可逆行列

線形代数において、可逆行列（非特異行列、非退化行列、または正則行列）とは、逆行列を持つ正方行列のことです。言い換えれば、行列が可逆であれば、別の行列を掛け合わせることで単位行列を得ることができます。可逆行列は、その逆行列と同じ大きさです。

行列の逆は逆演算を表します。つまり、特定のベクトルに行列を適用し、その後に行列の逆を適用すると、結果は元のベクトルになります。

意味

n行n列の正方行列Aが逆行列であるとは、n行n列の正方行列Bが存在し、I _{n が}n行n列の単位行列であり、乗算が通常の行列乗算である場合を言う。^[1]この場合、行列BはAによって一意に決定され、 Aの逆行列と呼ばれ、 A ⁻¹で表される。逆行列とは、元の行列に乗じて単位行列となる行列を求める処理である。^[2] $${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n},}$$

例

次の 2 行 2 列の行列を考えます。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}}$

この行列は逆行列を持つため逆行列である。逆行列は計算によって確認できる。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)\times 2+{\tfrac {3}{2}}\times 2&(-1)\times 3+{\tfrac {3}{2}}\times 2\\1\times 2+(-1)\times 2&1\times 3+(-1)\times 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I} _{2}}$

逆を求めることなく逆変換可能であることを確認するには、ゼロ以外の値を計算します。 ${\textstyle \det \mathbf {A} =-{\frac {1}{2}}}$

一方、これは逆行列ではありません。

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}}$

この2行2列の行列の階数は1であり、n − 1 ≠ nなので、逆行列は成り立ちません。さらに、行列の行列式は0であることが計算できます。これは、行列が逆行列であるための 必要十分条件です。${\displaystyle \mathbf {C} }$

逆行列法

ガウス消去法

ガウス消去法は、逆行列を計算する便利で簡単な方法です。この方法で逆行列を計算するには、まず左辺を逆行列、右辺を単位行列とする拡張行列を作成します。次に、ガウス消去法を用いて左辺を単位行列に変換し、右辺を入力行列の逆行列にします。

たとえば、次の行列を考えます。$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}}$$

逆行列を計算するための最初のステップは、拡張行列を作成することである。$${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\1&-1&0&1\end{array}}\!\!\right)}$$

この行列の1行目を、2行目を とします。そして、1行目を2行目に加算します。すると、${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle (R_{1}+R_{2}\to R_{2}).}$ $${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)}$$

次に、1行目から2行目を3倍したものを引くと、${\displaystyle (R_{1}-3\,R_{2}\to R_{1}),}$ $${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&0&-2&-3\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)}$$

最後に、1行目に-1を掛け、2行目に2を掛けます。これで左側に単位行列、右側に逆行列が得られます。${\displaystyle (-R_{1}\to R_{1})}$ ${\displaystyle (2\,R_{2}\to R_{2}).}$ $${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}1&0&2&3\\0&1&2&2\end{array}}\!\!\right)}$$

このように、ガウス消去法のプロセスは、次のような基本行列（ ） を用いた基本行演算による左行列乗算を適用する一連の処理として見ることができるため、$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }$

を使用して右掛け算を適用すると、必要な逆数である 右側が得られます。${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1},}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} =\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}.}$ ${\displaystyle \mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1},}$

を得るには、AとIを結合し、ガウス消去法を適用することで拡張行列を作成します。2つの部分は、同じ基本行演算シーケンスを使用して変換されます。左側の部分がIになると、右側の部分に同じ基本行演算シーケンスを適用すると、A ⁻¹になります。 ${\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} ,}$

