非一様サンプリング

非一様サンプリングは、ナイキスト・シャノンのサンプリング定理に関連する結果を含むサンプリング理論の一分野です。非一様サンプリングは、ラグランジュ補間と、それ自身と（一様）サンプリング定理との関係に基づいています。非一様サンプリングは、ウィテカー・シャノン・コテルニコフ（WSK）サンプリング定理の一般化です

シャノンの標本化理論は、非均一な標本、つまり時間的に等間隔ではない標本の場合にも一般化できます。非均一な標本化に対するシャノンの標本化理論は、平均標本化レートがナイキスト条件を満たす場合、帯域制限された信号はその標本から完全に再構成できると述べています。^[1]したがって、均一な標本間隔は再構成アルゴリズムを容易にする可能性がありますが、完全な再構成の必要条件ではありません。

非ベースバンドおよび非均一サンプルの一般理論は、1967 年にHenry Landauによって開発されました。^{[2] Landau は、スペクトルのどの部分が占有されているかが}事前にわかっていると 仮定して、平均サンプリング レート（均一または非均一）は信号の占有帯域幅の 2 倍でなければならないことを証明しました。1990 年代後半に、この研究は、占有帯域幅の量はわかっているものの、スペクトルの実際の占有部分が不明な信号をカバーするように部分的に拡張されました。^{[3] 2000 年代には、}圧縮センシングを使用した完全な理論が開発されました（以下の「ナイキストを超えて」の セクションを参照）。特に、信号処理言語を使用したこの 2009 年の論文では、この理論について説明されています。^[4]この論文 では、周波数位置が不明な場合は、ナイキスト基準の少なくとも 2 倍でサンプリングする必要があることが示されています。言い換えると、スペクトルの位置がわからないために、少なくとも 2 倍のコストを支払う必要があるということです。最小サンプリング要件は必ずしも数値安定性を保証するものではないことに注意してください。

ラグランジュ（多項式）補間

与えられた関数に対して、n + 1点でその関数と同じ値を持つn次の多項式を構成することが可能です 。^[5]

n  + 1 個の点を、n  + 1 個の値を とします。 ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots,z_{n}}$ ${\displaystyle w_{0},w_{1},\ldots,w_{n}}$

このように、次のような 唯一の多項式が存在する。${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z_{i})=w_{i},{\text{ただし、i=0,1,\ldots,n}$ ^[6]

さらに、ラグランジュ補間の 補間多項式を用いて表現を簡略化することができます${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle I_{k}(z)={\frac {(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots (z-z_{n})}{(z_{k}-z_{0})(z_{k}-z_{1})\cdots (z_{k}-z_{k-1})(z_{k}-z_{k+1})\cdots (z_{k}-z_{n})}}}$ ^[7]

上記の式から：

${\displaystyle I_{k}(z_{j})=\delta _{k,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}k\neq j\\1,&{\text{if }}k=j\end{cases}}}$

結果として、

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}I_{k}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z_{j})=w_{j},j=0,1,\ldots,n}$

多項式をより使いやすくするために：

${\displaystyle G_{n}(z)=(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})}$

このようにして、ラグランジュ補間式が現れます。

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}{\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}}$ ^[8]

の場合、上記の式は次のようになることに注意してください。 ${\displaystyle f(z_{j})=p_{n}(z_{j}),j=0,1,\ldots,n,}$

${\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^{n}f(z_{k}){\frac{G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}}$

ウィテカー・シャノン・コテルニコフ（WSK）標本化定理

ウィテカーはラグランジュ補間を多項式から整関数に拡張しようと試み、整関数を構築できることを示した^[9]。

${\displaystyle C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}f(a+nW){\frac {\sin[\pi (za-nW)/W]}{[\pi (za-nW)/W]}}}$

点において同じ値を持つ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z_{n}=a+nW}$

さらに、前のセクションの最後の式と同様の形式で書くこともできます。 ${\displaystyle C_{f}(z)}$

${\displaystyle C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(z_{n}){\frac {G(z)}{G'(z_{n})(z-z_{n})}},{\text{ ただし }}G(z)=\sin[\pi (z-z_{n})/W]{\text{ かつ }}z_{n}=a+nW}$

a  = 0、W = 1のとき 、上記の式はWSK定理とほぼ同じになる：^[10]

関数fが次の形式で表現できる場合

${\displaystyle f(t)=\int _{-\sigma }^{\sigma }e^{jxt}g(x)\,dx\qquad (t\in \mathbb {R} ),\qquad \forall g\in L^{2}(-\sigma ,\sigma ),}$

すると、f は次のようにサンプルから再構築できます。

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f\left({\frac {k\pi }{\sigma }}\right){\frac {\sin(\sigma tk\pi )}{\sigma tk\pi }}\qquad (t\in \mathbb {R} )}$

非一様サンプリング

^[11]を満たす数列に対して${\displaystyle \{t_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle D=\sup_{k\in\mathbb{Z}}|t_{k}-k|<{\frac{1}{4}},}$

すると

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t_{k}){\frac {G(t)}{G'(t_{k})(t-t_{k})}},\qquad \forall {}f\in B_{\pi }^{2},\qquad (t\in \mathbb {R} ),}$

ここで

• ${\displaystyle \textstyle G(t)=(t-t_{0})\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {t}{t_{k}}}\right)\left(1-{\frac {t}{t_{-k}}}\right),}$
• ${\displaystyle B_{\sigma}^{2}}$ はバーンスタイン空間であり、
• ${\displaystyle f(t)}$ はコンパクト集合上で一様収束する。^[12]

上記はペイリー・ウィーナー・レビンソン定理と呼ばれ、WSKサンプリング定理を一様サンプルから非一様サンプルへと一般化したものです。どちらも、これらのサンプルから帯域制限された信号を再構成することができます。

参考文献

1. 不均一サンプリングの理論と実践（F. マルヴァスティ編）、クルーワー・アカデミック／プレナム・パブリッシャーズ、ニューヨーク、2000年
2. HJ Landau、「特定の整数関数のサンプリングと補間に必要な密度条件」、Acta Math.、vol. 117、pp. 37–52、1967年2月。
3. 例えば、P. Feng、「Universal minimum-rate sampling and spectrum-blind reconstruction for multiband signal」、イリノイ大学アーバナシャンペーン校博士論文、1997 年を参照。
4. ブラインドマルチバンド信号再構成：アナログ信号の圧縮センシング、Moshe MishaliとYonina C. Eldar、IEEE Trans. Signal Process、 2009年3月、第57巻第3号
5. マルヴァスティ 2001、124ページ。
6. マルヴァスティ 2001、124–125 ページ。
7. マルヴァスティ 2001、126ページ。
8. マルヴァスティ 2001、127ページ。
9. マルヴァスティ 2001、132ページ。
10. マルヴァスティ 2001、134ページ。
11. マルヴァスティ 2001、137ページ。
12. マルヴァスティ 2001、138ページ。

• F. マルヴァスティ著『非均一サンプリング：理論と実践』Plenum Publishers Co., 2001年、123-140頁。