3分の1仮説

3分の1仮説（OTH）は、ある集団が全人口の3分の1に近づくにつれてその重要性が増し、それを超えると重要性が低下すると主張する社会力動理論です。この仮説は、社会学者ヒューゴ・O・エンゲルマンが1967年に 『アメリカン・ソシオロジスト』誌に寄せた手紙の中で初めて提唱されました。

「…どの集団においても最も持続的なサブグループは、全体の3分の1、あるいは同様の理屈で言えば3分の1の倍数（つまり3分の1のべき乗）を占めるグループであると考えられます。これらのグループは最も持続的であるため、進行中の社会文化的変革において最も重要な役割を果たすグループであると考えられます。これは、これらのグループが支配的である必要があるという意味ではありませんが、重要な役割を果たしていることを意味します。」^[1]

OTHには2つの数学的な曲線が含まれます。1つは特定のサイズのサブグループが出現する確率を表します。もう1つは、そのサブグループが存続する確率を表します。これら2つの曲線の積は、3分の1仮説の予測と一致します。

統計的形式化

統計的に言えば、人口の3分の1の集団が最も存続する可能性が高く、3分の2の集団は、3分の1の集団の凝集性に反応するかのように、分裂して分裂する可能性が最も高い。

二項係数によれば、大きさrの集団は大きさnの集団中に何通りも出現する。大きさrの各集団は2 ^r個のサブグループに分解できるため、大きさrのすべての集団が出現および分解する方法の総数は3 ⁿとなり、これは以下の式に一致する。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}}$   

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{r=0}^{\infty}{n \choose r}x^{r}.\qquad }$

言い換えれば、人口の3分の2近くを占める大規模集団は、他のどの集団よりも分裂して分裂する可能性が高くなる。この考察から導かれる帰結として、より小規模な集団こそが出現し、存続する可能性が最も高いと言える。

rの大きさのグループが確率で発生し、確率でサブグループに分解されるとすると、式は次のように簡約され、pとqがそれぞれ1/2に等しいとすると、エンゲルマンの3分の1仮説は容易に導かれる。これは次の形をとる。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}p^{r}q^{nr}\!}$ ${\displaystyle q^{r}\!}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}p^{r}q^{n}\!}$

${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}/2^{n+r}\!}$ 、

ここで、n は人数、r はグループのサイズであり、大きな数値の場合はスターリングの近似式を使用して検証できます。

初期の研究と最近の予測

OTHの完璧な例は、ウェイン・ヤングクイストが1968年に発表した「Wooden Shoes and the One-Thorth Hypothesis（木靴と3分の1仮説）」である。この本は、 1世紀余り前のミルウォーキーにおけるドイツ人人口を記録している。ドイツ人人口が都市人口の3分の1に近づくにつれて、彼らの存在感はますます高まった。そして、その水準を超えると、彼らの重要性は低下し始めた。^[2]

エンゲルマンのOTH理論の最初の実証的検証は、1967年のデトロイト暴動という形で行われた。この暴動は暴動の原因を説明するものではなく、その発生時期を説明することを目的としていた。^[1]

サム・バトラーは2011年にロンドン暴動とその原因を分析した際に、エンゲルマンと3分の1仮説を明確に引用した。^[3]

この考えはマルコム・グラッドウェルの『ティッピング・ポイントの復讐』で議論されている。

批判

OTHには常に批判がつきまとった。KS・スリカンタンは初期に、pとqがそれぞれ1/2に等しいという仮定に正しく疑問を呈した。^[4]しかし、たとえそうでなくても、p + q = 1である限り、rの最大値はpn/(1+p)で発生する。最も出現し存続する可能性が高い集団は、常に人口の半分よりも小さい。

社会動学において、OTHは臨界質量と呼ばれることがあります。この用語は適切ではあるものの、「臨界質量」という言葉がOTHを全く示唆しない様々な意味で用いられるため、曖昧になっています。同様に、OTHは3分の2理論と呼ばれることもあります。

参照

• 交流頻度
• 都市暴動

参考文献

1. Hugo O. Engelmann. (1967). 「編集者への連絡」American Sociologist 11月号、p. 21.
2. ウェイン・A・ヤングクイスト (1968). 「木製の靴と3分の1の仮説」ウィスコンシン社会学者誌第6巻、春夏号第1号と第2号
3. バトラー、サム (2011). 「ロンドン暴動、残酷だがそれほど珍しいことではない」 http://www.huffingtonpost.co.uk/sam-butler/just-a-little-bit-of-hist_b_922751.html
4. Srikantan, KS (1968). 「奇妙な数学的特性」American Sociologist 5月号、pp 154-155.