序数

「n番目」の無限ケースへの一般化

{\displaystyle \omega ^{\omega }} — までの順序数の表現。螺旋の1回転は⁠ ⁠への写像に対応します。が最小の不動点であるため、それより大きな順序数はこの図では表せません。 $\omega ^{\omega }$ $f(\alpha )=\omega (1+\alpha )$ $f$ $\omega ^{\omega }$

集合論において、順序数または序数は、無限集合に列挙を拡張することを目的とした、序数（1番目、2番目、 $n$ 番目など）の一般化です。^[1]通常、順序数変数には自然数変数と区別するためにギリシャ文字が使用されます。

有限集合は、各要素に、それまで使われていない最小の自然数を順にラベル付けすることで列挙できます。このプロセスをさまざまな無限集合に拡張するために、順序数は、自然数を含み、順序数の空でないコレクション（集合または適切なクラス）すべてに最小の、つまり「最小の」要素があるという特性を持つ、線形順序付けされた数のクラスとして、より一般的に定義されます（これは、「最も使われていない最も小さい要素」に意味を与えるために必要です）。このより一般的な定義により、順序数（オメガ）を、あらゆる自然数よりも大きい最小の要素として定義できます。また、⁠ ⁠よりもさらに大きい順序数⁠ ⁠、⁠ ⁠なども定義できます。 $\omega$ $\omega +1$ $\omega +2$ $\omega$

ツェルメロ＝フランケル集合論は、任意の順序数の集合に対して、それらすべてよりも大きい別の順序数が存在することを主張する。「もしその集合がすべての順序数の集合だとしたらどうなるか？」という問い（ブラーリ＝フォルティのパラドックス）に対する答えは、すべての順序数の集合は集合ではなく、真類である、ということである。

空でないすべての部分集合が最小元を持つような線型順序は、整列順序と呼ばれます。選択公理は、すべての集合が整列可能であることを意味します。2つの整列集合が与えられたとき、一方は他方の始端部分と同型であり、同型性は一意です。これにより、各整列集合には一意の順序数が関連付けられ、これを順序型と呼びます。

順序数は、集合の大きさを測る基数とは異なります。有限集合では順序数と基数の区別はそれほど明確ではありません（ラベルを数えるだけで一方から他方へ移動できます）。しかし、無限集合の場合は両者は大きく異なり、異なる無限順序数が同じ基数を持つ集合に対応することがあります。他の種類の数と同様に、順序数は加算、乗算、累乗できますが、これらの演算はいずれも可換ではありません。

順序数は1883年にゲオルク・カントールによって導入され^[2]、無限列に対応し導来集合を分類するために用いられた。カントールは1872年に三角級数の一意性を研究する際に序数を導入していた^[3]。

モチベーション

自然数（この文脈では0も含む）は、集合の大きさを表すことと、数列における要素の位置を表すことの2つの目的で使用できます。無限集合に一般化すると、大きさの概念は基数に、位置の概念はここで説明する順序数につながります。

⁠ ⁠ $n$ 要素を持つ有限シーケンスでは、各要素に⁠ ⁠ $n$ 未満の自然数でラベルを付けることができます( 0 から始まるインデックスの方が優れた特性を持つことがわかります)。

⁠ ⁠

a_{0},a_{1},a_{2},\;\ldots ,\;a_{n-1}.

これは、すべての自然数が使用される可算な無限列に簡単に一般化できます。

⁠ ⁠

a_{0},a_{1},a_{2},\;\ldots ,\;a_{i},a_{i+1},\;\ldots

しかし、多くの場合、可算無限元をすべて列挙した後でも、新しい要素を追加することが望ましい場合があります。これは、無限集合を列挙していて、まだ要素が残っている場合（集合が非可算無限であるか、可算であってもそれを尽きないように列挙した場合（ヒルベルトのホテルを参照）、あるいは何らかの操作を反復していて、その操作を無限回（通常は有限反復の極限として）適用することが理にかなっている場合などです。いずれにせよ、すべての自然数よりも大きいラベルが必要であり、これが順序数の概念の根拠となります。^[4]

⁠ ⁠ を $\omega$ 最初の無限順序数として定義するそして、既に無限であるシーケンス⁠ ⁠に新しい要素⁠ ⁠ $a_{\omega}$ を追加できます。さらに要素がある場合は、次の順序数でラベル付けできます。⁠ ⁠シーケンス⁠ ⁠は、真の超限シーケンス（順序数でインデックス付けされたシーケンス）になります。次のようになります。 $(a_{i})$ $\omega +1,\omega +2,\ldots$ $(a_{i})$

⁠ ⁠

a_{0},a_{1},a_{2},\;\ldots ,\;a_{i},\;\ldots ,\;a_{\omega },a_{\omega +1},a_{\omega +2},\;\ldots ,\;a_{\omega +i},\;\ldots

次の要素があれば、次の順序数⁠ ⁠ $\omega +\omega =\omega \cdot 2$ でラベル付けできます（ただし、⁠ ⁠ $2\cdot \omega$ は使用できません。現代数学では、順序数は明確に定義された非可換な乗算演算を持つためです）。その後に、⁠ ⁠ $\omega \cdot 2+i$ という形式の順序数が続きます。この手順をさらに繰り返すと、任意の自然数⁠ ⁠に対して⁠ ⁠ $\omega \cdot j+i$ が得られます。（これには自然数が特別なケースとして含まれることに注意してください。） $j,i$ $j=0$

概念的には、この手順は無限に続けることができ、より豊かな構造を持つ順序数の列を生成することができます。例えば、⁠ ⁠という形式のすべての順序数の後には $\omega \cdot j+i$ ⁠ ⁠ $\omega \cdot \omega =\omega ^{2}$ があり、 ⁠ ⁠ $\omega ^{2}\cdot k+\omega \cdot j+i$ という形式のすべての順序数の後には⁠ ⁠ $\omega^{3}$ があり、⁠ ⁠ $\omega^{4},\omega^{5},\ldots$ も同様に定義できます。さらに大きな順序数の例としては、テトレーション列⁠ ⁠ $\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega }}},\ldots ,\varepsilon _{0}$ （イプシロンゼロ）や、⁠ ⁠または⁠ ⁠と表記される最初の不可算順序数などがあります。^[5] $\omega _{1}$ $\オメガ$

