原子核演算子
Linear operator related to topological vector spaces

数学において、原子核演算子はアレクサンダー・グロタンディークが博士論文で導入した重要な線型演算子のクラスです。原子核演算子は、2つの位相ベクトル空間（TVS）の射影テンソル積と密接に結びついています。

準備と表記

全体を通して、X、Y、Zを位相ベクトル空間（TVS）、L  : X → Yを線型演算子とします（特に断りのない限り、連続性の仮定は行いません）。

  • 2つの局所凸TVS XとYの射影テンソル積はで表され、この空間の完備化はで表されます X ⊗ π Y {\displaystyle X\otimes _{\pi }Y} X ⊗ ^ π Y {\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}
  • L  : X → Yは、線型かつ連続で、開写像であるとき、位相準同型写像または準同型写像 である。ここで、 Lの像 は、 Yによって誘導される部分空間位相を持つ。 L : X → Im ⁡ L {\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L} Im ⁡ L {\displaystyle \operatorname {Im} L}
    • S がXの部分空間である場合、商写像X → X / Sと標準射影S → Xはどちらも準同型である。
  • 連続線型写像X → Z（または連続双線型写像）の集合は、L( X , Z ) （または B( X , Y ; Z )）で表される。ここで、 Zが基礎スカラー体である場合は、代わりに L( X ) （または B( X , Y )）と書くことができる。 X × Y → Z {\displaystyle X\times Y\to Z}
  • 任意の線型写像は、次のように標準分解できる。ここで、はLに関連付けられた標準単射と呼ばれる全単射を定義する。 L : X → Y {\displaystyle L:X\to Y} X → X / ker ⁡ L → L 0 Im ⁡ L → Y {\displaystyle X\to X/\ker L\;\xrightarrow {L_{0}} \;\operatorname {Im} L\to Y} L 0 ( x + ker ⁡ L ) := L ( x ) {\displaystyle L_{0}\left(x+\ker L\right):=L(x)}
  • X * またはは、X の連続双対空間を表す X ′ {\displaystyle X'}
    • 説明の明確さを高めるために、記号の後にプライムを付けて の元を書くという一般的な慣例を使用します（例：は の元を表し、導関数などではなく、変数xと は何らかの関連がある必要はありません）。 X ′ {\displaystyle X'} x ′ {\displaystyle x'} X ′ {\displaystyle X'} x ′ {\displaystyle x'}
  • X # {\displaystyle X^{\#}} はXの代数的双対空間を表します（これは、連続かどうかにかかわらず、X上のすべての線型関数のベクトル空間です）。
  • ヒルベルト空間からそれ自身への線型写像L  : H → Hは、任意のに対してとなるとき、正と呼ばれます。この場合、Lの平方根と呼ばれる唯一の正写像r  : H → Hが存在し、となる。[1] ⟨ L ( x ) , x ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle L(x),x\rangle \geq 0} x ∈ H {\displaystyle x\in H} L = r ∘ r {\displaystyle L=r\circ r}
    • がヒルベルト空間間の任意の連続線型写像であるとき、は常に正である。ここで、R  : H → H をその正の平方根、つまりLの絶対値を表すものとする。まず、 を に設定し、連続的に まで拡張することによってを定義し、次に を に設定して を に設定し、この写像を のすべてまで線型的に拡張することによって U を定義し、この写像は射影等長写像であり、 である。 L : H 1 → H 2 {\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}} L ∗ ∘ L {\displaystyle L^{*}\circ L} U : H 1 → H 2 {\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}} Im ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Im} R} U ( x ) = L ( x ) {\displaystyle U(x)=L(x)} x = R ( x 1 ) ∈ Im ⁡ R {\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R} U {\displaystyle U} Im ⁡ R ¯ {\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}}} ker ⁡ R {\displaystyle \ker R} U ( x ) = 0 {\displaystyle U(x)=0} x ∈ ker ⁡ R {\displaystyle x\in \ker R} H 1 {\displaystyle H_{1}} U | Im ⁡ R : Im ⁡ R → Im ⁡ L {\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L} L = U ∘ R {\displaystyle L=U\circ R}
  • 線型写像は、 Xにおける原点の近傍Uが存在し、 Yにおいてプレコンパクトであるとき、コンパクトまたは完全連続と呼ばれます。[2] Λ : X → Y {\displaystyle \Lambda :X\to Y} Λ ( U ) {\displaystyle \Lambda (U)}