ニュートン法

適切な開始シードを見つけるのが簡単な場合には、 乗法逆アルゴリズムに使用されるニュートン法の一般化が便利である可能性があります。

${\displaystyle X_{k+1}=2X_{k}-X_{k}AX_{k}}$

ビクター・パンとジョン・ライフは、開始シードを生成する方法を含む研究を行った。^{[3] [4]}

ニュートン法は、上記のホモトピーのために作られた列と十分に類似した挙動を示す関連行列の族を扱う際に特に有用である。新しい逆行列の近似値を改良するための良い出発点となるのは、現在の行列とほぼ一致する、既に得られている前の行列の逆行列である場合がある。例えば、デンマン・ビーバー反復法によって行列の平方根を求める際に用いられる逆行列の列のペアである。これらの列が互いに十分に近くなく、1回の反復処理では不十分な場合、新しい行列ごとに複数回の反復処理が必要となることがある。ニュートン法は、不完全なコンピュータ演算による小さな誤差によって汚染されたガウス・ジョルダン法の「微調整」修正にも有用である。

ケーリー・ハミルトン法

ケーリー・ハミルトン定理によれば、 Aの逆関数はdet( A )、トレース、Aのべき乗で表される：^[5]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{l=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{l}\right)^{k_{l}},}$

ここで、 nはAの大きさ、tr( A )は行列Aのトレースであり、主対角線の和で与えられる。この和はsと、線形ディオファントス方程式を満たすすべての集合にわたってとられる。${\displaystyle k_{l}\geq 0}$

${\displaystyle s+\sum _{l=1}^{n-1}lk_{l}=n-1}$

この式は、引数の完全なベル多項式を使って次のよう に書き直すことができる。${\displaystyle t_{l}=-(l-1)!\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=1}^{n}\mathbf {A} ^{s-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(n-s)!}}B_{n-s}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n-s})}$

これについては、ケーリー・ハミルトン法でさらに詳しく説明します。

固有分解

行列Aが固有分解可能であり、その固有値がゼロでない場合、Aは逆行列を持ち、その逆行列は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1},}$

ここで、Qはi番目の列がAの固有ベクトルである正方( N × N )行列であり、Λは対角要素が対応する固有値である対角行列です。つまり、Aが対称である場合 、 Qは直交行列であることが保証されます。したがって、 さらに、 Λは対角行列であるため、その逆行列は簡単に計算できます。 ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \Lambda _{ii}=\lambda _{i}.}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }.}$

${\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}}$

コレスキー分解

行列Aが正定値行列である場合、その逆行列は次のように得られる。

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\left(\mathbf {L} ^{*}\right)^{-1}\mathbf {L} ^{-1},}$

ここで、LはAの下三角 コレスキー分解であり、L * はLの共役転置を表します。

解析解

補因子行列の転置（随伴行列とも呼ばれる）を書くことは、小さな行列の逆行列を計算する効率的な方法である可能性がありますが、再帰的な方法は大きな行列に対しては非効率的です。逆行列を求めるには、補因子行列を計算します。

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}}$

となることによって

${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{-1}\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)}$

ここで、 | A |はAの行列式、Cは補因子の行列、C ^{T は}転置行列を表します。

2×2行列の逆行列

上記の補因子方程式は、2×2行列に対して以下の結果をもたらします。これらの行列の逆行列は次のようにして求めることができます。^[6]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$

これが可能なのは、1/( ad − bc )が問題の行列の行列式の逆数であり、同じ戦略を他の行列サイズにも使用できるためです。

ケーリー・ハミルトン法では

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right]}$

3×3行列の逆行列

計算効率の良い 3 ×3行列逆行列は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}$

（ここで、スカラー Aは行列Aと混同しないでください）。

行列式がゼロでない場合、この行列は逆行列であり、上記の右側の中間行列の要素は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}A&={}&(ei-fh),&\quad &D&={}&-(bi-ch),&\quad &G&={}&(bf-ce),\\B&={}&-(di-fg),&\quad &E&={}&(ai-cg),&\quad &H&={}&-(af-cd),\\C&={}&(dh-eg),&\quad &F&={}&-(ah-bg),&\quad &I&={}&(ae-bd).\\\end{alignedat}}}$

Aの行列式は、次のようにSarrus の規則を適用して計算できます。

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=aA+bB+cC}$

ケーリー・ハミルトン分解は

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\tfrac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right)}$

一般的な3×3逆行列は、外積と三重積で簡潔に表すことができます。行列（3つの列ベクトル、、、およびからなる）が逆行列である場合、その逆行列は次のように与えられます 。${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{0}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {x} _{0})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x} _{0}\times \mathbf {x} _{1})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$

