数学において、オープンブック分解（または単にオープンブック）とは、有向閉3次元多様体Mを、面の和（境界は必ず含む）と立体トーラスに分解することである。オープンブックは接触幾何学と関連があり、エマニュエル・ジルーの有名な定理（下記参照）は、接触幾何学が完全に位相的な観点から研究できることを示す。
定義と構築
定義3次元多様体Mの オープンブック分解は、( B ,π)の 組であり、
これは、任意のmに対するm次元多様体のオープンブック分解の特別なケースm = 3 です。
一般のmに対する定義も同様であるが、境界(Σ, B)を持つ曲面が 境界( P ,∂P )を持つ( m −1)-多様体に置き換えられる。同様に、オープンブック分解は、 Mの商空間へ の同相写像と考えることができる。 ここで、f : P → Pは境界を保存する自己同相写像である。この商空間は相対写像トーラスと呼ばれる。[1]
![{\displaystyle P\times [0,1]/(x,t)\sim (x,s){\text{ }}x\in \partial P{\text{ および }}(x,0)\sim (f(x),1){\text{ }}x\in P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47af43453064e901ad4d97e0151701782ee47a3)
Σ がn個の境界成分を持つ有向コンパクト面であり、 φ: Σ → Σ が境界付近の恒等写像である同相写像である場合、最初にマッピング トーラスΣ φを形成することによってオープン ブックを構築できます。 φ は ∂Σ 上の恒等写像であるため、 ∂Σ φは円の和集合、つまりトーラスの和集合上の自明な円束です。境界成分ごとに 1 つのトーラスがあります。構築を完了するには、各円S 1 × { p } ⊂ S 1 ×∂ D 2 がページの境界と同一視されるように、境界トーラスを埋めるために立体トーラスを接着します。この場合、バインディングは、任意に選ばれた q ∈ D 2に対して、マッピング トーラスに接着された n 個の立体トーラスの n 個のコア S 1 ×{q} のコレクションです。 任意 のオープンブックをこの方法で構築できることが知られています。構成に用いられる情報は曲面と同相写像のみであるため、オープンブックの別の定義は、構成を理解した上での (Σ, φ) のペアのみで表すことができます。つまり、オープンブックとは、各トーラスのコア円がファイバーの境界と平行になるように、立体トーラスが接着された写像トーラスです。
∂Σ φ内の各トーラスは、綴じ目に平行な円によって繊維化されており、各円はページの境界要素である。綴じ目の近傍（つまり、∂Σ φに接着された立体トーラス）には、ローロデックスのような構造が想定される。ローロデックスのページは開いた本のページと接続され、ローロデックスの中心は綴じ目である。そのため、「開いた本」と呼ばれる。
1972年のエルマー・ヴィンケルンケンパーの定理によれば、m > 6 の場合、単連結なm次元多様体は、シグネチャが 0 の場合に限りオープンブック分解を持ちます。1977年、テリー・ローソンは、m > 6 の奇数の場合、すべてのm次元多様体はオープンブック分解を持つことを証明し、この結果は1979 年にフランク・クインによって 5 次元多様体と境界付き多様体に拡張されました。クインはまた、m > 6 の偶数の場合、m次元多様体は、非対称ウィット群の障害が 0の場合に限りオープンブック分解を持つことを示しました。 [1]
ジルー通信
2002 年に、エマニュエル・ジルーは次のような結果を発表しました。
定理。Mを3次元有向コンパクト多様体とする。このとき、M上の有向接触構造の集合（同位体を除く）とMのオープンブック分解の集合（正値安定化を除く）の間には一対一の関係が存在する。
正の安定化は、 2 次元の 1 ハンドルを追加することでページを修正し、そのハンドル上を正確に 1 回通過する曲線に沿って正のDehn ツイストを追加することでモノドロミーを修正することで構成されます。この定理で暗黙的に表されるのは、新しいオープンブックが同じ接触 3 次元多様体を定義するということです。ジルーの結果は、特定のクラスの 3 次元多様体上の接触構造の分類など、接触トポロジーと呼ばれるようになっている分野におけるいくつかのブレークスルーにつながりました。おおまかに言えば、結合から離れて接触分布が共線を通してページの接空間に同位である場合、接触構造はオープンブックに対応します。接触面を滑らかにして（ほぼすべての場所で接触条件を維持しながら）、ページに接するようにすることを想像してください。
参考文献
- エトニール、ジョン・B.オープンブック分解と接触構造に関する講義、ArXiv
- ラニッキ、アンドリュー『 高次元結び目理論』シュプリンガー（1998）
- Ranicki, Andrew, 多様体の自己同型写像トーラス、Springer Online Encyclopedia of Mathematics