定義

整然とした集合

整列集合においては、空でないすべての部分集合には、それぞれ異なる最小の要素が含まれます。従属選択公理を前提とすると、これは集合が完全に順序付けられており、無限減少列は存在しない（後者の方が視覚化しやすい）と言っているのと同義です。実際には、整列の重要性は超限帰納法を適用できる可能性によって正当化されます。超限帰納法とは、基本的に、ある要素の先行要素からその要素自体に伝わる特性は、（与えられた整列集合の）すべての要素に必ず当てはまるというものです。計算（コンピュータプログラムまたはゲーム）の状態が整列可能であれば、つまり各ステップの後に「より低い」ステップが続くような方法で計算が完了すれば、計算は終了します。

2つの整列集合が「要素のラベル付け」のみにおいて異なる場合、あるいはより正式には、最初の集合の要素を2番目の集合の要素と対にすることができ、最初の集合の一方の要素がもう一方の要素よりも小さい場合、2番目の集合の一方の要素のパートナーは2番目の要素のパートナーよりも小さく、その逆もまた同様である場合、これらの集合を区別することは不適切である。このような1対1の対応は順序同型性と呼ばれ、2つの整列集合は順序同型である、あるいは類似していると言われる（これは同値関係であるという理解のもとで）。

正式には、集合Sに半順序≤ が定義され、集合S'に半順序 ≤' が定義されている場合、半集合( S ,≤) と ( S' ,≤') は、順序を保存する一対一写像fが存在するならば順序同型である。すなわち、a ≤ bのときのみ、f ( a ) ≤' f ( b )となる。2つの順序付き集合間に順序同型が存在するならば、その順序同型は一意である。これにより、2つの集合を本質的に同一とみなし、同型写像の型（クラス）の「標準的な」代表値を求めることは十分に正当化される。これはまさに順序数が提供するものであり、順序付き集合の要素の標準的なラベル付けも提供する。すべての順序付き集合( S ,<) は、その自然順序付けの下で、特定の順序数より小さい順序数の集合と順序同型である。この標準集合は( S ,<) の順序型です。

本質的に、順序数は順序集合の同型類として定義されることを意図しています。つまり、「順序同型である」という同値関係の同値類として定義されるということです。しかしながら、同値類が集合論の通常のツェルメロ・フランケル（ZF）形式化における集合としては大きすぎるという技術的な困難が伴います。しかし、これは深刻な困難ではありません。順序数は、その類に含まれる任意の集合の 順序型であると言えます。

同値類としての順序数の定義

順序数の本来の定義は、例えば『プリンキピア・マテマティカ』に見られるように、整列の順序型を、その整列に類似する（順序同型である）すべての整列の集合として定義しています。言い換えれば、順序数は整列集合の同値類そのものです。この定義は、ZFや関連する公理集合論の体系では放棄されなければなりません。なぜなら、これらの同値類は集合を形成するには大きすぎるからです。しかし、この定義は型理論やクワインの公理集合論『新基礎論』および関連体系では依然として用いられています（そこでは、最大順序数に関するブラーリ＝フォルティのパラドックスに対する、かなり意外な代替解を与えています）。

フォン・ノイマンによる序数の定義

フォン・ノイマン順序数は、すべての先行する順序数の集合として、順序付けられたクラスを表す集合として定義されます。有限順序数は、⁠ ⁠ $0=\emptyset$ 、⁠ ⁠ $1=\{0\}$ 、⁠ ⁠ $2=\{0,1\}$ などと帰納的に定義されます。最初の無限順序数は、 $\omega$ すべての有限順序数の集合、つまりフォン・ノイマン自然数の集合によって表されます。次に⁠ $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ ⁠ 、 $\omega +1=\{0,1,2,\ldots ,\omega \}=\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ などとなります。

フォン・ノイマン順序数は「自己完結的」な構造を持ち、簡潔な文で正式に定義することができます。

集合が順序数である場合、かつその集合が推移的（集合のすべての要素が集合の部分集合である）であり、集合の帰属関係（）によって厳密に順序付けられている場合に限ります^[6]。

S

S

S

S

\in

集合⁠ ⁠ $\omega \equiv \mathbb {N}$ は通常、最小の帰納的集合（⁠ ⁠ を $\emptyset$ 含み、後続要素に関して閉じている集合）として定義されます。「最小」制約は、⁠ ⁠の各要素がゼロであるか、 $\omega$ ⁠ ⁠ $\omega$ の他の要素の後続要素であるかのいずれかであることを保証し、これにより、 ⁠ ⁠ が $\omega$ 上記の順序数の正式な定義を確かに満たしていることを帰納的に証明することができます。

基本的なプロパティ

0 = ∅ は順序数です。

α ∈ β かつ β が順序数であるならば、α は順序数である。推移性は順序数の定義を解くことによって求められる。特に、集合としての α の推移性は、関連するすべての順序数が β の要素であることを見つけ、β 内の ∈ 関係の推移性を用いることによって求められる。^[7]

α ≠ β が両方とも序数であり、α ⊂ β である場合、α ∈ β : γ = min{β − α} とします。 α は推移的であるため、α = { ξ ∈ β | ξ ∈ γ } = γ ∈ β。^[8]注: これは、⊆ が本質的に序数間の ≤ 関係であることを意味します。

α と β が両方とも序数である場合、 α ⊆ β または β ⊆ α : γ = α ∩ β は序数であるため、 γ = α または γ = β、あるいは (iii) γ ∈ γ によって無反射的に矛盾します。^[8]