Aの行列式det( A )は、x ₀、x ₁、x ₂の三重積、つまり行または列によって形成される 平行六面体の体積に等しい。

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}$

式の正しさは、交差積と三重積の性質、そして群の左逆元と右逆元は常に一致することに着目することで検証できる。直感的には、交差積の関係から、A ^{-1の各行は}Aの対応しない2つの列と直交する（そのため、対角外項はゼロになる）。 ${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} }$

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}$

は、 I = A ⁻¹ Aの対角要素が1になるようにします。例えば、最初の対角要素は次のようになります。

${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}}\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}$

4×4行列の逆行列

次元が大きくなるにつれて、 Aの逆関数の表現は複雑になります。n = 4の場合、ケーリー・ハミルトン法では、依然として扱いやすい表現が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\Bigl (}&{\tfrac {1}{6}}{\bigl (}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})+2\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{3}){\bigr )}\mathbf {I} \\[-3mu]&\ \ \ -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} {\bigl (}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2}){\bigr )}+\mathbf {A} ^{2}\operatorname {tr} \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{3}{\Bigr )}\end{aligned}}}$

ブロック反転

させて

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}}$

ここで、 A、B、C、Dは任意サイズの行列サブブロックであり、 Aのシュアー補行列である。（Aは正方行列でなければならないので、逆行列を求めることができる。さらに、AとD − CA ⁻¹ Bは特異行列であってはならない。^[7]） ${\displaystyle \mathbf {M} /\mathbf {A} :=\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} }$

行列は解析的逆行列公式を使ってブロックごとに逆行列を求めることもできる: ^[8]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \ (\mathbf {M} /\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {M} /\mathbf {A} \right)^{-1}\\-\left(\mathbf {M} /\mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {M} /\mathbf {A} \right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

1

この戦略は、 Aが対角行列であり、M / Aが小さな行列である 場合に特に有利です。なぜなら、逆行列を必要とするのはこれら 2 つの行列だけだからです。

無効定理によれば、 Aの無効性は逆行列の右下にあるサブブロックの無効性に等しく、Bの無効性は逆行列の右上にあるサブブロックの無効性に等しいとされます。

式( 1 )を導いた逆行列演算では、CとDを最初に演算するブロック行列演算が行われた。代わりに、AとBを最初に演算し、DとM / D  := A − BD ⁻¹ Cが非特異値であると仮定すると、^[9]の結果は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {M} /\mathbf {D} \right)^{-1}&-\left(\mathbf {M} /\mathbf {D} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {M} /\mathbf {D} \right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {M} /\mathbf {D} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.}$

2

式（ １）と式（２） の左上部分行列を等しくすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&=\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\\\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}&=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&=\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\\\mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}&=\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{aligned}}}$

3

ここで式( 3 )はウッドベリー行列の恒等式であり、二項式逆定理と等価である。

AとDが両方とも逆行列である場合、上記の2つのブロック行列逆行列を組み合わせると、単純な因数分解が得られる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\left(\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {I} &-\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\\-\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {I} \end{bmatrix}}.}$

2

ワインスタイン・アロンザイン恒等式により、ブロック対角行列の 2 つの行列のうち 1 つが逆行列である場合、もう 1 つも逆行列になります。

この式は、右上のブロック行列Bが零行列である場合に大幅に簡略化されます。この定式化は、行列AとDが比較的単純な逆行列式（ブロックがすべて正方行列でない場合は擬似逆行列）を持つ場合に有用です。この特殊なケースでは、上記で完全に一般化されたブロック行列の逆行列式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {0} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {0} \\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\mathbf {D} ^{-1}\end{bmatrix}}}$

与えられた逆行列が逆ブロックAを持つ対称行列である場合、次のブロック逆公式が成り立つ^[10]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {C} ^{T}\\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\\-\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {S} ^{-1}\end{bmatrix}},}$

