystyle \{z\in X:p(z)<r\}}$ ${\displaystyle r\geq 0}$
4. すべてのasについて${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\left({\tfrac {1}{n}}x\right)\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$
   • この数列はゼロに収束する任意の正の数列に置き換えることができる。^[12]${\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n=1}^{\infty}}$

F半ノルムは、以下に加えて次の条件を満たす場合、Fノルムと呼ばれます。

5. 合計/正定値：意味する${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

F半正規分布は、次の条件を満たす場合、 単調分布と呼ばれます。

6. 単調：すべての非ゼロかつすべての実数に対して、^[12]${\displaystyle p(rx)<p(sx)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s<t.}$

F-半ノルム空間

F -半ノルム空間（またはF -ノルム空間）^[12]は、ベクトル空間とF -半ノルム（またはF -ノルム）からなる対である。${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

とがF半正規化空間であるとき、写像は等長埋め込みと呼ばれる^[12]。${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (Z,q)}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle q(f(x)-f(y))=p(x,y){\text{ }}x,y\in Xのすべてのx,yに対して。}$

あるF半正規化空間から別のF半正規化空間への等長埋め込みはすべて位相埋め込みであるが、その逆は一般には成り立たない。^[12]

例F-セミノルム

• F -セミノルム（それぞれF -ノルム、セミノルム）のすべての正のスカラー倍は、再びF -セミノルム（それぞれF -ノルム、セミノルム）です。
• 有限個のFセミノルム (またはFノルム)の合計はFセミノルム (またはFノルム) です。
• とが上のF半ノルムならば、それらの点ごとの上限も^[12]上のF半ノルムの空でない有限族の上限についても同様である。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto \sup\{p(x),q(x)\}.}$ ${\displaystyle X.}$
• F -セミノルム（またはF -ノルム）のベクトル部分空間への制限はF -セミノルム（またはF -ノルム）である。^[9]
• 上の非負実数値関数がセミノルムとなる場合、かつそれが凸F-セミノルムである場合に限ります。また、それと同値で、凸平衡G-セミノルムとなる場合にも限ります。^[10] 特に、すべてのセミノルムはF-セミノルムです。${\displaystyle X}$
• 任意の に対して、によって定義される 上の写像は、ノルムではないFノルム です。${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle [f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)]^{p}=\left|x_{1}\right|^{p}+\cdots \left|x_{n}\right|^{p}}$$
• が線型写像であり、が上のF半正規写像であれば、が上のF半正規写像である^[12]${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle q\circ L}$ ${\displaystyle X.}$
• を複素ベクトル空間とし、をベクトル空間として考えると、上の任意のF半ノルムは^[9]上のF半ノルムでもある。${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R}}}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

の特性F-セミノルム

全てのF-セミノルムは超正規化であり、全ての超正規化は何らかのF-セミノルムと同値である。^[7]ベクトル空間上の 全てのF-セミノルムは、特に、そして全ての${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(-x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

単一のF-セミノルム

定理^[11] —をベクトル空間上のF半ノルムとする。すると、によって定義される 写像は、上のベクトル位相を定義する、 上の並進不変擬距離写像となる。がFノルム ならば、は距離である。この位相が与えられているとき、は上の連続写像となる。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y):=p(xy)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

正実数上における値域としての均衡集合は、閉集合からなるこの位相において、原点における近傍基底を形成する。同様に、正実数上における値域としての均衡集合は、開集合からなるこの位相において、原点における近傍基底を形成する。 ${\displaystyle \{x\in X~:~p(x)\leq r\},}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{x\in X~:~p(x)<r\},}$ ${\displaystyle r}$

族によって誘導される位相F-セミノルム

がベクトル空間上のF半ノルムの空でない集合であり、任意の有限部分集合と任意の ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}:=\bigcap _{p\in {\mathcal {F}}}\{x\in X:p(x)<r\}.}$$

