マルチインデックス表記

マルチインデックス表記法は、整数インデックスの概念をインデックスの順序付きタプルに一般化することで、多変数微積分、偏微分方程式、分布理論で使用される式を簡略化する数学表記法です。

定義と基本的な性質

n次元のマルチインデックスは-タプルです ${\textstyle n}$

\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})

非負整数（つまり、自然数の-次元集合の要素、と表記される）。 ${\textstyle n}$ $\mathbb {N} _{0}^{n}$

多重インデックスおよびの場合、次のように定義されます。 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

成分ごとの和と差: $\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$
半順序: $\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}$
構成要素の合計（絶対値）: $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$
階乗: $\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$
二項係数: ${\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}$
多項式係数: ${\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}$ どこ。 $k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}$
力: $x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$ 。
高階偏微分: $\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},$ ここで（4-gradientも参照）。表記法も使われることがある。^[1] $\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}$ $D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }$

いくつかのアプリケーション

多項式表記法は、初等微積分学の多くの公式を、対応する多変数の場合に拡張することを可能にします。以下にいくつかの例を示します。以下のすべてにおいて、(または)、、および(または) です。 $x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ $f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

多項式定理: $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }$
多二項定理: $(x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.$ $x + y$ はベクトル、 $α$ はマルチインデックスなので、左側の式は $(x 1 + y 1) α 1 \dots(x n + y n) α n$ の短縮形であることに注意してください。
ライプニッツの公式: スムーズな機能と、 ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ $\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.$
テイラー級数: 変数の解析関数については、以下の式が成り立ちます。実際、十分に滑らかな関数であれば、同様のテイラー展開が成り立ちますが、その最後の項（剰余）はテイラー公式の厳密なバージョンに依存します。例えば、コーシー公式（剰余は整数）については、以下の式が成り立ちます。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle n}$ $f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.$ $f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),$ $R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.$
一般線形偏微分演算子: 変数の形式的な線型偏微分演算子は次のように書かれる。 ${\textstyle N}$ ${\textstyle n}$ $P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.$
部品ごとの統合: 有界領域におけるコンパクトなサポートを持つ滑らかな関数の場合、次の式が成り立ちます。この式は、超関数と弱導関数の定義に使用されます。 $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $\int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.$

定理の例

が多重インデックスで、の場合、 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

証拠

証明は、通常の微分に対するべき乗則に従う。αとβがに属する場合、 ${\textstyle \{0,1,2,\ldots \}}$

、、を仮定する。すると、 $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$ $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}$

の各について、関数はのみに依存します。したがって、上記において、各偏微分は対応する常微分に帰着します。したがって、式( 1 )から、の少なくとも1つについてがゼロになることがわかります。そうでない場合、つまりが多重添字としてである場合、各およびについて定理が成り立ちます。QED ${\textstyle i}$ ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$ $x_{i}^{\beta _{i}}$ $x_{i}$ $\partial /\partial x_{i}$ $d/dx_{i}$ $\partial ^{\alpha }x^{\beta }$ ${\textstyle \alpha _{i}>\beta _{i}}$ ${\textstyle i}$ ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\textstyle \alpha \leq \beta }$ ${\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}$ $i$