4

ここで です。これは、半分のサイズの行列AとSの 2 回の逆行列演算と、半分のサイズの行列の 4 回の乗算のみを必要とします。ただし 、いくつかの加算、減算、否定、転置などの複雑さを無視できる操作と組み合わせる必要があります。任意の行列 には、半正定値対称行列 が関連付けられています。この行列は、 が逆行列である場合に限り、正確に逆行列化可能 (かつ正定値) です。 と書くことで、行列の逆行列演算は、対称行列の逆行列演算と 2 回の追加の行列乗算に簡略化できます。これは、正定値行列が左上ブロックAの逆行列化条件を満たすためです。 ${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W} _{1}&=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\\[3mu]\mathbf {W} _{2}&=\mathbf {W} _{1}\mathbf {C} ^{T}=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T},\\[3mu]\mathbf {W} _{3}&=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {W} _{1}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\\[3mu]\mathbf {W} _{4}&=\mathbf {W} _{1}^{T}\mathbf {W} _{3}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}=\left(\mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} \right)^{-1}\mathbf {M} ^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} }$

これらの式を組み合わせることで、関連する対称行列のブロック反転を使用して、内部で使用される行列乗算アルゴリズムと同じ時間計算量で行列を反転する分割統治アルゴリズムを構築できます。 ^[10]行列乗算の計算量に関する研究では、 O（n ^2.371552）回の計算量を持つ行列乗算アルゴリズムが存在し、最も証明された下限はΩ（n ² log n）であることが示されています。^[11]

ノイマン系列による

行列Aが次のような性質を持つ とすると

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=0}$

するとAは非特異であり、その逆はノイマン級数で表される：^[12]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}}$

和を切り捨てると「近似的な」逆行列が得られ、これは前処理として有用である可能性がある。ノイマン級数は幾何級数であることに着目すれば、切り捨て級数は指数的に加速できることに注意されたい。したがって、 ノイマン級数は次式を満たす。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{2^{L}-1}(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=\prod _{l=0}^{L-1}\left(\mathbf {I} +(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{2^{l}}\right)}$

したがって、合計の 2 ^L項を計算するには、 2 L − 2 回の行列乗算のみが必要です。

より一般的には、Aが逆行列Xに 「近い」場合、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {A} \right)^{n}=0\mathrm {~~or~~} \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {A} \mathbf {X} ^{-1}\right)^{n}=0}$

するとAは非特異であり、その逆は

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {A} )\right)^{n}\mathbf {X} ^{-1}~}$

A − Xがランク1 である場合も、これは次のように単純化される。

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {X} ^{-1}-{\frac {\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\mathbf {X} ^{-1}}{1+\operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\right)}}~}$

p-進近似

Aが整数または有理数の要素を持つ行列であり、任意精度の有理数で解を求める場合、p進近似法は、標準的なO( n ³ )行列乗算が使用されると仮定すると、O( n ⁴ log ² n )で正確な解に収束します。^[13]この方法は、ディクソンのp進近似法（それぞれO( n ³ log ² n ) ）を介してn個の線形システムを解くことに依存しており、IMLなどの任意精度行列演算に特化したソフトウェアでそのまま利用できます。^[14]

逆基底ベクトル法

n × nの正方行列が与えられ、n行がnベクトルとして解釈されます（アインシュタインの総和を仮定）。ここで はユークリッド空間（ ）の標準的な直交基底です。次に、クリフォード代数（または幾何代数）を使用して、逆数（双対と呼ばれることもある）の列ベクトルを計算します。 ${\displaystyle \mathbf {X} =\left[x^{ij}\right]}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}=x^{ij}\mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}=x_{ji}\mathbf {e} ^{j}=(-1)^{i-1}(\mathbf {x} _{1}\wedge \cdots \wedge ()_{i}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})\cdot (\mathbf {x} _{1}\wedge \ \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})^{-1}}$