集合は、ベクトル位相の原点近傍基底を形成するフィルタ基底を形成し、 ^[12]で表されるベクトル位相のフィルタ基底を形成する。 それぞれは、 ^[ 12]のバランスのとれた吸収部分集合である。 これらの集合は^{[12]を満たす。}${\displaystyle \left\{U_{{\mathcal {F}},r}~:~r>0,{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}},{\mathcal {F}}{\text{ 有限 }}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau_{\mathcal{L}}.}$ ${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r/2}+U_{{\mathcal {F}},r/2}\subseteq U_{{\mathcal {F}},r}.}$$

• ${\displaystyle \tau_{\mathcal{L}}}$ はそれぞれを連続させる最も粗いベクトル位相である。^[12]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle \tau_{\mathcal{L}}}$ ハウスドルフであることと、すべての非ゼロに対して^[12]を満たすものが存在することが同値である。${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle p(x)>0.}$
• が上の連続F半ノルム全体の集合であるとき、^[12]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {L}}\right)}$ ${\displaystyle \tau_{\mathcal{L}}=\tau_{\mathcal{F}}.}$
• が の空でない有限部分集合のすべての点ごとの最高値の集合である場合、はF半ノルムの有向族であり、 ^[12]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau_{\mathcal{L}}=\tau_{\mathcal{F}}.}$

フレシェの組み合わせ

がベクトル空間上の非負劣加法関数の族であるとする。${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

のフレシェ結合^[8]は実数値写像として定義される。 ${\displaystyle p_{\bullet}}$ $$の式は、 p(x):=\sum _{i=1}^{\infty}{\frac {p_{i}(x)}{2^{i}\left[1+p_{i}(x)\right]}} である。$$

としてF-セミノルム

が上の半ノルムの増加列であるとし、がのフレシェ結合であるとする。すると 、は半ノルムの族と同じ局所凸位相を誘導する上のF半ノルムである。^[13]${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{\bullet }.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{\bullet}}$

は増加しているので、原点の開近傍の基底は、すべての正の整数にわたる範囲とすべての正の実数にわたる範囲 としての形式のすべての集合で構成されます。${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{x\in X~:~p_{i}(x)<r\right\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r>0}$

このF半正規形によって誘導される擬似 距離上の並進不変量は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty}{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {p_{i}(xy)}{1+p_{i}(xy)}}.}$$

この計量は、 1906年にフレシェが点ごとの演算を伴う実数列と複素数列の空間に関する論文で発見した。^[14]

超常現象として

それぞれが超常規範ならば も超常規範であり、さらに は超常規範の族と同じ位相を誘導する。^[8] これは 上の次の超常規範についても成り立つ。 ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{\bullet}}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle q(x):=\inf _{}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x)+{\frac {1}{n}}~:~n>0{\text{ は整数 }}\right\}.}$ ^[8]
• ${\displaystyle r(x):=\sum _{n=1}^{\infty }\min \left\{{\frac {1}{2^{n}}},p_{n}(x)\right\}.}$ ^[8]

一般化

フレシェ結合は、境界付き再計数化関数の使用によって一般化できます。

あ有界再計数化関数^[15]、有界な値域を持ち、劣加法性（つまり、 すべての に対して）を持ち、 を満たす場合のみ連続非負非減少写像である。${\displaystyle R:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle R(s+t)\leq R(s)+R(t)}$ ${\displaystyle s,t\geq 0}$ ${\displaystyle R(s)=0}$ ${\displaystyle s=0.}$

有界再計量化関数の例としては、および^[15]が挙げられる。が上の擬計量（それぞれ計量）であり、が有界再計量化関数である 場合、は上の有界擬計量（それぞれ有界計量）であり、これは^[15]と一様に同値である。${\displaystyle \arctan t,}$ ${\displaystyle \tanh t,}$ ${\displaystyle t\mapsto \min\{t,1\},}$ ${\displaystyle t\mapsto {\frac {t}{1+t}}.}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\circ d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

