モジュラーテンソルカテゴリ

モジュラーテンソルカテゴリ（またはモジュラー融合カテゴリ）は、位相量子場理論、共形場理論、量子代数の分野で役割を果たすモノイドカテゴリの一種です。モジュラーテンソルカテゴリは、1989年に物理学者のグレッグ・ムーアとネイサン・ザイバーグによって、有理共形場理論の文脈で導入されました。^[1]量子場理論の文脈では、モジュラーテンソルカテゴリは、2次元時空における有理共形場理論の代数データ、 ^[1]および3次元時空における位相量子場理論の代数データを格納するために使用されます。^[2]凝縮物質物理学の文脈では、モジュラーテンソルカテゴリは、物質の位相量子相におけるエニオンを記述する代数データを格納するために使用されるため、位相量子情報の代数理論で役割を果たします。^[3]

数学的には、モジュラーテンソル圏は、非退化な編組を持つ剛体で半単純な[ ^4] 編組 融合圏であり、位相不変性の概念を明確に保証する。これらの圏は量子群、表現論、低次元位相幾何学において自然に現れ、結び目不変量や三次元多様体不変量の構築に用いられる。

説明

「モジュラーテンソルカテゴリ」という用語は、1989 年にIgor Frenkelによって造られました^。[1]カテゴリ理論の観点からの解釈は、1992 年にVladimir Turaevによって導入されました。ただし、彼の定義は、カテゴリがすべてのオブジェクトを有限個の単純なオブジェクトの直和として持つことを要求しないという意味で、現代の定義よりも若干一般化されています。^[4]「モジュラー」という言葉は、すべてのモジュラーテンソルカテゴリに、関連付けられたモジュラーグループ表現があるという事実を指します。「テンソル」という言葉は、モジュラーテンソルカテゴリが元々は抽象カテゴリとして定義されておらず、代わりに互換性のあるテンソルのコレクションとして定義されたという事実を指します。

モジュラーテンソル圏を定義するには、いくつかの同等な代替方法があります。 1 つの定義は次のとおりです。モジュラーテンソル圏は、非退化編組を持つ編組 球面 融合圏です。 ^[5]編組がある場合、デリーニュのねじれ補題は球面構造がリボン構造と同等であると述べており、そのためモジュラーテンソル圏は非退化リボン融合圏と同等に定義できます。^[6] Bruguièresのモジュラー性定理は、編組球面融合圏が非退化編組を持つのは、そのS 行列が非退化 (可逆) である場合のみであると主張しています。^{[7]したがって、モジュラーテンソル圏は、非退化 S 行列を持つ編組球面融合圏と同等に定義できます。 モジュラーテンソル圏は、}スケルトン化を使用して定義することもできます。

モジュラーテンソルカテゴリに関する定理はいくつかあり、たとえば、モジュラー群表現の存在、ブルギエールのモジュラー性定理、ヴェルリンデの公式、階数有限性定理、シャウエンブルク-ングの定理、ミュガーの定理などがあります。

意味

モジュラーテンソルカテゴリは以下のデータから構成される: ^{[5] [8] [9]}${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. A -線型カテゴリ。つまり、複素数体上で拡張されたカテゴリ。${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
2. 上のモノイドカテゴリの構造。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
3. 上の右剛体カテゴリの構造。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
4. の編み込みの構造。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
5. 上の枢軸構造。つまり、モノイド的自然同型。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle i:{\text{id}}_{\mathcal {C}}\to ({\text{id}}_{\mathcal {C}})^{**}}$

モジュラーテンソルカテゴリを形成するには、データ部分が次の公理を満たす必要があります。

1. ある自然数に対して、 -線型カテゴリの同値性が 存在します。${\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\bf {Vec}}_{\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle n\geq 1}$
2. モノイド構造は-線型関手です。${\displaystyle \otimes :{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
3. ベクトル空間の同型性 があり、 はのテンソル単位です。${\displaystyle {\text{End}}_{\mathcal {C}}({\bf {1}})\cong \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\bf {1}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
4. （球面公理）オブジェクト が与えられたとき、その剛体構造からの評価写像と共評価写像はそれぞれと で表される。すべての射に対して、写像の等式が存在する。${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\text{ev}}_{A}:A^{*}\otimes A\to {\bf {1}}}$ ${\displaystyle {\text{coev}}_{A}:{\bf {1}}\to A\otimes A^{*}}$ ${\displaystyle f:A\to A}$