逆行列の列として となる。ここで、" "は、上記の式において のその位置から " " が削除されたことを示していることに注意されたい。すると となり、ここではクロネッカーのデルタである。また、必要に応じて も得られる。ベクトルが線形独立でない場合、 となり、行列は逆行列を持たない（逆行列を持たない）ことになる。 ${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}=[x_{ji}].}$ ${\displaystyle ()_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{-1}=\left[\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}$ ${\displaystyle \delta _{i}^{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}\mathbf {X} =\left[\left(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{k}\right)\left(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {x} _{k}\right)\right]=\left[\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

プロパティ

特異点

体上で逆行列を持たない正方行列は、特異行列または退化行列と呼ばれます。体 に要素を持つ正方行列が特異行列となるのは、その行列式がゼロである場合に限ります。

可逆行列定理

Aを体K（例えば実数体）上のn行n列の正方行列とする。以下の命題は同値である。つまり、任意の行列に対して、すべて真かすべて偽のいずれかである。[ ^15] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Aは可逆である。つまり、行列乗算によって逆行列が存在する。つまり、 AB = I _n = BAとなるBが存在する。（この文の「可逆」は、片側逆行列を考慮した「左可逆」または「右可逆」に置き換えることもできる。）
• xをAxに写像する線形変換は可逆です。つまり、関数合成に関して逆変換が存在します。（ここでも、「可逆」は「左可逆」または「右可逆」に置き換えることができます。）
• 転置行列 A T^は可逆行列です。
• Aはn行n列の単位行列I _nと行が等価です。
• Aはn行n列の単位行列I _{n と列}的に。
• A にはn 個の ピボット位置があります。
• Aはフルランクです:ランクA = n。
• Aには自明なカーネルがあります: ker( A ) = {0}。
• xからAxへの線形変換は全単射です。つまり、方程式Ax = bは、 K ⁿ内の各bに対して正確に1つの解を持ちます。（ここで、「全単射」は「単射」または「全射」に置き換えることができます。）
• Aの列はK ⁿの基底を形成する。（この文では、「基底」は「線型独立集合」または「全域集合」のいずれかに置き換えることができる）
• Aの行はK ⁿの基底を形成する。（同様に、ここでの「基底」は「線型独立集合」または「全域集合」のどちらにも置き換えることができる）
• Aの行列式は非ゼロです: det A ≠ 0 。一般に、可換環上の正方行列が逆行列を持つのは、その行列式がその環の単位元（つまり乗法的に逆行列を持つ元）である場合のみです。
• 数 0 はAの固有値ではありません。（より一般的には、行列が特異である場合、数はAの固有値です。ここで、 Iは単位行列です。）${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} }$
• 行列Aは、基本行列の有限積として表すことができます。

その他の特性

さらに、可逆行列Aには次の性質が成り立ちます。

• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle (k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}$ 非ゼロスカラーkの場合
• ${\displaystyle (\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}}$ Aが直交列を持つ場合、 ⁺はムーア・ペンローズ逆行列、xはベクトル
• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }}$
• 任意の逆行列AとBに対して、より一般的には、逆行列がn行n列の行列である場合、${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}.}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{k}}$ ${\displaystyle (\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\cdots \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}.}$
• ${\displaystyle \det \mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{-1}.}$
• 左逆元と右逆元は等しい。つまり、であればとなる。${\displaystyle \mathbf {LA} =\mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {AR} =\mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} (\mathbf {AR} )=(\mathbf {LA} )\mathbf {R} =\mathbf {R} }$

行列Uの逆行列Vの行は、 Uの列に正規直交します(行と列を入れ替えても同様)。これを確認するには、UV = VU = Iと仮定します。ここで、 Vの行は、 Uの列は と表されます(それぞれ )。すると、任意の 2 つのユークリッド内積は、であることが明確にわかります。この特性は、 Uの列に直交するベクトル (必ずしも正規直交ベクトルとは限らない)の集合がわかっている場合に、正方行列の逆行列を構築するときにも役立ちます。その場合、この初期集合に反復グラム・シュミット法を適用して、逆行列Vの行を決定できます。 ${\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle u_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n.}$ ${\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}=\delta _{i,j}.}$