がベクトル空間上の非負F -セミノルムの族であり、が有界再計数化関数であり、が和が有限である正の実数列であるとする。すると 、 ^[16]と一様同値な 有界F -セミノルムが定義される。[16] は、任意のネットに対して、かつその場合に限り、すべての^[16]に対してがF -ノルムである場合、かつその場合に限り、^[16]上の離散点が${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ $${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}R\left(p_{i}(x)\right)}$$ ${\displaystyle p_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle p_{i}\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{\bullet}}$ ${\displaystyle X.}$

特徴づけ

（準）ノルムによって誘導される（擬似）計量

擬距離（または計量）がベクトル空間上の半ノルム（またはノルム）によって誘導される場合、かつその場合のみ、は並進不変かつ絶対同次である。つまり、すべてのスカラーとすべてのに対して となる。この場合、 によって定義される関数は半ノルム（またはノルム）であり、 によって誘導される擬距離（または計量）は${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d.}$

擬似メトリゼーション可能なTVS

が位相ベクトル空間（TVS）である場合（特にベクトル位相であると仮定されていることに注意）、以下は同値である：^[11]${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau}$

1. ${\displaystyle X}$ は擬距離化可能である（つまり、ベクトル位相は上の擬距離によって誘導される）。${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$ 原点に可算な近傍基数を持ちます。
3. 上の位相は、上の並進不変擬距離によって誘導される。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. 上の位相はF半ノルムによって誘導されます。${\displaystyle X}$
5. 上の位相は超正規分布によって誘導されます。${\displaystyle X}$

計量可能なTVSの

がTVS の場合、以下は同等です 。${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$ 計量化可能です。
2. ${\displaystyle X}$ はハウスドルフかつ擬似計量化可能である。
3. ${\displaystyle X}$ はハウスドルフであり、原点に可算近傍基を持つ。^{[11] [12]}
4. 上の位相は^[11]上の並進不変計量によって誘導される。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
5. 上の位相はFノルムによって誘導される。^{[11] [12]}${\displaystyle X}$
6. 上の位相は単調なFノルムによって誘導される。^[12]${\displaystyle X}$
7. 上の位相は全超正規分布によって誘導されます。${\displaystyle X}$

バーコフ・角谷定理—が位相ベクトル空間である場合^{、次の3つの条件は同値である: [17] [注 1]}${\displaystyle (X,\tau )}$

1. 原点は閉じており、その近傍には可算な基底がある。${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle (X,\tau )}$ は計量化可能である（位相空間として）。
3. 上の変換不変計量が存在し、それが与えられた位相上の位相を誘導する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X.}$

バーコフ・角谷定理によれば、並進不変な 同等の計量が存在することになる。

局所凸擬似計量化可能TVSの

がTVSの場合、以下は同値である: ^[13]${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$ 局所的に凸かつ擬似計量化可能である。
2. ${\displaystyle X}$ 原点に凸集合からなる可算な近傍基数を持つ。
3. の位相は、（連続）半ノルムの可算な族によって誘導されます。${\displaystyle X}$
4. の位相は、（連続的な）半ノルムの可算な増加列によって誘導される（増加とは、すべての${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle p_{i}\geq p_{i+1}.}$
5. の位相は、次の形の F半ノルムによって誘導される。 ここで^[18]上の（連続）半ノルムは${\displaystyle X}$ $${\displaystyle p(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\operatorname {arctan} p_{n}(x)}$$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$ ${\displaystyle X.}$

商

位相ベクトル空間のベクトル部分空間を${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

• が擬似計量化可能なTVSであれば[ ^{11]も擬似計量化可能である。}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M.}$
• が完全な擬計量化可能なTVSであり、がの閉ベクトル部分空間である場合、は完全である。^[11]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$
• が計量化可能なTVSであり、がの閉ベクトル部分空間である場合、計量化可能である。^[11]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$
• が上のF -半ノルムである場合、によって定義される 写像は上のF -半ノルム であり、上の通常の商位相を誘導する^[11]。 さらに、が上のF -ノルムであり、がの閉ベクトル部分空間である場合、は上のF -ノルムである^[11]。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P:X/M\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle P(x+M):=\inf _{}\{p(x+m):m\in M\}}$$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X.}$