空でない順序数のクラスは順序付けられたクラスです。それが集合である場合、それは順序付けられた集合です。

Aが空でない順序数の集合である場合、. ^[9] $\min A=\bigcap A$

Aが順序数の集合ならば、は順序数である。^[9] $\sup A=\bigcup A$

任意の序数 α について、succ α = α ∪ {α} は序数であり、succ α = min{β : β > α} です。^[9]

（ブラリ・フォルティのパラドックス）すべての順序数のクラスは集合ではない。そうでなければ、succ sup ONとみなす。^[9] $ON$

注文の種類

すべての順序付き集合は、ちょうど 1 つの順序数と順序同型であり、これは順序型と呼ばれます。順序付き集合はそれ自身の適切な初期セグメントと同型になることはできないため、一意性が保証され、2 つの異なる順序数との同型性は防止されます。この順序数の存在は、初期セグメントの順序型を表す順序数と各をペアにした写像を定義することで証明されます。置換公理スキーマにより、この写像の値域は順序数の集合です。この値域は下向きに閉じている (セグメントのセグメントの順序型がより小さい順序数である) ため、値域自体は順序数です。同型の定義域はのすべてでなければなりません。そうでない場合、定義域外の最小の要素はを意味し、事実上、定義域に矛盾を含めてしまいます。したがって、です。 $S$ $x\in S$ $S_{x}=\{y\in S\mid y<x\}$ $\gamma$ $S$ $z\in S$ $S_{z}\cong \gamma$ $z$ $S\cong \gamma$

後続順序数と極限順序数

すべての序数は、序数ゼロ、後続序数、または極限序数の 3 つのタイプのいずれかになります。

ゼロ: 順序数は最小の順序数です。 $0=\emptyset$
後続順序数：ある順序数に対してが成り立つとき、その順序数は後続順序数と呼ばれます。この場合、はの最大要素です。 $\alpha$ $\alpha =S(\beta )=\beta \cup \{\beta \}$ $\beta$ $\beta$ $\alpha$
極限順序数: 順序数でない場合、極限順序数となります $\lambda$ $\lambda \neq 0$ $\lambda$

極限順序数の定義には、ゼロの包含に関するばらつきがある。ホルツらの『基数算術入門』など、一部の教科書では、極限順序数を、後続順序数ではない非ゼロ順序数と定義している。 ^[10]一方、ジェックの『集合論』やジャストとウィーズによる『現代集合論の発見』など、他の標準的な集合論の教科書では、極限順序数を単に後続順序数ではない任意の順序数と定義しており、これは0が極限順序数であることを示唆している。^[11]^{[12]位相的な定義（}順序位相に基づく）が用いられる場合、0は極限順序数ではない。なぜなら、0はより小さい順序数の集合（空集合）の極限点ではないからである。ローゼンスタインの『線形順序』はこの定義を用いている。^[13] 0が極限として含まれる場合、0より大きく後続順序数ではない順序数は、通常「非ゼロ極限順序数」と呼ばれる。

非ゼロ極限順序数は次のような特性を持ちます。

\lambda

が 0 以外の極限順序数である場合、かつその場合に限り、すべての順序数に対して、後続順序数も未満です。

\lambda \neq 0

\alpha <\lambda

S(\alpha )

\lambda

これは、非ゼロの極限順序数が、それより小さいすべての順序数の最大値に等しいことを意味します。

\lambda

が非ゼロの極限順序数である場合、かつの場合に限ります。

\lambda =\sup\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}=\bigcup \lambda

\lambda \neq 0

例えば、は極限順序数です。なぜなら、任意の自然数は⁠ ⁠より小さく、任意の自然数の次の数も自然数（したがって⁠ ⁠より小さい）だからです。すべての自然数は⁠ ⁠ 0 か次の数のいずれかであるため、は最小の極限順序数です。 $\omega$ $\omega$ $\omega$ $n\in \omega$

超限列

が任意の順序数でが集合である場合、の要素の -添字付きシーケンスはからへの関数です。この概念、すなわち超限シーケンス（が無限の場合）または順序数添字付きシーケンスは、シーケンスの概念を一般化したものです。通常のシーケンスはの場合に対応し、有限シーケンスはタプル（文字列）に対応します。 $\alpha$ $X$ $\alpha$ $X$ $\alpha$ $X$ $\alpha$ $\alpha =\omega$ $\alpha$

特定の順序数でインデックス付けされたシーケンスは集合ですが、すべての順序数のクラスでインデックス付けされたシーケンスは真クラスです。置換公理スキーマは、そのようなクラスシーケンス（関数を特定の順序数に制限すること）の任意の初期セグメントが集合であることを保証します。 $\alpha$ $\delta$

が極限順序数でインデックス付けされた順序数の超限列であり、その列が増加（すなわち）である場合、その極限は集合の最小の上限として定義されます。 $\langle x_{\iota }\mid \iota <\lambda \rangle$ $\lambda$ $\iota <\rho \implies x_{\iota }<x_{\rho }$ $\{x_{\iota }\mid \iota <\lambda \}$

順序数を順序数に写像する超限列は、その定義域内の任意の極限順序数に対して、 $f$ $\lambda$

f (λ)が極限順序数であり、すべてのε<f(λ)に対してδ < λが存在し、すべてのγに対してδ<γ<λならばε< f (γ)≤f ( λ)が成り立ち、
f (λ) が極限順序数でない場合、δ < λ が存在し、すべての γ に対して、δ < γ < λ であれば、f (γ) = f (λ) となります。

数列が正則増加かつ連続である場合、その数列は正規数列と呼ばれます。数列fが（必ずしも正則である必要はないが）増加かつ連続であり、λ が極限順序数である場合、となります。 $f(\lambda )=\bigcup _{\beta <\lambda }f(\beta )$

