近傍意味論

近傍意味論（スコット・モンタギュー意味論とも呼ばれる）は、様相論理の形式意味論である。これは、ダナ・スコットとリチャード・モンタギューによって独立に開発された、様相論理におけるより広く知られている関係意味論の一般化である。関係フレームは 、世界（または状態）の集合Wと、どの世界が他の世界の代替（またはアクセス可能）であるかを示すアクセス可能関係Rで構成されるのに対し、近傍フレームは依然として世界集合Wを持ち、アクセス可能関係の代わりに近傍関数を持つ。${\displaystyle \langle W,R\rangle}$ ${\displaystyle \langle W,N\rangle }$

${\displaystyle N:W\to 2^{2^{W}}}$

Wの各元にWの部分集合の集合を割り当てる。直感的に、ある世界に割り当てられる部分集合の各族は、その世界に必要な命題である。ここで「命題」とはWの部分集合（すなわち、命題が真となる世界の集合）として定義される。具体的には、Mがフレーム上のモデルである場合、

${\displaystyle M,w\models \square \varphi \Longleftrightarrow (\varphi )^{M}\in N(w),}$

ここで

${\displaystyle (\varphi )^{M}=\{u\in W\mid M,u\models \varphi \}}$

は真理集合です。 ${\displaystyle \varphi}$

近傍意味論は、 通常の様相論理Kよりも厳密に弱い古典的な様相論理に使用されます

関係モデルと近傍モデルの対応

あらゆる関係モデルM = ( W , R , V )には、（点ごとに同一の様相理論を持つという意味で）等価な近傍モデルM' = ( W , N , V )が対応しており、これは次のように定義される。

${\displaystyle N(w)=\{(\varphi )^{M}\mid M,w\models \Box \varphi \}.}$

しかし、これは唯一の選択肢ではありません。R（およびW）のみを参照して定義された近傍関数を使用した同等の選択肢も存在します。

${\displaystyle N'(w)=\{\{w'\in W\mid wRw'\}\mid w\in W\}.}$

任意のwについて、N'(w)にはN(w)が含まれますが、その一部の要素は任意の式の Mの真理値集合ではない可能性があるため、厳密にはそれよりも大きくなる可能性があります。

逆が成り立たないという事実は、近傍モデルが関係モデルを一般化したものであるという指摘に正確な意味を与える。関係構造のもう一つの（おそらくより自然な）一般化は、一般フレームである。

述語変換子との関係

部分集合がその特性関数と同等であることを利用して、近傍関数を述語変換器として理解することもできます。 ${\displaystyle 2^{W}}$ ${\displaystyle W\to 2}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle (W\to 2^{2^{W}})\cong (W\to 2^{W}\to 2)\cong (2^{W}\to W\to 2)\cong (2^{W}\to 2^{W})}$

参考文献

• チェラス、BF 『様相論理学』ケンブリッジ大学出版局、1980年
• モンタギュー、R.「普遍文法」、Theoria 36、373-98、1970年。
• スコット, D. 「様相論理に関する助言」『論理学における哲学的問題』、カレル・ランバート編、ライデル社、1970年。