ヒルベルト空間において、正のコンパクト線型作用素、例えばL  : H → Hは、20世紀初頭にフレドホルムと F. リースによって発見された単純なスペクトル分解を持ちます。[3]

正の数の減少する列があり、有限であるか0に収束するかのいずれかであり、H (i = 1, 2, )の非ゼロの有限次元部分空間の列があり、次の性質を持ちます。(1) 部分空間は互いに直交する。(2) すべてのiとすべての に対して、である。(3) によって張られる部分空間の直交はLの核に等しい。[3] r 1 > r 2 > ⋯ > r k > ⋯ {\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots } V i {\displaystyle V_{i}} … {\displaystyle \ldots } V i {\displaystyle V_{i}} x ∈ V i {\displaystyle x\in V_{i}} L ( x ) = r i x {\displaystyle L(x)=r_{i}x} ⋃ i V i {\textstyle \bigcup _{i}V_{i}}

位相の表記法

  • σ ( X , X ′ )は、 X ′ のすべての写像を連続にするX上の最も粗い位相を表しまたはは この位相を持つXを表す。 X σ ( X , X ′ ) {\displaystyle X_{\sigma \left(X,X'\right)}} X σ {\displaystyle X_{\sigma }}
  • σ ( X ′, X )は、X* 上の弱*位相を表しまたはは この位相を持つX ′を 表す X σ ( X ′ , X ) {\displaystyle X_{\sigma \left(X',X\right)}} X σ ′ {\displaystyle X'_{\sigma }}
    • 任意の写像はによって定義される写像を誘導することに注意してください。σ (X′, X)はX′ 上の最も粗い位相であり、そのような写像はすべて連続になります x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} X ′ → R {\displaystyle X'\to \mathbb {R} } λ ↦ λ ( x 0 ) {\displaystyle \lambda \mapsto \lambda (x_{0})}
  • b(X, X′)はX上の有界収束の位相を表し、またはこの位相を与えられたXを表します。 X b ( X , X ′ ) {\displaystyle X_{b\left(X,X'\right)}} X b {\displaystyle X_{b}}
  • b(X′, X)はX′ 上の有界収束の位相、またはX′ 上の強双対位相を表し、またはこの位相を与えられたX ′ を表します。 X b ( X ′ , X ) {\displaystyle X_{b\left(X',X\right)}} X b ′ {\displaystyle X'_{b}}
    • 通常どおり、X * が位相ベクトル空間とみなされるが、それがどのような位相を与えられたかが明らかにされていない場合、その位相は b( X ′, X ) と仮定されます。

Bi(X,Y)の双対部分空間としての標準テンソル積

XとYをベクトル空間とし（位相はまだ必要ない）、Bi( X , Y ) を基礎となるスカラー体上で定義され、そのスカラー体に入る すべての双線型写像の空間とします X × Y {\displaystyle X\times Y}

任意の に対して、任意のu ∈ Bi( X , Y )に対して で定義されるBi( X , Y )上の標準線型形式とします。これはで定義される標準写像を誘導します。ここで はBi( X , Y )の代数的双対を表します。𝜒の値域のスパンをX ⊗ Yで表すと、 X ⊗ Yは𝜒と共にXとYのテンソル積を形成することが示されます（ただしx ⊗ y  := 𝜒 ( x , y )）。これにより、 XとYの標準テンソル積が得られます ( x , y ) ∈ X × Y {\displaystyle (x,y)\in X\times Y} χ ( x , y ) {\displaystyle \chi _{(x,y)}} χ ( x , y ) ( u ) := u ( x , y ) {\displaystyle \chi _{(x,y)}(u):=u(x,y)} χ : X × Y → B i ( X , Y ) # {\displaystyle \chi :X\times Y\to \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}} χ ( x , y ) := χ ( x , y ) {\displaystyle \chi (x,y):=\chi _{(x,y)}} B i ( X , Y ) # {\displaystyle \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}