超限帰納法

超限帰納法は任意の順序付き集合で成立しますが、順序数との関係で非常に重要なので、ここで再度述べる価値があります。

与えられた順序数 α より小さい順序数の集合から α 自体に渡される特性は、すべての順序数に当てはまります。

つまり、すべての β < α に対してP ( β )が真であるとき、 P (α) が真であるならば、すべてのα に対してP (α) が真である。あるいは、より実際的に言えば、すべての順序数 α に対して性質Pを証明するためには、すべてのより小さいβ < αに対してその性質が既に既知であると仮定することができる。

超限再帰

超限帰納法は定理の証明だけでなく、順序数上の関数の定義にも使えます。これは超限再帰として知られています。

$正式には、すべての順序数α$ に対して、値⁠ ⁠ が値の集合を使用して指定される場合、関数 $F$ は順序数上の超限再帰によって定義されます。 $F(\alpha )$ $\{F(\beta )\mid \beta <\alpha \}$

多くの場合、すべての順序数に対して超限再帰によって関数Fを定義する場合、定義は順序数の型に基づいてケースに分割されます。

基本ケース: を定義します。 $F(0)$
後続ステップ: が定義されていると仮定して定義します。 $F(\alpha +1)$ $F(\alpha )$
極限ステップ: 極限順序数の場合、をすべての極限として定義します(順序数の極限の意味で、または共変域で許可される場合は他の極限の概念で)。 $\lambda$ $F(\lambda )$ $F(\beta )$ $\beta <\lambda$

定義における興味深いステップは通常、後続ステップです。極限順序数の関数が、のlimsupとして定義され、順序値を取り、非減少である場合、関数は上記のように連続になります。順序数の加算、乗算、および累乗は、第二引数の関数として連続です。 $F(\alpha )$ $\alpha$ $F(\beta )$ $\beta <\alpha$ $F$ $F$

このような関数の存在と一意性は、それを部分近似の和集合として構成することによって証明される。証明は以下の3つのステップで行われる。

局所的存在:任意の特定の順序数 $δ$ に対して、一意の「再帰セグメント」、つまりすべての⁠ ⁠に対して再帰規則を満たす $δ$ 上で定義された関数の存在が証明されます。 $\beta <\delta$
一意性と互換性：任意の2つの再帰線分は、共通の定義域で一致することが証明されます。⁠ ⁠が $g_{1}$ ⁠ ⁠ $\delta _{1}$ 上の線分であり、⁠ ⁠が $g_{2}$ ⁠ ⁠上の線分で⁠ ⁠ $\delta _{2}$ を満たす場合、⁠ ⁠ を⁠ ⁠に制限すると ⁠ ⁠は⁠ ⁠と同一になります。 $\delta _{1}<\delta _{2}$ $g_{2}$ $\delta _{1}$ $g_{1}$
グローバル定義：グローバルクラス関数 $F$ は、そのようなすべての一意な再帰セグメントの和集合として定義されます。任意の順序数 $α$ に対して、値⁠ ⁠は、 $F(\alpha )$ $α$ より大きい定義域で定義された任意の再帰セグメントによって $α$ に割り当てられる値です。

局所的存在の厳密な正当化は、再帰セグメントをセットに収集するために、極限順序数のステップの置き換えの公理スキームに依存します。

この構成により、順序加算、乗算、べき乗などの定義を厳密に行うことができます。例えば、べき乗はβ上 $\alpha ^{\beta }$ $で$ 再帰的に定義されます。

$\alpha ^{0}=1$
$\alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha$ （後続序数の場合）
$\alpha ^{\lambda }=\bigcup _{0<\beta <\lambda }\alpha ^{\beta }$ （極限順序数 $λ$ の場合）

超限再帰の原理は、特定の順序数まで再帰を実行できることも意味します（これは、真類ではなく集合を定義します）。これは、長さの列を定義する際によく用いられます。例えば、正規関数が任意の大きさの不動点を持つことを証明するには、任意の順序数から始まる列を構築し、の再帰によってを定義します。すると、連続性によりが保証されるため、極限はの不動点となります。 $\delta$ $\omega$ $f$ $\gamma _{0}$ $\gamma _{n+1}=f(\gamma _{n})$ $n<\omega$ $\delta =\sup _{n<\omega }\gamma _{n}$ $f$ $f(\delta )=f(\sup \gamma _{n})=\sup f(\gamma _{n})=\sup \gamma _{n+1}=\delta$

順序数のインデックスクラス

任意の順序付き集合は、一意の順序数と相似（順序同型）です。言い換えれば、その要素は⁠ ⁠より小さい順序数で増加方向にインデックス付けできます。これは特に、任意の順序数集合に当てはまります。任意の順序数集合は、ある⁠ ⁠より小さい順序数で自然にインデックス付けされます。わずかな修正を加えて、同じことが順序数クラス（何らかの性質によって定義され、集合を形成するには大きすぎる可能性のある順序数の集合）にも当てはまります。任意の順序数クラスは順序数でインデックス付けできます（そして、そのクラスがすべての順序数クラスにおいて無制限である場合、そのクラスはすべての順序数クラスとクラス一対一になります）。したがって、そのクラスの - 番目の要素（「0番目」が最小、「1番目」が次に小さい、という規則に従って）は自由に記述できます。正式には、定義は超限帰納法によって行われます。つまり、クラスの番目の要素は、すべての ⁠ ⁠ に対して既に定義されている場合、すべての⁠ ⁠番目の要素よりも大きい最小の要素として定義されます。 $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\gamma$ $\gamma$ $\beta <\gamma$ $\beta$ $\beta <\gamma$