例と十分な条件

• あらゆる半ノルム空間は 擬距離化可能であり、その標準擬距離は^[19]で与えられる。${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(xy)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
• が擬距離TVSで、変換不変擬距離を持つ場合、パラノルムを定義します。^[20] しかし、がベクトル空間上の変換不変擬距離（擬距離TVSであるという追加条件なし）である場合、F-セミノルム^[21]やパラノルムである必要はありません。${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$
• TVSが原点の有界近傍を持つ場合、それは擬距離化可能である。その逆は一般に偽である。^[14]
• ハウスドルフTVSが原点の有界近傍を持つ場合、それは計量化可能である。^[14]
• がDF空間かLM空間であると仮定する。 がシーケンシャル空間である場合、それは計量化可能か、そうでなければモンテルDF空間である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

がハウスドルフ局所凸TVSである場合、強位相で、が計量化可能であることと、の有界部分集合の可算な集合が存在し、その有界部分集合のすべてが^[22]の何らかの元に含まれることとが同値である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

計量化可能な局所凸空間（フレシェ空間^[23]など）の強双対空間は DF 空間である。^[24] DF 空間の強双対はフレシェ空間である。^[25]反射的フレシェ空間 の強双対はボルノロジー空間である。^[24]計量化可能な局所凸空間の 強双対（つまり、強双対空間の強双対空間）はフレシェ空間である。^[26]が計量化可能な局所凸空間である 場合、その強双対が以下のいずれかの性質を持つ場合と、それがこれらの性質のすべてを持つ場合に限ります。(1)ボルノロジー、(2)インフラバレル、(3)バレル。^[26]${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$

規範性

位相ベクトル空間が半ノルム可能であることと、原点の凸有界近傍が存在することとは同値である。さらに、TVSがノルム可能であることと、ハウスドルフかつ半ノルム可能であることとは同値である。^[14]有限次元ベクトル空間 上の距離化可能なTVSはすべて、ノルム可能な局所凸 完備TVSであり、ユークリッド空間とTVS同型である。したがって、距離化可能なTVSでノルム可能でないものはすべて無限次元でなければならない。

が計量化可能な局所凸TVSであり、それが可算な有界集合の基本系を持つ場合、はノルム可能である。^[27]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

がハウスドルフ局所凸空間である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$ は規範的です。
2. ${\displaystyle X}$ 原点の（フォン・ノイマン）有界近傍を持つ。
3. の強双対空間 は規範可能である。^[28]${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle X}$

そして、この局所凸空間も計量化可能であれば、次のものをこのリストに追加することができます。 ${\displaystyle X}$

4. の強双対空間は計量化可能である。^[28]${\displaystyle X}$
5. の強双対空間はフレシェ・ウリゾーン局所凸空間である。^[23]${\displaystyle X}$

特に、計量化可能な局所凸空間（フレシェ空間など）がノルム可能でない場合、その強双対空間はフレシェ-ウリゾーン空間ではなく、その結果、この完全なハウスドルフ局所凸空間も計量化可能でもノルム可能でもありません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$

このことのもう一つの帰結は、が反射的局所凸TVSでその強双対が計量化可能であるならば、は必然的に反射的フレシェ空間であり、はDF空間であり、 と は両方とも必然的に完備なハウスドルフ超ボルノロジカルな区別された網状空間であり、さらに がノルム可能であることと、がノルム可能であることと、がフレシェ・ウリゾーンであることと、 が計量化可能であることとが同値である、ということである。特に、そのような空間はバナッハ空間であるか、そうでなければフレシェ・ウリゾーン空間ですらない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

計量的に有界な集合と有界な集合

が擬距離空間で であるとする。 集合が計量的に有界または-有界であるとは、すべての に対してとなる実数が存在するときである。そのような最小のものを の直径または-直径と呼ぶ。 ^[14]が擬距離化可能な TVS で有界である 場合、それは計量的に有界である。その逆は一般には偽であるが、局所的に凸距離化可能な TVSでは真である。^[14]${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle B\subseteq X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle d(x,y)\leq R}$ ${\displaystyle x,y\in B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