Zが他の任意のベクトル空間である場合、 u ↦ u ∘ 𝜒によって与えられる写像 Li( X ⊗ Y ; Z ) → Bi( X , Y ; Z )はベクトル空間の同型です特に、これにより、X ⊗ Yの代数的双対をX × Y上の双線型形式の空間と同一視することができる。[4] さらに、XとYが局所凸位相ベクトル空間（TVS）であり、X ⊗ Yにπ位相が与えられている場合、すべての局所凸TVS Zに対して、この写像は連続線型写像の空間から連続双線型写像の空間へのベクトル空間同型に制限される。[5] 特に、X ⊗ Yの連続双対は、 X × Y上の連続双線型形式の空間 B( X , Y ) と標準的に同一視することができる。さらに、この同一視の下では、 B( X , Y )の同連続部分集合はの同連続部分集合と同じである。[5] L ( X ⊗ π Y ; Z ) → B ( X , Y ; Z ) {\displaystyle L(X\otimes _{\pi }Y;Z)\to B(X,Y;Z)} ( X ⊗ π Y ) ′ {\displaystyle (X\otimes _{\pi }Y)'}

バナッハ空間間の核作用素

写像に 送ることで定義される標準的なベクトル空間埋め込みが存在する I : X ′ ⊗ Y → L ( X ; Y ) {\displaystyle I:X'\otimes Y\to L(X;Y)} z := ∑ i n x i ′ ⊗ y i {\textstyle z:=\sum _{i}^{n}x_{i}'\otimes y_{i}}

x ↦ ∑ i n x i ′ ( x ) y i . {\displaystyle x\mapsto \sum _{i}^{n}x_{i}'(x)y_{i}.}

XとYがバナッハ空間であると仮定すると、写像 はノルムを持ちます（ノルムが であることを確認するには、となることに注意してください）。したがって、写像 への連続拡張を持ちますが、この写像は必ずしも単射ではないことが知られています。[6]この写像の値域は で表され、その元は核作用素と呼ばれます。[7]は とTVS同型であり、この商空間上のノルムは、誘導写像 を介しての元に転写されると、トレースノルムと呼ばれ、 で表されます。明示的に、[明示的に、または特に説明が必要？ ]が核作用素である場合、 となります。 I : X b ′ ⊗ π Y → L b ( X ; Y ) {\displaystyle I:X'_{b}\otimes _{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)} 1 {\displaystyle 1} ≤ 1 {\displaystyle \leq 1} ‖ I ( z ) ‖ = sup ‖ x ‖ ≤ 1 ‖ I ( z ) ( x ) ‖ = sup ‖ x ‖ ≤ 1 ‖ ∑ i = 1 n x i ′ ( x ) y i ‖ ≤ sup ‖ x ‖ ≤ 1 ∑ i = 1 n ‖ x i ′ ‖ ‖ x ‖ ‖ y i ‖ ≤ ∑ i = 1 n ‖ x i ′ ‖ ‖ y i ‖ {\textstyle \|I(z)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|I(z)(x)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}'(x)y_{i}\right\|\leq \sup _{\|x\|\leq 1}\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\|x\|\left\|y_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\left\|y_{i}\right\|} ‖ I ( z ) ‖ ≤ ‖ z ‖ π {\displaystyle \left\|I(z)\right\|\leq \left\|z\right\|_{\pi }} I ^ : X b ′ ⊗ ^ π Y → L b ( X ; Y ) {\displaystyle {\hat {I}}:X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)} L 1 ( X ; Y ) {\displaystyle L^{1}(X;Y)} L 1 ( X ; Y ) {\displaystyle L^{1}(X;Y)} ( X b ′ ⊗ ^ π Y ) / ker ⁡ I ^ {\displaystyle \left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}} L 1 ( X ; Y ) {\displaystyle L^{1}(X;Y)} I ^ : ( X b ′ ⊗ ^ π Y ) / ker ⁡ I ^ → L 1 ( X ; Y ) {\displaystyle {\hat {I}}:\left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}\to L^{1}(X;Y)} ‖ ⋅ ‖ Tr {\displaystyle \|\cdot \|_{\operatorname {Tr} }} T : X → Y {\displaystyle T:X\to Y} ‖ T ‖ Tr := inf z ∈ I ^ − 1 ( T ) ‖ z ‖ π {\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {Tr} }:=\inf _{z\in {\hat {I}}^{-1}\left(T\right)}\left\|z\right\|_{\pi }}

特徴付け

XとY がバナッハ空間であり、 が連続線型作用素であると 仮定します。 N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y}