自身の逆行列（つまり、 A = A ⁻¹であり、したがってA ² = Iとなるような行列A）は逆行列と呼ばれます。

その補語との関係

行列Aの加法は次のようにAの逆行列を求めるために使用できます。

Aが逆行列である 場合、

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$

単位行列との関係

行列の掛け算の 結合性から、

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {I} \ }$

有限正方行列AとBに対しては、

${\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} \ }$ ^[16]

密度

実数体上で、特異なn行n行列の集合は、 ⁠ ⁠の部分集合として考えれば、零集合、つまりルベーグ測度が0である。これは、特異行列が行列式関数の根であるためである。行列式は行列の要素における多項式であるため、連続関数である。したがって、測度論の言語では、ほぼすべてのn行n行列は逆行列である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n},}$

さらに、 n行n列の可逆行列の集合は、すべてのn行n列行列の位相空間において開行列であり稠密である。同様に、特異行列の集合はn行n列行列の空間において閉行列であり、稠密ではない。

しかし、実際には、逆行列ではない行列に遭遇することがあります。数値計算においては、逆行列であっても逆行列ではない行列に近い行列は依然として問題となる可能性があり、悪条件行列と呼ばれます。

逆行列の微分

逆行列Aがパラメータtに依存すると仮定する。Aの逆行列のtに関する微分は^[17]で与えられる。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}}$

Aの逆行列の導関数の上式を導くには、積の法則を使って逆行列の定義を微分し、次にAの逆行列の導関数を解きます。 ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {0} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1})}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}$

この式の両端からを引き、右側に を掛けると、導出が完了します。 ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$

が小さい数の 場合、微分式は次のようになります。${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,}$

正の整数が与えられると、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n-i},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-n}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-(n+1-i)}\end{aligned}}}$

特に、

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{n}&=\mathbf {A} ^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{n-i}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right),\\(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{-n}&=\mathbf {A} ^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-(n+1-i)}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right)\end{aligned}}}$

一般化

非正方行列

正方行列以外の行列、すなわちm行n列でm ≠ nとなる行列には逆行列は存在しません。しかし、場合によっては、そのような行列には左逆行列または右逆行列が存在することがあります。Aがm行n列で、Aの階数がn（n ≤ m）の場合、 Aには左逆行列、すなわちn行m列の行列Bが存在し、 BA = I _nとなります。Aの階数がm（m ≤ n ）の場合、 Aには右逆行列、すなわちn行m列の行列Bが存在し、 AB = I _mとなります。

逆行列のいくつかの性質は、一般化逆行列（ムーア・ペンローズ逆行列など）と共有されており、任意のm行n列行列に対して定義することができます。^[18]

抽象代数学では

最も一般的なケースは実数または複素数上の行列ですが、これらの定義はすべて、加法と乗算を備えた任意の代数構造（つまり環）上の行列にも適用できます。しかし、環が可換である場合、正方行列が逆行列であるための条件は、その行列式が環において逆行列であることであり、これは一般に、行列式が非零であることよりも厳しい要件です。非可換環の場合、通常の行列式は定義されません。環上には階数の概念が存在しないため、左逆行列または右逆行列の存在条件はより複雑です。

n × nの可逆行列の集合と行列の乗算演算および環Rからの要素は、n 次一般線型群を形成し、GL _n ( R )と表記されます。

アプリケーション

ほとんどの実用的なアプリケーションでは、線形方程式系を解くために行列を逆行列化する必要はありません。ただし、一意の解を得るには、関係する行列が逆行列化可能である必要があります。

LU 分解などの分解手法は逆変換よりもはるかに高速であり、特殊なクラスの線形システム用のさまざまな高速アルゴリズムも開発されています。

回帰/最小二乗法

明示的な逆行列は未知数ベクトルの推定に必ずしも必要ではありませんが、その精度を推定する最も簡単な方法であり、逆行列の対角成分（未知数ベクトルの事後共分散行列）に存在します。しかしながら、逆行列の対角成分のみを計算するより高速なアルゴリズムが多くの場合に知られています。^[19]

