数学において、非可換調和解析は、フーリエ解析の結果を可換でない位相群に拡張する分野である。[1]局所コンパクトアーベル群には、フーリエ級数とフーリエ変換の基本構造を含むポンチャギン双対性というよく理解された理論があるため、非可換調和解析の主な仕事は通常、その理論を局所コンパクトであるすべての群Gに拡張することであるとされている。コンパクト群の場合は、定性的に、また1920 年代のピーター・ワイルの定理以降、有限群とその特性理論の場合と一般に類似していると理解されている。
したがって、主な課題は、局所コンパクトであり、コンパクトでもなく可換でもないGの場合である。興味深い例としては、多くのリー群やp進体上の代数群が挙げられる。これらの例は興味深く、数理物理学や現代数論、特に保型表現において頻繁に応用されている。
何が期待できるかは、ジョン・フォン・ノイマンの基礎研究の結果として知られています。彼は、Gのフォン・ノイマン群代数がI型であれば、Gのユニタリ表現としてのL 2 ( G ) は既約表現の直積分となることを示し、したがって、それはユニタリ双対、すなわちそのような表現の同型類の集合によって媒介変数化され、これには包核位相が与えられます。プランシュレルの定理の類似は、ユニタリ双対上の測度、すなわち直積分が取られるプランシュレル測度を特定することによって抽象的に与えられます。 （ポンチャギン双対性では、プランシェレル測度はGの双対群上の何らかのハール測度であり、したがって唯一の問題はその正規化である。）一般の局所コンパクト群、あるいは可算離散群でさえも、フォン・ノイマン群代数はタイプ I である必要はなく、Gの正規表現は、たとえユニタリかつ完全に既約であっても、既約表現で記述することはできない。これが起こる例としては、フォン・ノイマン群代数が超有限タイプ II の1因子である無限対称群が挙げられる。さらに理論を進めると、プランシェレル測度が離散部分と連続部分に分割される。半単純群、および可解リー群のクラスについては、非常に詳細な理論が利用可能である。[2]
参照
参考文献
- 「非可換調和解析: ジャック カルモナに敬意を表して」、ジャック カルモナ、パトリック デロールム、ミシェル ベルニュ。出版社 Springer、2004 ISBN 0-8176-3207-7 [3]
- ユーリ・I・リュビッチ『群のバナッハ表現理論入門』 1985年ロシア語版（ウクライナ、ハリコフ）からの翻訳。ビルクハウザー出版、1988年。
注記
- ^ Gross, Kenneth I. (1978). 「非可換調和解析の進化について」 .アメリカ数学月刊. 85 (7): 525– 548. doi :10.2307/2320861. JSTOR 2320861.
- ^ テイラー、マイケル・E.（1986年8月）。非可換調和解析。アメリカ数学会。ISBN 9780821873823。
- ^ 非可換調和解析：ジャック・カルモナに敬意を表して