擬似計量化可能なTVSの特性

定理^[29] —すべての無限次元の可分な完全計量化可能なTVSは同相である。

• 任意の計量化可能な局所凸TVSは準バレル空間、^[30] ボルノロジー空間、およびマッキー空間である。
• すべての完全な擬計量化可能なTVSは樽型空間であり、ベール空間である（したがって非希薄空間ではない）。^{[31]しかし、}完全な 計量化可能なベール空間ではない空間も存在する。^[31]
• が計量化可能な局所凸空間である場合、 の強双対がボルノロジー的であることと、それがバレル化されていることは同値であり、それがインフラバレル化されていることは同値である。^[26]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• が完全な擬計量化可能なTVSであり、がの閉ベクトル部分空間である場合、は完全である。^[11]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$
• 局所凸計量化可能なTVSの強い双対はウェブ空間である。^[32]
• と が完全な計量化可能 TVS（すなわちF 空間）であり、 が よりも粗い場合である。[ ^33]これらの計量化可能 TVS のいずれかが完全でない場合、これはもはや真であることが保証されない。^[34]言い換えれば、と が両方ともF 空間だが位相が異なる場合、 と のどちらも他方を部分集合として含まない。このことの 1 つの特別な帰結として、例えば がバナッハ空間であり がノルム誘導位相が の位相よりも細かい（あるいは よりも粗い）他のノルム付き空間である場合（すなわち である場合、または何らかの定数 に対して である場合）、 がバナッハ空間である（すなわち完全でもある）唯一の方法は、これら 2 つのノルムと が同等である場合である。同等でない場合、 はバナッハ空間にはならない。別の結果として、 がバナッハ空間で がフレシェ空間である場合、フレシェ空間がTVSである場合にのみ、写像は連続になります(ここでは、バナッハ空間は TVS として考えられており、これはそのノルムが「忘れられる」が、その位相が記憶されていることを意味します)。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \tau =\nu }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p\leq Cq}$ ${\displaystyle q\leq Cp}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle p:(X,\nu )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,p)}$
• 計量化可能な局所凸空間がノルム可能であることと、その強双対空間がフレシェ-ウリゾーン局所凸空間である場合に限ります。^[23]
• 完全な計量化可能なTVSの積はベール空間である。^[31]
• 計量化可能なTVSの積が計量化可能であるのは、これらのTVSのすべて、ただし最大で可算な数のTVSが次元^{[35]を持つ場合のみである。}${\displaystyle 0.}$
• 擬似計量化可能な TVS の積は、これらの TVS のうち最大で可算個数以下のすべてが自明な位相を持つ場合にのみ、擬似計量化可能です。
• すべての完全な擬計量化可能なTVSは樽型空間であり、ベール空間である（したがって非希薄空間である）。^[31]
• 完全な計量化可能なTVSの次元は有限か無限かのいずれかである。^[35]

完全

すべての位相ベクトル空間（およびより一般的には位相群）には、その位相によって誘導される標準的な一様構造があり、これにより、完全性と一様連続性の概念を適用できます。が計量化可能な TVS で、が の位相を定義する計量である場合、 がTVS として完全（つまり、その一様性に対して）であるが、計量が完全計量ではない可能性があります（そのような計量は に対しても存在します）。したがって、が擬計量によって位相が誘導される TVS である場合、（TVS としての）の完全性の概念と擬計量空間の完全性の概念は必ずしも同等ではありません。次の定理は、これらが同等である場合の条件を示します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$

定理—が擬距離化可能なTVSであり、その位相が変換不変擬距離によって誘導される場合、がTVSとして完全である場合に限り、が完全擬距離となる。 ^[36]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