  • 以下は同値です。
    1. N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y} は核作用素です
    2. の閉単位球内の数列、の閉単位球内の数列、および複素数列が存在し、すべてのに対して、およびが写像[8]に等しい。さらに、トレースノルムは、そのような級数としてのすべての表現の集合上の数の最小値に等しい。[8] ( x i ′ ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }} X ′ {\displaystyle X'} ( y i ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} Y {\displaystyle Y} ( c i ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} ∑ i = 1 ∞ | c i | < ∞ {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty } N {\displaystyle N} N ( x ) = ∑ i = 1 ∞ c i x i ′ ( x ) y i {\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}} x ∈ X {\displaystyle x\in X} ‖ N ‖ Tr {\displaystyle \|N\|_{\operatorname {Tr} }} ∑ i = 1 ∞ | c i | {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|} N {\displaystyle N}
  • Yが反射的である場合、が核写像となるのは、が核写像となる場合のみであり、その場合、である。[ 9] N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y} t N : Y b ′ → X b ′ {\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}} ‖ t N ‖ Tr = ‖ N ‖ Tr {\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }=\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}

性質

XとYをバナッハ空間とし、を連続線型作用素とする。 N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y}

  • が核写像である場合、その転置は連続核写像であり（双対空間が強双対位相を持つ場合）、である。[10] N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y} t N : Y b ′ → X b ′ {\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}} ‖ t N ‖ Tr ≤ ‖ N ‖ Tr {\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}

ヒルベルト空間間の核作用素

ヒルベルト空間の核自己同型はトレースクラス作用素 と​​呼ばれる

XとYをヒルベルト空間とし、N :  X → Yを連続線型写像とする。R  : X → Xがの平方根であり、U :  X → Yがが射影等長写像となるような写像であるとする。すると、 N が核写像となるのは、 R が核写像となるときのみである。したがって、ヒルベルト空間間の核写像を調べるには、正の自己随伴作用素Rに注目するだけで十分である。[11] N = U R {\displaystyle N=UR} N ∗ N {\displaystyle N^{*}N} U | Im ⁡ R : Im ⁡ R → Im ⁡ N {\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} N}

特徴付け

XとYをヒルベルト空間とし、N :  X → Yを絶対値がR  : X → Xとなる連続線型写像とする。以下は同値である。

  1. N  : X → Yは核写像である。
  2. R  : X → Xは核写像である。[12]
  3. R  : X → Xはコンパクトかつ有限であり、その場合。[12] Tr ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Tr} R} Tr ⁡ R = ‖ N ‖ Tr {\displaystyle \operatorname {Tr} R=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}
    • ここで、はRのトレースであり、次のように定義されます。Rは連続コンパクト正作用素であるため、対応する非自明な有限次元かつ相互に直交するベクトル空間を持つ（おそらく有限の）正数列が存在し、 Hにおけるの直交は（したがって）に等しく、すべてのkに対して、すべてのkに対してとなります。トレースはと定義されます。 Tr ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Tr} R} λ 1 > λ 2 > ⋯ {\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\cdots } V 1 , V 2 , … {\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots } span ⁡ ( V 1 ∪ V 2 ∪ ⋯ ) {\displaystyle \operatorname {span} \left(V_{1}\cup V_{2}\cup \cdots \right)} ker ⁡ R {\displaystyle \ker R} ker ⁡ N {\displaystyle \ker N} R ( x ) = λ k x {\displaystyle R(x)=\lambda _{k}x} x ∈ V k {\displaystyle x\in V_{k}} Tr ⁡ R := ∑ k λ k dim ⁡ V k {\textstyle \operatorname {Tr} R:=\sum _{k}\lambda _{k}\dim V_{k}}
  4. t N : Y b ′ → X b ′ {\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}} は核であり、その場合、となります。[9] ‖ t N ‖ Tr = ‖ N ‖ Tr {\displaystyle \|{}^{t}N\|_{\operatorname {Tr} }=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}
  5. XとYには2つの直交列があり、すべてのkに対して、となる列があります。[ 12 ] ( x i ) i = 1 ∞ {\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{\infty }} ( y i ) i = 1 ∞ {\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{\infty }} ( λ i ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }} ℓ 1 {\displaystyle \ell ^{1}} x ∈ X {\displaystyle x\in X} N ( x ) = ∑ i λ i ⟨ x , x i ⟩ y i {\textstyle N(x)=\sum _{i}\lambda _{i}\langle x,x_{i}\rangle y_{i}}
  6. N : X → Y is an integral map.[13]