${\displaystyle {\text{ev}}_{A^{*}}\circ (i_{A}\otimes {\text{id}}_{A^{*}})(f\otimes {\text{id}}_{A^{*}})\circ {\text{coev}}_{A}={\text{ev}}_{A^{*}}\circ ({\text{id}}_{A^{*}}\otimes f)({\text{id}}_{A}\otimes i_{A}^{-1})\circ {\text{coev}}_{A^{*}}.}$

5. (非退化)上の組紐をとします。すべてのオブジェクト に対し、任意の に対してが成り立つとき、となる自然数が存在する。${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \beta _{B,A}\circ \beta _{A,B}={\text{id}}_{A\otimes B}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle A\cong n\cdot {\bf {1}}}$

これらの公理は物理的には次のように動機づけられている: ^{[3] [5]}

• -線形構造は、モジュラーテンソルカテゴリが量子力学的現象をモデル化するはずであるという事実を反映しています。${\displaystyle \mathbb {C} }$
• モノイド構造は、 内の2つの物体が融合して 内の新しい物体が作られるという融合過程を表すと考えられています。エニオンの文脈では、これは2つのエニオンを互いに近づけて共同励起 を形成することに対応します。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• 編み込み構造は、隣接する物体が互いに編み込まれる物理的な編み込み過程を表すと考えられています。エニオンの文脈では、これは弦演算子によって一方のエニオンをもう一方のエニオンの周りで動かすことに相当します。
• 剛体構造における双対オブジェクトは反粒子を表すと想定されており、評価写像と共評価写像は対生成演算子と対消滅演算子に対応する。エニオンの文脈では、これは逆の位相電荷を持つエニオン対を生成・消滅させる能力に対応する。
• 中心構造と球面公理は、物理的な根拠に基づいて予想される粒子と反粒子間の自然な適合条件をエンコードします。
• この同値性は、モジュラーテンソル圏のオブジェクトと物理現象との間の対応関係の、より微細な性質を反映している。大まかに言えば、これは、によって記述される準粒子が有限個の異なるタイプ（超選択セクター）を持ち、すべての準粒子が測定によって素準粒子に分解できる（一種の物理的な半単純性）という事実に対応する。エニオンの文脈では、これは、物質の個々のトポロジカル相が有限個のエニオンタイプしかサポートできないという事実と、トポロジカル電荷測定によって任意の局在励起を素エニオンに投影できるという事実に対応する。${\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\bf {Vec}}_{\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

他の概念との関係

モジュラーテンソルカテゴリの構造と公理のサブセットのみを使用して定義できるさまざまな中間概念があります。^[10]

• 上記の構造(1)と公理(1)を持つ圏は、(カプラノフ・ヴォヴォツキー) 2-ベクトル空間と呼ばれる。多くの場合、2-ベクトル空間は抽象的な同値性を通して定義されるのではなく、断片的に定義される。すなわち、線型圏が2-ベクトル空間であるための必要十分条件は、それがアーベルであり、半単純であり、かつ単純対象の同型類が有限個存在することである。^[10]${\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\bf {Vec}}_{\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• 構造(1)+(2)+(3)を持ち、公理(1)+(2)+(3)を満たすカテゴリを融合カテゴリと呼ぶ。^[10]
• モジュラーテンソルカテゴリのすべての構造を持ち、公理をすべて満たしながら非退化性（つまり、編組球面融合カテゴリ）をプレモジュラーカテゴリと呼ぶ。^[10]

位相量子場理論との関係

モジュラーテンソルカテゴリと位相的量子場理論の関係は、1991 年にウラジミール・トゥラエフとニコライ・レシェティキンによって導入されたReshetikhin–Turaev 構成で体系化されています。^{[4] [11]}この構成は、量子場理論を使用してリンクと 3 次元多様体の不変量を定義するというエドワード・ウィッテンの提案を数学的に実現するために導入されました。 Reshetikhin-Turaev 構成は、すべてのモジュラーテンソルカテゴリに (2+1) 次元の位相的量子場理論を割り当てます。理論の 1 つの解釈では、Reshetikhin-Turaev 構成は、 -線形カテゴリの2 次元カテゴリで評価される、一度拡張された異常な(2+1) 次元の位相的量子場理論と、各因子にグローバル次元の平方根を備えたモジュラーマルチテンソルカテゴリとの間の一対一を誘導します。ここで、モジュラー多重テンソルカテゴリとは、可能性を有するモジュラーテンソルカテゴリを指す。^[2]${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\text{End}}_{\mathcal {C}}({\bf {1}})\not \simeq \mathbb {C} }$