定理^{[37] [38]}  (Klee) —任意の^{[注 2]}ベクトル空間上の計量で、によって誘導される位相が位相ベクトル空間を形成するものとし、が完備計量空間であるならば、は完備TVSである。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

定理—がTVSであり、その位相がパラノルムによって誘導される場合、が完全であることは、の任意のシーケンスに対して が収束することと同値である。^[39]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X.}$

が完全な擬計量化可能なTVSの閉ベクトル部分空間であるとき、商空間は完備である。^[40]が計量化可能なTVSの完全なベクトル部分空間で あり、商空間が完備であるとき、同様に^[40]が完備でない とき、しかし、ベクトル部分空間は完備ではない。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M:=X,}$ ${\displaystyle X.}$

ベール可分位相群が計量化可能であるのは、 それが宇宙的である場合に限る。^[23]

部分集合と部分列

• を可分な局所凸計量化可能な位相ベクトル空間とし、をその完備化とする。がの有界部分集合ならば、の有界部分集合が存在し、[ ^41]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}$
• 局所凸計量化可能TVSの全ての完全に有界な部分集合は、収束するある列の閉じた凸均衡包に含まれる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0.}$
• 擬似メートル法によるTVSでは、すべての食肉目動物は起源の近傍である。^[42]
• がベクトル空間上の並進不変計量であるとき、すべての正の整数^[43]に対して${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle d(nx,0)\leq nd(x,0)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n.}$
• が計量化可能なTVSにおいてヌル列（つまり原点に収束する）である場合、 に発散する正の実数列が存在し、[ 43 ^]${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$ ${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.}$
• 完備距離空間の部分集合が閉集合となるのは、それが完備である場合に限ります。空間が完備でない場合、その閉部分集合は完備ではありません。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• が計量化可能な局所凸TVSである場合、 の任意の有界部分集合に対して、の有界円板が存在し、と補助ノルム空間の両方が^[44]に同じ部分空間位相を誘導する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle B.}$

バナッハ・サックスの定理^[45] —が局所凸計量化可能TVS内の列で、それが弱収束する、が有限個の凸結合であるような列が存在する。${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{n}.}$

マッキーの可算条件^[14] —が局所凸計量化可能なTVSで、がの有界部分集合の可算列であるとする。すると、の有界部分集合と、すべての正の実数列が存在 し、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$ ${\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}$ ${\displaystyle i.}$

一般化シリーズ

この記事の一般化級数に関するセクションで説明したように、TVS からのベクトルの任意の-インデックス付き族に対して、その和を有限部分和のネットの極限として定義することができ、ここで定義域はによって方向付けられます。 たとえば、一般化級数が収束するのは、 が通常の意味で無条件に収束する場合のみです(実数の場合、絶対収束に相当)。一般化級数が計量化可能な TVS で収束する場合、その集合は必然的に可算です(つまり、有限または可算無限)。^{[証明 1]} 言い換えると、最大で可算個を除いてすべて0 になるため、この一般化級数は実際には最大で可算個の非ゼロ項の和になります。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {有限部分集合} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {有限部分集合} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$

線形マップ

が擬似計量化可能なTVSで、の有界部分集合をの有界部分集合に写す場合、は連続である。^[14] 任意の無限次元擬似計量化可能なTVS上には不連続な線型関数が存在する。^[46] したがって、擬似計量化可能なTVSが有限次元であるための必要十分条件は、その連続双対空間がその代数的双対空間に等しいことである。^[46]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$

がTVS 間の線型写像であり、計量化可能である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle F}$ 連続している。
2. ${\displaystyle F}$ は（局所的に）有界な写像である（つまり、（フォン・ノイマン）の有界な部分集合を の有界な部分集合に写像する）[ ^12]。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
3. ${\displaystyle F}$ 連続的である; ^[12]
4. におけるすべてのヌルシーケンスの像は有界集合^[12]であり、定義によりヌルシーケンスは原点に収束するシーケンスである。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$
5. ${\displaystyle F}$ ヌルシーケンスをヌルシーケンスにマッピングします。