Nuclear operators between locally convex spaces

U がXにおける原点の凸均衡閉近傍であり、BがYにおける凸均衡有界バナッハ円板で、 XとY が両方とも局所凸空間であるとする。 を正準射影とする。像 が に稠密である正準写像と、でノルムされ、（連続）正準射影となる補助空間を持つ補助バナッハ空間を定義できる。任意の連続線型写像が与えられた場合、合成によって連続線型写像 が得られる。したがって、射影が得られ、今後はこの写像を用いての部分空間 と同一視する。[7] p U ( x ) = inf r > 0 , x ∈ r U r {\textstyle p_{U}(x)=\inf _{r>0,x\in rU}r} π : X → X / p U − 1 ( 0 ) {\displaystyle \pi :X\to X/p_{U}^{-1}(0)} X ^ U {\displaystyle {\hat {X}}_{U}} π ^ U : X → X ^ U {\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}:X\to {\hat {X}}_{U}} X / p U − 1 ( 0 ) {\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)} X ^ U {\displaystyle {\hat {X}}_{U}} F B = span ⁡ B {\displaystyle F_{B}=\operatorname {span} B} p B ( y ) = inf r > 0 , y ∈ r B r {\textstyle p_{B}(y)=\inf _{r>0,y\in rB}r} ι : F B → F {\displaystyle \iota :F_{B}\to F} T : X ^ U → Y B {\displaystyle T:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}} π ^ U ∘ T ∘ ι : X → Y {\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}\circ T\circ \iota :X\to Y} L ( X ^ U ; Y B ) → L ( X ; Y ) {\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)\to L(X;Y)} L ( X ^ U ; Y B ) {\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)} L ( X ; Y ) {\displaystyle L(X;Y)}

定義：XとYをハウスドルフ局所凸空間とする。Uが Xにおける原点のすべての閉凸均衡近傍に広がり、BがYのすべての有界バナッハ円板に広がるとき、すべての和集合はで表され、その元はXからYへの核写像と呼ばれる。[7] L 1 ( X ^ U ; Y B ) {\textstyle L^{1}\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)} L 1 ( X ; Y ) {\displaystyle L^{1}(X;Y)}

XとYがバナッハ空間である場合、この核写像の新しい定義は、 XとYがバナッハ空間 である特別な場合に対して与えられた元の定義と整合します。

核写像の十分条件

  • W、X、Y、Zをハウスドルフ局所凸空間、核写像とし、を連続線型写像とします。すると、、、は核写像となり、さらにW、X、Y、Zがすべてバナッハ空間である場合、となります。[14] [15] N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y} M : W → X {\displaystyle M:W\to X} P : Y → Z {\displaystyle P:Y\to Z} N ∘ M : W → Y {\displaystyle N\circ M:W\to Y} P ∘ N : X → Z {\displaystyle P\circ N:X\to Z} P ∘ N ∘ M : W → Z {\displaystyle P\circ N\circ M:W\to Z} ‖ P ∘ N ∘ M ‖ Tr ≤ ‖ P ‖ ‖ N ‖ Tr ‖ ‖ M ‖ {\textstyle \left\|P\circ N\circ M\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|P\right\|\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }\|\left\|M\right\|}
  • が2つのハウスドルフ局所凸空間間の核写像である場合、その転置は連続核写像となります（双対空間がそれらの強双対位相を持つ場合）。[2] N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y} t N : Y b ′ → X b ′ {\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}
    • さらにXとYがバナッハ空間である場合、となります。[9] ‖ t N ‖ Tr ≤ ‖ N ‖ Tr {\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}
  • が2つのハウスドルフ局所凸空間間の核写像であり、がXの完備化であるならば、 Nの唯一の連続拡大は核写像である。[15] N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y} X ^ {\displaystyle {\hat {X}}} N ^ : X ^ → Y {\displaystyle {\hat {N}}:{\hat {X}}\to Y}

特徴付け

XとYをハウスドルフ局所凸空間とし、が連続線型作用素とする。 N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y}