これは例えば、極限順序数のクラスに適用できます。極限またはゼロである - 番目の順序数はです（順序数の乗算の定義については、順序数演算を参照してください）。同様に、加法的に分解不可能な順序数（つまり、2つの厳密に小さい順序数の和ではない非ゼロ順序数）を考えることができます。 - 番目の加法的に分解不可能な順序数は⁠ ⁠と添字付けされます。順序数のクラスを添字付けする手法は、固定点のコンテキストでしばしば役立ちます。例えば、- 番目の順序数は⁠ ⁠と書きます。これらは「イプシロン数」と呼ばれます。 $\gamma$ $\omega \cdot \gamma$ $\gamma$ $\omega ^{\gamma }$ $\gamma$ $\alpha$ $\omega ^{\alpha }=\alpha$ $\varepsilon _{\gamma }$

序数の算術

順序数に対する一般的な演算は、加算、乗算、べき乗の3つです。それぞれは、本質的に2つの異なる方法で定義できます。演算を表す明示的な順序付き集合を構築するか、超限再帰を用いるかのいずれかです。カントール標準形は、順序数を記述するための標準化された方法を提供します。これは、各順序数を ω の順序数冪の有限和として一意に表現します。しかし、 ε ₀ = ω ^{ε ₀}のような自己参照的な表現が存在するため、これは普遍的な順序数表記の基礎となることはできません。

順序数は超実数クラスのサブクラスであり、超実数に対するいわゆる「自然な」算術演算は、順序数を算術的に組み合わせる別の方法です。これらの演算は連続性を犠牲にして可換性を維持します。

序数は、ゲーム理論における数の変種であるnimbersとして解釈され、nimber算術演算によって結合することもできます。これらの演算は可換ですが、自然数への制限は、通常、自然数の加算とは異なります。

序数と基数

基数の最初の序数

各順序数は、1 つの基数、つまりその基数と関連しています。2 つの順序数の間に一対一の関係がある場合 (例: ω = 1 + ωとω + 1 > ω )、それらは同じ基数と関連しています。順序型として順序数を持つ順序付けられた集合は、その順序数と同じ基数を持ちます。特定の基数に関連付けられている最小の順序数は、その基数の初期順序数と呼ばれます。すべての有限順序数 (自然数) は初期順序数であり、他の順序数はその基数と関連していません。しかし、ほとんどの無限順序数は初期順序数ではありません。なぜなら、多くの無限順序数が同じ基数と関連しているからです。選択公理は、すべての集合は順序付け可能である、つまりすべての基数は初期順序数を持つ、という命題と同等です。選択公理を持つ理論では、どの集合の基数にも初期順序数があり、基数の表現としてフォンノイマン基数割り当てを使用できます。 (ただし、基数演算と順序演算を区別するように注意する必要があります。) 選択公理のない集合論では、基数は、その基数が最小のランクを持つ集合の集合によって表されることがあります (スコットのトリックを参照)。

スコットのトリックの問題点は、基数を⁠ ⁠と同一視することです。これは、いくつかの定式化では順序数⁠ ⁠となります。有限の場合にフォン・ノイマン基数割り当てを適用し、無限集合や順序付けが不可能な集合にはスコットのトリックを使用する方が明確になるかもしれません。有限数の場合、基数と順序数の算術は一致することに注意してください。 $0$ $\{\emptyset \}$ $1$

α番目の無限初期順序数は⁠ ⁠ $\omega _{\alpha }$ と書き、常に極限順序数です。その濃度は⁠ ⁠ $\aleph _{\alpha }$ と書きます。例えば、ω ₀ = ωの濃度は⁠ ⁠であり、これは ω $\aleph _{0}$ ²または ε ₀の濃度でもあります（これらはすべて可算順序数です）。したがって、ω は ⁠ ⁠ と同一視できますが、基数を書くときは⁠ ⁠ $\aleph _{0}$ という表記法を使用し、順序数を書くときは ωという表記法を使用します（これは重要です。例えば、=であるのに対し）。また、は最小の不可算順序数です（これが存在することを確認するには、自然数の順序付けの同値類の集合を考えます。このような順序付けはそれぞれ可算順序数を定義し、はその集合の順序型です）、は基数が⁠ ⁠よりも大きい最小の順序数です、などとなり、は自然数nに対するの極限です（基数の任意の極限は基数であるため、この極限はすべてのの後の最初の基数です）。 $\aleph _{0}$ $\aleph _{0}^{2}$ $\aleph _{0}$ $\omega ^{2}>\omega$ $\omega _{1}$ $\omega _{1}$ $\omega _{2}$ $\aleph _{1}$ $\omega _{\omega }$ $\omega _{n}$ $\omega _{n}$

共終性

順序数の共終性は、 ⁠ ⁠の共終部分集合の順序型となる最小の順序数です。共終性は、多くの著者が定義したり、極限順序数にのみ使用したりしていることに注意してください。順序数の集合、あるいはその他の順序付き集合の共終性は、その集合の順序型の共終性です。 $\alpha$ $\delta$ $\alpha$

したがって、極限順序数に対しては、極限⁠ ⁠を持つ -添字付きの厳密増加列が存在する。例えば、ω ²の共終性はωである。なぜなら、列 ω· m ( mは自然数の範囲) はω ²に近づくからである。しかし、より一般的には、任意の可算極限順序数は共終性 ω を持つ。非可算極限順序数は、ω のように共終性 ω を持つ場合もあれば、非可算な共終性を持つ場合もある。 $\delta$ $\alpha$ $\omega _{\omega }$

0 の共終性は 0 です。そして、任意の後続順序数の共終性は 1 です。任意の極限順序数の共終性は少なくとも⁠ ⁠ $\omega$ です。

共終性に等しい順序数は正則順序数と呼ばれ、常に初期順序数となります。正則順序数の任意の極限は初期順序数の極限であり、したがって、たとえ正則でなくても初期順序数となりますが、通常は正則ではありません。選択公理が成り立つ場合、各αに対しては正則です。この場合、順序数 0、1、⁠ ⁠、⁠ ⁠、は正則ですが、2、3、⁠ ⁠、 ω _ω·2は正則ではない初期順序数です。 $\omega _{\alpha +1}$ $\omega$ $\omega _{1}$ $\omega _{2}$ $\omega _{\omega }$