オープンマップとほぼオープンマップ

定理：が完全な擬似計量化可能なTVSであり、がハウスドルフTVSであり、 が閉じていてほぼ開いた線型射影である場合、 は開写像である。^[47]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

定理：局所凸空間から樽型空間への射影線型作用素であれば（例えば、すべての完全な擬似計量化可能空間は樽型である）、ほぼ開いている。^[47]${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

定理：TVSからベール空間への射影線型作用素であれば、ほぼ開いている。^[47]${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

定理： は完全な擬似計量化可能なTVSからハウスドルフTVSへの連続線型作用素であるとする。 の像がにおいて非-maagerであれば は射影的な開写像であり、は完全な計量化可能な空間である。^[47]${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

ハーン・バナッハ拡張特性

TVSのベクトル部分空間が拡張性を持つとは、上の任意の連続線型関数が上の連続線型関数に拡張できることである。 ^[22]のすべてのベクトル部分空間が拡張性を持つとき 、TVSはハーン・バナッハ拡張性（HBEP）を持つという。^[22]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

ハーン＝バナッハの定理は、任意のハウスドルフ局所凸空間がHBEPを持つことを保証する。完全計量化可能なTVSの場合、逆が成り立つ。

定理 （カルトン）—ハーン・バナッハ拡大特性を持つすべての完全な計量化可能なTVSは局所的に凸である。^[22]

ベクトル空間が無数次元であり、それに最細分ベクトル位相を与えると、これは局所凸でも計量化可能でもないHBEPを持つTVSとなる。^[22]${\displaystyle X}$

参照

• 非対称規範 – 規範の概念の一般化
• 完全計量空間 – 計量幾何学
• 完全位相ベクトル空間 – 関数解析における構造
• 計量の同値性 – 数学的概念
• F空間 – 完全な並進不変計量を持つ位相ベクトル空間
• フレシェ空間 – 局所凸位相ベクトル空間であり、完備計量空間でもある
• 一般化された計量 – 計量幾何学
• K空間（機能解析）
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 計量空間 – 距離の概念を持つ数学的空間
• 擬距離空間 – 数学における距離空間の一般化
• 規範と計量の関係 – 距離の概念を持つ数学的空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• セミノルム – 数学関数
• 劣線形関数 – 線形代数における関数の種類
• 均一空間 – 均一な性質の概念を持つ位相空間
• ウルシェスク定理 – 閉グラフ、開写像、一様有界性定理の一般化

注記

1. 実際、これは位相群の場合には当てはまります。なぜなら、証明にはスカラー乗算が使われていないからです。
2. 翻訳不変であるとは想定されていません。

証明

1. ネットが計量化可能なTVSのある点に収束すると仮定する。ここで、このネットの定義域は有向集合 であることを思い出してほしい 。すべての収束ネットと同様に、この部分和の収束ネットはコーシーネットであり、これはこの特定のネットでは（定義により）における原点のすべての近傍に対しての有限部分集合が存在し、すべて の有限スーパーセットに対して、これは任意の に対して となることを意味する（および をとることにより）。 は計量化可能であるため、原点に可算な近傍基数を持ち、その交点は必然的に となる（はハウスドルフTVSであるため）。すべての正の整数に対して、となる有限部分集合を選ぶ。すべての に対してが に属する 場合、 がに属する。したがって、可算集合 に属さないすべてのインデックスに対して、${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \lim \limits _{A\in \operatorname {有限部分集合} (I)}}\ \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}=\lim \left\{\textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ 有限 }}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (\operatorname {有限部分集合} (I),\subseteq ).}$ ${\displaystyle A\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in B}r_{i}-\textstyle \sum \limits _{i\in C}r_{i}\in W}$ ${\displaystyle B,C\supseteq A_{0};}$ ${\displaystyle r_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle B:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle C:=A_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq I}$ ${\displaystyle r_{i}\in U_{n}}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{n}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (I\setminus A_{1})\cap (I\setminus A_{2})\cap \cdots =I\setminus \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \right)}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}.}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots .}$ ${\displaystyle \blacksquare}$