有理共形場理論との関係

モジュラーテンソル圏と有理共形場理論の関係は、グレッグ・ムーアとネイサン・ザイバーグによって導入された。有理共形場理論（一次場）における基本的なカイラルデータ間の代数的関係を研究した一連の論文の後、 ^{[12] [13]}ムーアとザイバーグは、これらのデータ片が自然に組み立てられる構造がモジュラーテンソル圏であることを発見した。^[1]このデータは現在、有理共形場理論のムーア・ザイバーグデータと呼ばれている。このデータは共形場理論を特定するには十分ではなく、特に、局所相関関数を持つ完全な理論に到達するには、何らかの非カイラルデータが必要である。この追加の必要データは、ユルゲン・フックス、インゴ・ルンケル、クリストフ・シュヴァイゲルトによって研究され、ムーア・ザイバーグモジュラーテンソル圏における対称特殊フロベニウス 代数オブジェクトのデータに対応する。 ^[14]

有理共形場理論とモジュラーテンソル圏の関係は、頂点作用素代数の言語でも理解できる。^[15]あらゆる共形場理論に頂点作用素代数を関連付ける確立された理論が存在する。^[16]この頂点作用素代数が有理数であり、特定の代数条件を満たす場合、その表現のカテゴリーは自然にモジュラーテンソル圏の構造を備える。^[15]

モジュラーテンソルカテゴリの構築

数学や物理学の文献には、モジュラーテンソルカテゴリの様々な構成が存在します。^{[17] [10]}

有限群から

一つの構成は有限群論から来ている。^[10]この構成はすべての有限群 にの量子二重と呼ばれるモジュラーテンソルカテゴリを割り当てる。このカテゴリはの（複素）表現のカテゴリのドリンフェルド中心として定義される。すなわち、。あるいは、 は-次数付き（複素）ベクトル空間のカテゴリのドリンフェルド中心として定義することができる。すなわち、 。これら 2 つの定義が同値であることは自明ではない事実であり、これはとの間の圏論的森田同値と呼ばれる。この文脈では、2 つのモノイドカテゴリは、それらのドリンフェルド中心の間に編組モノイドカテゴリの同値がある場合に森田同値と呼ばれる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(G)={\mathcal {Z}}({\textrm {Rep}}_{G})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(G)={\mathcal {Z}}({\textrm {Vec}}_{G})}$ ${\displaystyle \mathrm {Rep} _{G}}$ ${\displaystyle \mathrm {Vec} _{G}}$

群コホモロジー における 3-コサイクルで結合関係をひねることで得られる、より一般的な構成があります。ここで、は円群です。^[10]より正確には、任意の 3-コチェーンが与えられた場合、結合関係が によってひねられていることを除いて、 -次数付きベクトル空間のカテゴリと同じように定義される、関連する球面融合カテゴリがあります。共境界によって異なるコチェーンは同値な球面融合カテゴリを生成するため、球面融合カテゴリはにおけるコホモロジー類の同値性まで明確に定義されます。ドリンフェルド中心を取ると、有限群とコホモロジー類によって決定されるモジュラーテンソルカテゴリになります。^[10]${\displaystyle H^{3}(G,U(1))}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \alpha \in Z^{3}(G,U(1))}$ ${\displaystyle {\text{Vec}}_{G}^{\alpha }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Vec} _{G}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\text{Vec}}_{G}^{\alpha }}$ ${\displaystyle H^{3}(G,U(1))}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}({\text{Vec}}_{G}^{\alpha })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [\alpha ]\in H^{3}(G,U(1))}$

位相的量子場の理論のレベルでは、群論的モジュラーテンソル圏は有限ゲージ群を持つ離散ゲージ理論に対応し、^[18]ロバート・ダイクグラーフとエドワード・ウィッテンにちなんでダイクグラーフ・ウィッテン理論とも呼ばれる。^[19] 3次元コサイクルはラグランジアンにおけるダイクグラーフ・ウィッテン作用の選択に対応する。位相的秩序のレベルでは、は入力群を持つキタエフの量子二重模型におけるエニオンに対応する。^[18]${\displaystyle {\mathcal {D}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [\alpha ]\in H^{3}(G,U(1))}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(G)}$ ${\displaystyle G}$

量子群から

関連するリー代数およびすべての正の整数を伴う、コンパクトで単純で単連結なすべて のリー群 に、が特定の 1 の根であり、 という式によって に関連付けられている量子群が存在します。ここで、 は の双対コクセター数であり、は のカルタン行列の非対角要素の最大絶対値です。^[20]この量子群から、 と呼ばれるカテゴリを定義することができます。これは、の表現のカテゴリに対して特定の半単純化手順を実行することによって定義されます。^{[8] [20]}の選択に対して、が特定の例外的なファミリにない場合、カテゴリはモジュラーであり、レベル での の量子群モジュラーカテゴリと呼ばれます。^[20]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{q}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i/D(k+{\check {h}})}}$ ${\displaystyle {\check {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathfrak {g}},k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{q}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathfrak {g}},k)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$