任意の順序数αの共終性は正規順序数である。すなわち、 αの共終性の共終性はαの共終性と同じである。したがって、共終性演算は冪等である。

閉非有界集合とクラス

閉集合と非有界集合の概念は、典型的には、非可算な正則基数の部分集合に対して定式化されます。任意の順序数に対して、となるようなものが存在する場合、その部分集合はにおいて非有界（または共終）であると言われます。閉集合であるという性質を定義するには、まず極限点を定義します。非ゼロの順序数はの極限点です。集合がにおいて閉じているとは、その集合の極限点がすべてより下に含まれていることを意味します。閉集合かつ非有界集合は、一般にのクラブ集合と呼ばれます。 $\kappa$ $C\subseteq \kappa$ $\kappa$ $\alpha <\kappa$ $\beta \in C$ $\alpha <\beta$ $\delta <\kappa$ $C$ $\sup(C\cap \delta )=\delta$ $C$ $\kappa$ $\kappa$

クラブ集合の例は、集合論の基本です。より小さい極限順序数全体の集合はクラブ集合です。より小さい任意の順序数よりも大きい極限順序数が常に存在し、極限順序数の極限はそれ自体が極限順序数だからです。が極限基数である場合、より小さい基数全体の集合は有界ではなく、その極限点の集合、つまり極限基数は閉有界集合を形成します。さらに、が強い極限基数（到達不可能な基数など）である場合、より小さい強い極限基数の集合もクラブ集合です。もう 1 つの重要な例は、正規関数（厳密に増加し連続する関数）から生じます。任意の正規関数の値域は、の閉有界部分集合です。 $\kappa$ $\kappa$ $\kappa$ $\kappa$ $\kappa$ $\kappa$ $f:\kappa \to \kappa$ $\kappa$

クラブ集合は、フィルタを生成できる構造的性質を持っています。は正則かつ非可算であるため、任意の2つのクラブ集合の交差もクラブ集合です。より一般的には、クラブ集合よりも少ないクラブ集合の交差もクラブ集合です。したがって、クラブ集合を含むの部分集合全体の集合は、閉非有界フィルタ（またはクラブフィルタ）と呼ばれる -完全非主フィルタを形成します。 $\kappa$ $\kappa$ $\kappa$ $\kappa$

部分集合は、その集合が内の任意の閉非有界集合と空でない交差を持つ場合、定常集合と呼ばれます。直感的に言えば、定常集合は、いかなるクラブ集合からも避けられないほど「大きい」集合です。フィルターの表記法を用いると、集合が定常であるためには、クラブフィルターの双対イデアル（非定常集合のイデアル）に属さない場合に限られます。すべてのクラブ集合は定常ですが、すべての定常集合がクラブ集合であるとは限りません。例えば、定常集合は閉じていない可能性があります。さらに、定常集合とクラブ集合の交差は定常ですが、2つの定常集合の交差は空である可能性があります。 $S\subseteq \kappa$ $\kappa$ $S$

クラブ集合と定常集合の区別は、ある種の大きな基数の定義の中心となる。が最小の到達不能基数である場合、その下の特異な強極限基数の集合は閉じた非有界集合を形成する。このクラブ集合には正則基数が含まれていないため、最初の到達不能基数の下の正則基数の集合は定常ではない。が何らかのに対して番目の到達不能基数である場合も、このことは成り立ち、その下の正則基数は定常集合を形成しない。ある基数がマロー基数として定義されるのは、その下の正則基数の集合が定常である場合とまったく同じである。極限基数の条件を緩和することにより、基数が弱到達不能であり、その下の正則基数の集合が定常である場合に、その基数は弱マロー基数として定義される。 $\kappa$ $\kappa$ $\kappa$ $n$ $n<\kappa$ $\kappa$

閉じた非有界フィルタは、選択公理（ZFC）を持つ標準的なツェルメロ・フランケル集合論では超フィルタではありません。これは、2 つの互いに素な定常集合が見つかる可能性があるため、フィルタがすべてのサブセットのメンバーシップを決定することができないためです。任意の正則基数について、共終性を持つ順序数の集合と共終性を持つ順序数の集合は、の互いに素な定常サブセットです。の特定のケースでは、超フィルタが存在しないことは選択公理に依存しています。ZFC では、の極限順序数の集合は互いに素な定常集合に分割できます（フォーダーの補題に関連する結果）。ただし、決定性公理を満たすものなど、選択公理を持たない集合論のモデルでは、上のクラブフィルタは超フィルタになる可能性があり、これはそのようなコンテキストで測定可能な基数であることに関連する特性です。 $\kappa >\omega _{1}$ $\omega$ $\omega _{1}$ $\kappa$ $\kappa =\omega _{1}$ $\omega _{1}$ $\omega _{1}$ $\omega _{1}$ $\omega _{1}$

これらの定義は、順序数の適切なクラスに一般化されます。順序数のクラスは、任意に大きな順序数を含む場合非有界であり、における任意の順序数の列の極限がにも含まれる場合、閉クラスです。この位相的な定義は、の添字類関数が連続であると仮定することと同等です。非有界閉クラスの代表的な例としては、すべての無限基数のクラス、極限基数のクラス、 -関数の不動点のクラスなどがあります。対照的に、正則基数のクラスは非有界ですが、閉じていません。クラスがすべての非有界閉クラスと交差する場合、クラスは定常です。 $C$ $C$ $C$ $C$ $\aleph$