参考文献

1. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、1～18頁。
2. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、37–40頁。
3. Swartz 1992、p. 15を参照。
4. ウィランスキー 2013、17ページ。
5. Wilansky 2013、40～47頁。
6. Wilansky 2013、15ページ。
7. Schechter 1996、689–691 ページ。
8. Wilansky 2013、15–18 ページ。
9. Schechter 1996、692ページ。
10. シェヒター 1996、691ページより。
11. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、91–95頁。
12. Jarchow 1981、38–42ページ。
13. Narici & Beckenstein 2011、p. 123を参照。
14. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、156–175頁。
15. シェクター 1996年、487ページ。
16. シェクター 1996年、692-693頁。
17. Köthe 1983、セクション15.11
18. シェクター1996年、706ページ。
19. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、115–154頁。
20. ウィランスキー 2013、15～16頁。
21. シェーファー＆ウォルフ 1999、91-92ページ。
22. ナリシ & ベッケンシュタイン 2011、225–273。
23. Gabriyelyan, SS「特定の局所可算ネットワークを持つ位相空間と位相群について（2014）」
24. Schaefer & Wolff 1999、154ページより。
25. シェーファー＆ウォルフ 1999、196ページ。
26. Schaefer & Wolff 1999、153ページ。
27. シェーファー＆ウォルフ 1999年、68～72頁。
28. Trèves 2006、p. 201より。
29. ウィランスキー 2013、57ページ。
30. ジャーコウ 1981年、222ページ。
31. Narici & Beckenstein 2011、371–423頁。
32. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、459–483頁。
33. Köthe 1969、168ページ。
34. ウィランスキー 2013、59ページ。
35. Schaefer & Wolff 1999、12–35ページを参照。
36. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、47～50頁。
37. シェーファー＆ウォルフ 1999、35ページ。
38. Klee, VL (1952). 「群における不変計量（バナッハの問題の解）」(PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484– 487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
39. ウィランスキー 2013、56～57頁。
40. Narici & Beckenstein 2011、47–66ページ。
41. シェーファー＆ウォルフ 1999年、190～202頁。
42. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、172-173頁。
43. Rudin 1991、22ページ。
44. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、441–457頁。
45. ルディン1991、67ページ。
46. Narici & Beckenstein 2011、p. 125。
47. Narici & Beckenstein 2011、466–468頁。

参考文献

• ベルベリアン、スターリング・K. (1974). 『関数解析と作用素論の講義』 . 数学大学院テキスト. 第15巻. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401。
• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190。
• ブルバキ、ニコラス(1950)。 「確実なベクトルとトポロジーの空間」。Annales de l'Institut Fourier (フランス語)。2 : 5–16 (1951)。土井：10.5802/aif.16。MR0042609  。
• エドワーズ、ロバート・E. (1995). 『関数解析：理論と応用』 ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-68143-6OCLC  30593138 。
• グロタンディーク、アレクサンダー(1973). 『位相ベクトル空間』 . チャルジュブ、オーランド訳. ニューヨーク: ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098。
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4OCLC  8210342 。
• カレルラ, SM (1982).位相ベクトル空間における反例.数学講義ノート. 第936巻. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370。
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• ケーテ、ゴットフリート(1979)。位相ベクトル空間 II． Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 237. ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• ロバートソン, アレックス・P.; ロバートソン, ウェンディ・J. (1980).位相ベクトル空間. ケンブリッジ数学トラクト第53巻. ケンブリッジ、イギリス:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• シェクター、エリック（1996年）『分析とその基礎ハンドブック』サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• シュワルツ、チャールズ (1992). 『関数解析入門』 ニューヨーク: M. デッカー. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。
• ウィランスキー、アルバート(2013). 『位相ベクトル空間における現代的手法』 ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114。
• フセイン、タクディール (1978).位相的ベクトル空間と順序付きベクトル空間における樽状性. ベルリン, ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-09096-7. OCLC  4493665。