リアルタイムシミュレーションにおける逆行列

行列反転はコンピュータグラフィックス、特に3Dグラフィックスレンダリングと3Dシミュレーションにおいて重要な役割を果たします。例としては、スクリーンからワールドへのレイキャスティング、ワールドからサブスペース、そしてワールドへのオブジェクト変換、物理シミュレーションなどが挙げられます。

MIMO無線通信における逆行列

逆行列演算は、無線通信におけるMIMO（Multiple-Input, Multiple-Output）技術においても重要な役割を果たします。MIMOシステムは、N本の送信アンテナとM本の受信アンテナで構成されます。同じ周波数帯域を占める固有の信号が、 N本の送信アンテナを介して送信され、 M本の受信アンテナを介して受信されます。各受信アンテナに到達する信号は、N個の送信信号の線形結合となり、 N  ×  Mの送信行列Hを形成します。受信側が送信された情報を理解できるように、行列Hが逆行列であることは非常に重要です。^[20]

参照

• 特異行列
• 二項逆定理
• LU分解
• 行列分解
• 行列の平方根
• マイナー（線形代数）
• 行列の部分逆行列
• 擬似逆行列
• Rybicki Pressアルゴリズム
• 特異値分解
• ウッドベリー行列の恒等式

参考文献

1. Axler, Sheldon (2014年12月18日). Linear Algebra Done Right . Undergraduate Texts in Mathematics (第3版). Springer Publishing (2015年出版). p. 296. ISBN 978-3-319-11079-0。
2. J.-S. Roger Jang (2001年3月). 「ブロック形式の逆行列」.
3. Pan, Victor; Reif, John (1985)、「線形システムの効率的な並列解法」、第17回ACMコンピューティング理論シンポジウムの議事録、プロビデンス：ACM
4. Pan, Victor; Reif, John (1985),ハーバード大学コンピューティング技術研究センター報告書 TR-02-85 , Cambridge, MA: Aiken Computation Laboratory
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8. Tzon-Tzer, Lu; Sheng-Hua, Shiou (2002). 「2×2ブロック行列の逆行列」. Computers & Mathematics with Applications . 43 ( 1–2 ): 119– 129. doi :10.1016/S0898-1221(01)00278-4.
9. バーンスタイン、デニス (2005).行列数学. プリンストン大学出版局. p. 45. ISBN  978-0-691-11802-4。
10. TH Cormen、CE Leiserson、RL Rivest、C. Stein、アルゴリズム入門、第 3 版、MIT プレス、マサチューセッツ州ケンブリッジ、2009 年、§28.2。
11. Ran Raz . 行列積の計算量について. 第34回ACMコンピューティング理論シンポジウム議事録. ACM Press, 2002. doi :10.1145/509907.509932.
12. スチュワート、ギルバート (1998).行列アルゴリズム：基本分解. SIAM. p. 55. ISBN  978-0-89871-414-2。
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20. Albreem, M.; Juntti, M.; Shahabuddin, S. (2020年1月). 「階段行列を用いた反復線形大規模MIMO検出器の効率的な初期化」. Electronics Letters . 56 (1): 50– 52. Bibcode :2020ElL....56...50A. doi :10.1049/el.2019.2938.

さらに読む

• 「逆行列」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• コーメン, トーマス・H. ;レイサーソン, チャールズ・E. ;リベスト, ロナルド・L. ;スタイン, クリフォード(2001) [1990]. 「28.4: 逆行列」.アルゴリズム入門（第2版）. MIT Press and McGraw-Hill. pp.  755– 760. ISBN 0-262-03293-7。
• バーンスタイン、デニス・S. (2009). 『行列数学：理論、事実、公式』（第2版）. プリンストン大学出版局. ISBN 978-0691140391– Google ブックス経由。
• ピーターセン、カーレ・ブラント。ペダーセン、マイケル・シスカインド（2012年11月15日）。 「マトリックス クックブック」(PDF)。17～ 23ページ 。

外部リンク

• サンダーソン、グラント（2016年8月15日）「逆行列、列空間、零空間」。『線形代数のエッセンス』 。2021年11月3日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube経由。
• ストラング、ギルバート. 「逆行列に関する線形代数講義」. MIT OpenCourseWare .