いくつかの「大きな」可算順序数

上で述べたように (カントール正規形を参照)、順序数 ε ₀は方程式⁠ ⁠を満たす最小のものなので、数列 0, 1, $\omega ^{\alpha }=\alpha$ ⁠ ⁠ $\omega$ , ⁠ ⁠ $\omega ^{\omega }$ , ⁠ ⁠ $\omega ^{\omega ^{\omega }}$ などの極限となります。多くの順序数は、特定の順序数関数の不動点のように定義できます ( ⁠ ⁠ となるような - 番目の順序数は⁠ ⁠と呼ばれ、 ⁠ ⁠となるような- 番目の順序数を探し続けることもできます、「など」ですが、すべての微妙な点は「など」にあります)。これを体系的に行うこともできますが、順序数を定義および構築するためにどのような体系が使用されたとしても、その体系によって構築されるすべての順序数のすぐ上にある順序数が常に存在します。このように構成体系を制限する最も重要な順序数は、おそらくチャーチ・クリーネ順序数（名前にが含まれているにもかかわらず、この順序数は可算）であり、これは計算可能な関数で表現できない最小の順序数です（もちろん、厳密にすることは可能です）。しかし、 ⁠ ⁠より下にはかなり大きな順序数を定義でき、これは特定の形式体系の「証明論的強度」を測定します（例えば、はペアノ算術の強度を測定します）。チャーチ・クリーネ順序数より上には、可算許容順序数などの大きな可算順序数も定義でき、これは論理学のさまざまな部分で重要です。^[^要出典^] $\iota$ $\omega ^{\alpha }=\alpha$ $\varepsilon _{\iota }$ $\iota$ $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ $\omega _{1}$ $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ $\varepsilon _{0}$

位相と順序数

任意の順序数は、順序位相を付与することで位相空間にすることができる。この位相が離散的であるための必要十分条件は、ω 以下であることである。対照的に、ω + 1 の部分集合が順序位相において開集合であるための必要十分条件は、それが有限集合であるか、ω を元として含まないことである。

「順序トポロジー」の記事の「トポロジーと序数」セクションを参照してください。

歴史

1883 年に初めて登場した超限順序数^[14]は、カントールの導来集合に関する研究に端を発する。Pが実数の集合である場合、導来集合P ′はPの極限点の集合である。1872 年、カントールは導来集合演算をPにn回適用して集合P ⁽ⁿ⁾を生成した。1880 年に、彼はこれらの集合が数列 $P'$ $\supseteq \cdot\cdot\cdot \supseteq$ $P$ $($ $n$ $)$ $\supseteq$ $P$ $($ $n$ $+ 1)$ $\supseteq \cdot\cdot\cdot を形成することを指摘し、これらの集合の共通部分として$ P ^(∞)を定義して導出プロセスを続けた。そして彼は導出された集合演算と交差を繰り返して、集合の列を無限に拡張した。P $(\infty)$ $\supseteq$ $P$ $(\infty + 1)$ $\supseteq$ $P$ $(\infty + 2)$ $\supseteq \cdot\cdot\cdot \supseteq$ $P$ $(2\infty)$ $\supseteq \cdot\cdot\cdot \supseteq$ $P$ $(\infty$ $2$ $)$ $\supseteq \cdot\cdot\cdot。$ ^{[15] ∞を含む上付き文字は} $、$ 導出プロセスによって定義された添え字にすぎない。^[16]

カントールは定理の中でこれらの集合を使用しました:

ある指数αに対して $P (α) =\emptysetで$ あれば、P ′は可算である。
逆に、P ′が可算であれば、 $P$ $($ $α$ $)$ $=\emptyset$ となるような指数αが存在します。

これらの定理は、 P ′ を互いに素な2つの集合に分割することによって証明される： $P ′ = ( P ′ \ P (2) ) ∪ ( P (2 ) \ P (3) ) ∪ ··· ∪ ( P (∞ ) \ P (∞ + 1) ) ∪ ··· ∪ P ( α )$ $。β$ $<$ $α$ の場合 $：$ $P (β + 1)$ はP ^{( β )}の極限点を含むため、集合 $P ( β ) \ P ( β + 1)$ には極限点がありません。したがって、これらは離散集合であるため、可算です。最初の定理の証明：あるインデックスαに対して $P (α) = \emptyset で$ あれば、P ′は可算集合の可算な和集合です。したがって、P ′は可算です。^[17]

第二定理は、 $P$ $($ $α$ $)$ $= \emptyset$ となるようなαの存在を証明することを要求する。これを証明するために、カントールは可算個以上の前身を持つすべてのαの集合を考えた。この集合を定義するために、彼は超限順序数を定義し、無限インデックスを順序数に変換し、 ∞ を最初の超限順序数であるωに置き換えた。カントールは有限順序数の集合を第一数類と呼んだ。第二数類は、前身が可算無限集合を形成する順序数の集合である。可算個以上の前身を持つすべてのαの集合、つまり可算順序数の集合は、これら 2 つの数類の和集合である。カントールは、第二数類の濃度が第一非可算濃度であることを証明した。^[18]

カントールの第二定理は、次のようになる。P ′ が可算ならば、P ( α ) = ∅ を満たす可算順序数 α が存在する $。$ $この$ $定理$ $の$ $証明$ には背理法を用いる。P ′ を可算とし、そのような α は存在しないと仮定する。この仮定から2つのケースが生まれる。

ケース1：すべての可算なβに対して、 $P ( β ) \ P ( β + 1 )$ は空ではありません。これらの互いに素な集合は非可算個存在するため、それらの和集合は非可算です。この和集合はP ′の部分集合であるため、P'は非可算です。
ケース2：ある可算なβに対して $P ( β ) \ P ( β +1)$ $は$ 空である。P(β+1)⊆P(β)なので $、$ $P$ $($ $β$ $+$ $1$ $)$ =P(β)が成立する $。$ $したがって$ $、$ $P$ $($ $β$ $)$ $は$ $完全$ 集合な^ので^、^非可算である。 $[$ ^19] $P$ $($ $β$ $)$ $\subseteqP$ $'$ なので、集合P $'$ は非可算である。

どちらの場合もP ′は非可算であり、これはP ′が可算であることと矛盾する。したがって、 $P$ $($ $α$ $)$ $= \emptyset$ となる可算順序数αが存在する。カントールの導来集合と順序数に関する研究は、カントール＝ベンディクソンの定理につながった。^[20]