  • 以下は同値です。
    1. N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y} は核作用素です
    2. （定義） Xに原点の凸均衡近傍UとYに有界バナッハ円板Bが存在し、誘導写像は核である。ここで はの唯一の連続拡大であり、これは を満たす唯一の写像である。ここで は自然包含であり、は標準射影である。[6] N ( U ) ⊆ B {\displaystyle N(U)\subseteq B} N ¯ 0 : X ^ U → Y B {\displaystyle {\overline {N}}_{0}:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}} N ¯ 0 {\displaystyle {\overline {N}}_{0}} N 0 : X U → Y B {\displaystyle N_{0}:X_{U}\to Y_{B}} N = In B ∘ N 0 ∘ π U {\displaystyle N=\operatorname {In} _{B}\circ N_{0}\circ \pi _{U}} In B : Y B → Y {\displaystyle \operatorname {In} _{B}:Y_{B}\to Y} π U : X → X / p U − 1 ( 0 ) {\displaystyle \pi _{U}:X\to X/p_{U}^{-1}(0)}
    3. バナッハ空間と、連続線型写像、、が存在し、は核であり である。[8] B 1 {\displaystyle B_{1}} B 2 {\displaystyle B_{2}} f : X → B 1 {\displaystyle f:X\to B_{1}} n : B 1 → B 2 {\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}} g : B 2 → Y {\displaystyle g:B_{2}\to Y} n : B 1 → B 2 {\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}} N = g ∘ n ∘ f {\displaystyle N=g\circ n\circ f}
    4. には等連続列、有界バナッハ円板、 Bの列、および複素列が存在し、すべての に対しておよびは写像：[8]に等しい。 ( x i ′ ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }} X ′ {\displaystyle X'} B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} ( y i ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} ( c i ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} ∑ i = 1 ∞ | c i | < ∞ {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty } N {\displaystyle N} N ( x ) = ∑ i = 1 ∞ c i x i ′ ( x ) y i {\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}} x ∈ X {\displaystyle x\in X}
  • Xがバレル型で、Y が準完全である場合、Nが核となるのは、 N がで有界、Yで有界、 となる形式の表現を持つ場合と同値である。[8] N ( x ) = ∑ i = 1 ∞ c i x i ′ ( x ) y i {\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}} ( x i ′ ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }} X ′ {\displaystyle X'} ( y i ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} ∑ i = 1 ∞ | c i | < ∞ {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }

性質

以下は、核写像を拡張するためのハーン・バナッハの定理の一種である。

  • がTVS埋め込みで、が核写像であるとき、となる核写像が存在する。さらに、XとYがバナッハ空間で、Eが等長写像であるとき、任意のに対して、となるように選ぶことができる。[16] E : X → Z {\displaystyle E:X\to Z} N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y} N ~ : Z → Y {\displaystyle {\tilde {N}}:Z\to Y} N ~ ∘ E = N {\displaystyle {\tilde {N}}\circ E=N} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} N ~ {\displaystyle {\tilde {N}}} ‖ N ~ ‖ Tr ≤ ‖ N ‖ Tr + ϵ {\displaystyle \|{\tilde {N}}\|_{\operatorname {Tr} }\leq \|N\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }
  • がZで閉じたTVS埋め込みであり、が正準射影であるとする。 のすべてのコンパクト円板がZの有界バナッハ円板の像であるとする（例えば、XとZが両方ともフレシェ空間である場合、またはZがフレシェ空間の強双対であり、Zで弱閉じている場合）。すると、すべての核写像に対して、となる核写像が存在する。 E : X → Z {\displaystyle E:X\to Z} π : Z → Z / Im ⁡ E {\displaystyle \pi :Z\to Z/\operatorname {Im} E} Z / Im ⁡ E {\displaystyle Z/\operatorname {Im} E} π {\displaystyle \pi } Im ⁡ E {\displaystyle \operatorname {Im} E} N : Y → Z / Im ⁡ E {\displaystyle N:Y\to Z/\operatorname {Im} E} N ~ : Y → Z {\displaystyle {\tilde {N}}:Y\to Z} π ∘ N ~ = N {\displaystyle \pi \circ {\tilde {N}}=N}
    • さらに、XとZがバナッハ空間でEが等長写像であるとき、任意のに対して、となるように選ぶことができる。[16] ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} N ~ {\displaystyle {\tilde {N}}} ‖ N ~ ‖ Tr ≤ ‖ N ‖ Tr + ϵ {\textstyle \left\|{\tilde {N}}\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }

XとYをハウスドルフ局所凸空間とし、が連続線型作用素とする。 N : X → Y {\displaystyle N:X\to Y}

  • 任意の核写像はコンパクトである。[2]
  • 上の一様収束する任意の位相に対して、核写像は の閉包に含まれる（を の部分空間と見なした場合）。[6] L ( X ; Y ) {\displaystyle L(X;Y)} X ′ ⊗ Y {\displaystyle X'\otimes Y} X ′ ⊗ Y {\displaystyle X'\otimes Y} L ( X ; Y ) {\displaystyle L(X;Y)}

も参照

参考文献

  1. ^ Trèves 2006、488ページ
  2. ^ abc Trèves 2006、483ページ
  3. ^ ab Trèves 2006、490ページ
  4. ^ Schaefer & Wolff 1999、92ページ
  5. ^ ab Schaefer & Wolff 1999、93ページ
  6. ^ abc Schaefer & Wolff 1999、98ページ
  7. ^ abc Trèves 2006、478～479ページ
  8. ^ abcde Trèves 2006、481～483ページ
  9. ^ abc Trèves 2006、484ページ
  10. ^ Trèves 2006、483～484ページ
  11. ^ Trèves 2006, pp. 488–492.
  12. ^ abc Trèves 2006, pp. 492–494.
  13. ^ Trèves 2006, pp. 502–508.
  14. ^ Trèves 2006, pp. 479–481.
  15. ^ ab Schaefer & Wolff 1999, p. 100.
  16. ^ ab Trèves 2006, p. 485.

参考文献

  • ディーステル、ジョー (2008). 『テンソル積の計量理論：グロタンディークの履歴再考』. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4440-3 OCLC  185095773
  • エド、ドゥビンスキー (1979). 『核フレシェ空間の構造』 . ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社. ISBN 3-540-09504-7 OCLC  5126156
  • グロタンディーク、アレクサンダー (1966). 『テンソル積の計量理論：グロタンディークの履歴再考』（フランス語）. プロビデンス：アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1216-5 OCLC  1315788
  • Husain, Taqdir (1978).位相ベクトル空間と順序ベクトル空間におけるバレル性．ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7OCLC  4493665
  • Khaleelulla, SM (1982).位相ベクトル空間における反例．Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 OCLC  8588370
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).位相ベクトル空間．純粋数学と応用数学（第2版）．フロリダ州ボカラトン：CRC Press. ISBN   978-1584888666 OCLC  144216834
  • Nlend, H (1977). 『ボルノロジーと関数解析：双対性位相幾何学-ボルノロジー理論と関数解析におけるその利用に関する入門コース』アムステルダム、ニューヨーク：North-Holland Pub. Co. 米国およびカナダにおける総販売元：Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5 OCLC  2798822
  • Nlend, H (1981).核空間と共核空間：双対性の観点から見た核空間と共核空間の入門コース. アムステルダム・ニューヨーク：North-Holland Pub. Co.。米国およびカナダにおける総代理店、Elsevier North-Holland。ISBN   0-444-86207-2 OCLC  7553061
  • Pietsch, Albrecht (1972).核局所凸空間. ベルリン・ニューヨーク：Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
  • Robertson, AP (1973).位相ベクトル空間. ケンブリッジ・イングランド：University Press. ISBN   0-521-29882-2. OCLC  589250.
  • ライアン、レイモンド (2002).バナッハ空間のテンソル積入門. ロンドン・ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 1-85233-437-1 . OCLC  48092184
  • ヘルムート・H.シェーファー、マンフレッド・P.ウォルフ (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第8巻（第2版）. ニューヨーク、ニューヨーク: シュプリンガー・ニューヨーク・インプリント. ISBN 978-1-4612-7155-0 OCLC  840278135
  • フランソワ・トレヴ(2006) [1967].位相ベクトル空間、超関数、核. ミネオラ、ニューヨーク: ドーバー・パブリケーションズ. ISBN 978-0-486-45352-1 OCLC  853623322
  • Wong (1979).シュワルツ空間、核空間、テンソル積. ベルリン・ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6 OCLC  5126158
  • ncatlab の核空間
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Nuclear_operator&oldid=1296928184"