位相的量子場の理論のレベルでは、量子群のモジュラーカテゴリはチャーン・サイモンズ理論に対応する。^[21]チャーン・サイモンズ理論は、理論のゲージ群に対応するコンパクト単純リー群と、チャーン・サイモンズ作用における結合定数を指定する整数レベルによって指定される。レシェティキン・トゥラエフ構成のもとでチャーン・サイモンズ理論に対応するモジュラーテンソルカテゴリは である。^[21]エドワード・ウィッテンはチャーン・サイモンズ理論の物理的根拠に基づいて、あらゆるコンパクト単純リー群と整数レベルはリンクと 3 次元多様体の不変量に​​関連付けられるべきであると理論化し、 に関連付けられたレシェティキン・トゥラエフ構成を使用することでウィッテンのプログラムが完成しました。^{[11] [22]}${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle (G,k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathfrak {g}},k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathfrak {g}},k)}$

弱ホップ代数から

弱ホップ代数の理論から派生したモジュラーテンソルカテゴリの構成がある。^{[10]これらの構成は}タナカ・クラインの双対性の一般テーマを利用している。任意の有限次元弱ホップ代数の表現カテゴリは -線型モノイドカテゴリであることが示され、これは-線型カテゴリとして と同値である。逆も真であることは林隆宏の定理である。つまり、 -線型カテゴリとして と同値である任意の -線型モノイドカテゴリは、何らかの弱ホップ代数の表現カテゴリと同値である。^[23]弱ホップ代数に構造を追加することは、表現カテゴリに構造を追加することに対応する。例えば、弱ホップ代数に準三角構造を追加することは、表現カテゴリに組紐を追加することに対応する。 ^[24]レシェティキン＝トゥラエフは、その原著論文で、モジュラーホップ代数の概念を導入した。これは、十分な数の構造と公理を持ち、その表現圏がモジュラー圏となるようなものである。^[11]ホップ代数の文脈では、量子二重構成を扱うのが一般的である。これは、弱いホップ代数を入力として、自然に準三角形構造を備えることができる二重ホップ代数を出力することで定義され、 ^{[24]その表現圏はモジュラーテンソル圏となることが多い。このようなモジュラーホップ代数は「二重」と呼ばれる。}位相的秩序のレベルでは、表現圏二重ホップ代数は、一般化されたキタエフの量子二重モデルにおけるエニオンに対応する。^[25]${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\textrm {Vec}}_{\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\textrm {Vec}}_{\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\otimes H^{*}}$

サブファクターから

モジュラーテンソルカテゴリとサブファクターの間には、1990 年代後半から 2000 年代前半にかけて Adrian Ocneanu、Michael Müger らによって導入および開発された関係があります。^{[26] [27] [28]}これらの構成は通常、最初に球面融合カテゴリを構築し、次にそのDrinfeld 中心を取ることで機能します。これは、Müger の定理によりモジュラーです。サブファクターのタイプとそれが満たす必要のある公理に応じて、さまざまな関連する構成があります。たとえば、有限インデックスと有限深さの型サブファクターの場合、関連付けられた球面融合カテゴリは、によって生成された-双加群 のサブカテゴリを-双加群と見なしてを取ることによって定義されます。^[26]分離可能な型因子の場合、オブジェクトが の-自己同型であり、その射が絡み合う写像である、関連付けられた球面融合カテゴリ任意の有限指数部分因子は自然に におけるフロベニウス代数の構造を生じ、実際 の有限指数部分因子と におけるフロベニウス代数の間には一対一の関係がある。^[27]${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\rm {III}}_{1}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textrm {End}}(M)}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle {\textrm {End}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textrm {End}}(M)}$

レシェティキン＝トゥラエフ構成を用いることで、これらのモジュラーテンソル圏の構成すべてに位相量子場理論を割り当てることができる。有限指数と有限深度を持つ型部分因子の場合、オクネアヌによる代替アプローチがあり、これは関連する場の理論を直接構築する。^[26]${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$ ${\displaystyle N\subset M}$

参照

• 位相量子情報の代数理論
• モジュラーグループ表現
• 融合カテゴリーの骨格化
• 融合カテゴリのランク有限性

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