カントールは、後続数、極限、濃度を用いて、無限の順序数と数クラスの列を生成した。^[21] ( $α$ $+1)番目の数クラスは、先行数が$ α番目の数クラスと同じ濃度の集合を形成する順序数の集合である。 $($ $α$ $+1)$ 番目の数クラスの濃度は、 $α$ 番目の数クラスの濃度の直後の濃度である。^[22]極限順序数αに対して、α番目の数クラスは、 $β$ $<$ $α$ となるβ番目の数クラスの和集合である。^[23]その濃度は、これらの数クラスの濃度の極限である。

nが有限の場合、 n番目の数クラスの濃度は⁠ ⁠ です $\aleph _{n-1}$ 。α $\geq$ $ω の$ 場合、α番目の数クラスの濃度は⁠ ⁠ $\aleph _{\alpha }$ です。^{[24]したがって、数クラスの濃度は}アレフ数と 1 対 1 で対応します。また、α番目の数クラスが、 αが非限界順序数である場合に限り、前の数クラスの順序数と異なる順序数で構成されます。したがって、非限界数クラスは順序数を互いに素な 2 つの集合に分割します。

参照

カウント
偶数と奇数の序数
最初の不可算順序数
順序空間
超実数。負の値、実数、無限小値を含む順序数の一般化。

注記

^ コンウェイ＆ガイ 2012.
^ Levy 1979 および Jech 2003 では徹底した紹介がなされています。
^ ハレット、マイケル（1979）「数学研究プログラムの理論に向けて。I」、英国科学哲学ジャーナル、30（1）：1-25、doi：10.1093/bjps/30.1.1、MR 053254812ページの脚注を参照。
^ カンター 1897.
^ Weisstein, Eric W. 「Ordinal Number」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月12日閲覧。
^ 正則性の公理を仮定すると、正則性は⁠ ⁠の無限下降連鎖を防ぐため、「厳密に整列している」は「厳密に全順序である」に弱めることができます。 $\in$
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^ ダウベン 1979、97～98ページ
^ ハレット 1986、61～62ページ
^ Tait 1997、p. 5脚注
^ 最初の数クラスの濃度は⁠ ⁠ $\aleph _{0}$ です。数学的帰納法により、 n番目の数クラスの濃度は⁠ ⁠ $\aleph _{n-1}$ であることが証明されています。ω番目の数クラスはn番目の数クラスの和集合であるため、その濃度は⁠ ⁠であり、 $\aleph _{\omega }$ ⁠ ⁠ $\aleph _{n-1}$ の極限です。超限帰納法により、 $α \geq ω$ の場合、α番目の数クラスの濃度は⁠ ⁠ $\aleph _{\alpha }$ であることが証明されています。

参考文献

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外部リンク

「序数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
ProvenMathの順序数
序数計算機序数と序数表記法を使った計算のためのGPLフリーソフトウェア
ドン・モンクの集合論の講義ノートの第 4 章は、順序数の入門です。

[FOOTNOTEConwayGuy2012-1] コンウェイ＆ガイ 2012.

[2] Levy 1979 および Jech 2003 では徹底した紹介がなされています。

[3] ハレット、マイケル（1979）「数学研究プログラムの理論に向けて。I」、英国科学哲学ジャーナル、30（1）：1-25、doi：10.1093/bjps/30.1.1、MR 053254812ページの脚注を参照。

[FOOTNOTECantor1897-4] カンター 1897.

[5] Weisstein, Eric W. 「Ordinal Number」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月12日閲覧。

[6] 正則性の公理を仮定すると、正則性は⁠ ⁠の無限下降連鎖を防ぐため、「厳密に整列している」は「厳密に全順序である」に弱めることができます。 $\in$

[FOOTNOTEJustWeese1996156-7] ジャスト＆ウィーズ 1996年、156ページ。

[FOOTNOTEJech200319-8] Jech 2003、19ページ。

[FOOTNOTEJech200320-9] Jech 2003、20ページ。

[10] マイケル、ホルツ;ステファンス、カルステン。 Weitz、Edmund (1999)、「1. Ordinals and Cardinals」、Introduction to Cardinal Arithmetic、Springer Basel AG、ISBN 978-3-0348-8742-7

[FOOTNOTEJech200323-11] Jech 2003、23ページ。

[FOOTNOTEJustWeese199636-12] ジャスト＆ウィーズ 1996年、36ページ。

[13] ローゼンスタイン、ジョセフ・G.（1982）、線形順序付け、アカデミックプレス、p.6、ISBN 0-12-597680-1

[14] カンター 1883. 英訳: エヴァルト 1996, pp. 881–920

[15] フェレイロス、1995 年、34–35 ページ。フェレイロス 2007、159 ページ、204–5

[16] フェレイロス 2007、269ページ

[17] フェレイロス、1995 年、35–36 ページ。フェレイロス 2007、p. 207

[18] フェレイロス、1995 年、36–37 ページ。フェレイロス 2007、p. 271

[19] ダウベン 1979、111ページ

[20] フェレイロス 2007、207–8 ページ

[21] ダウベン 1979、97～98ページ

[22] ハレット 1986、61～62ページ

[23] Tait 1997、p. 5脚注

[24] 最初の数クラスの濃度は⁠ ⁠ $\aleph _{0}$ です。数学的帰納法により、 n番目の数クラスの濃度は⁠ ⁠ $\aleph _{n-1}$ であることが証明されています。ω番目の数クラスはn番目の数クラスの和集合であるため、その濃度は⁠ ⁠であり、 $\aleph _{\omega }$ ⁠ ⁠ $\aleph _{n-1}$ の極限です。超限帰納法により、 $α \geq ω$ の場合、α番目の数クラスの濃度は⁠ ⁠ $\aleph _{\alpha }$ であることが証明されています。