p進閉体
数学の分野の種類

数学において、p進閉体とは、実閉体と実体との類似性を持つ閉体の性質を持つ体である。p進閉体は1965年にジェームズ・アックスとサイモン・B・コッヘンによって導入された。[1]

意味

を有理数体とし、をその通常の-進付値（）とします。が の（必ずしも代数的とは限らない）拡大体で、それ自体に付値 が備わっている場合、以下の条件が満たされるとき、 は形式的にp進であるといいます。 K {\displaystyle K} 質問 {\displaystyle \mathbb {Q} } v {\displaystyle v} p {\displaystyle p} v （ p ） ＝ 1 {\displaystyle v(p)=1} F {\displaystyle F} K {\displaystyle K} わ {\displaystyle w} （ F 、 わ ） {\displaystyle (F,w)}

  • わ {\displaystyle w} 拡張されます（つまり、すべての に対して）、 v {\displaystyle v} わ （ × ） ＝ v （ × ） {\displaystyle w(x)=v(x)} × ∈ K {\displaystyle x\in K}
  • の剰余体は の剰余体と一致する（剰余体とは、その最大イデアルによる付値環の商である）。 わ {\displaystyle w} v {\displaystyle v} { × ∈ F : わ （ × ） ≥ 0 } {\displaystyle \{x\in F:w(x)\geq 0\}} { × ∈ F : わ （ × ） > 0 } {\displaystyle \{x\in F:w(x)>0\}}
  • の最小の正の値は、の最小の正の値（つまり、vは正規化されていると仮定されているため、1）と一致します。言い換えると、の均一化子はの均一化子のままです。 わ {\displaystyle w} v {\displaystyle v} K {\displaystyle K} F {\displaystyle F}

( Kの値群はFの値群よりも大きくなる可能性があることに注意してください。これは、K には F を超える無限に大きな要素が含まれる可能性があるためです。)

形式的にp進体は、形式的に実数の体の類似体として見ることができます。

たとえば、ガウス有理数の体 (i)は、 (および)によって与えられる値 w を備えている場合、形式的に 5 進です (有理数のv =5 の箇所は、5 つの元を持つ留数体上の因数であり、wはこれらの箇所の 1 つであるため、ガウス有理数の 2 つの箇所で分割されます)。5 進数の体 (有理数と、場所wに従って埋め込まれたガウス有理数の両方を含む) も、形式的に 5 進です。一方、ガウス有理数の体は、どの値に対しても形式的に 3 進ではありません。これは、3 進値を拡張するその上の値wのみが によって与えられ、その留数体が 9 つの元を持つためです。 質問 {\displaystyle \mathbb {Q} } わ （ 2 + 私 ） ＝ 1 {\displaystyle w(2+i)=1} わ （ 2 − 私 ） ＝ 0 {\displaystyle w(2-i)=0} X 2 + 1 {\displaystyle X^{2}+1} わ （ 3 ） ＝ 1 {\displaystyle w(3)=1}

Fが形式的にp進であるが、 Fの適切な代数的形式的p進拡大が存在しないとき、F はp進閉であると言われる。例えば、p進数の体はp進閉であり、その中の有理数の代数的閉包（p進代数的数の体）も p 進閉である。

Fがp進閉環ならば、次のようになる。[2]

  • Fには唯一の値wが存在し、これによってF はp進的に閉じている（したがって、ペア ではなくFがp進的に閉じていると言うのは正当である） （ F 、 わ ） {\displaystyle (F,w)}
  • Fはこの場所に関してヘンゼル的である（つまりその付値環はそうである）、
  • Fの付値環はKochen 演算子の像と全く同じである（下記参照）。
  • Fの値群は、辞書式順序を持つ、分割可能な群の( Kの値群)による拡張です。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

最初のステートメントは、実閉体の順序が代数構造によって一意に決定されるという事実に類似しています。

上記の定義はより一般的な文脈にも適用できる。Kがvという 値を持つ体で、

  • Kの剰余体は有限である（qをその基数、pをその特性と呼ぶ）、
  • vの値群は最小の正の元（これを 1 とし、π を均一化元、すなわち とする）を許容する。 v （ π ） ＝ 1 {\displaystyle v(\pi )=1}
  • Kは有限絶対分岐を持ち、つまりは有限（つまり の有限倍）である。 v （ p ） {\displaystyle v(p)} v （ π ） ＝ 1 {\displaystyle v(\pi )=1}

(これらの仮定は有理数体に対して満たされ、q =π= pは価数 1 を持つ素数です)。そうすると、形式的にv進体 (または がvに対応するイデアルの場合は -進) とv進完全体について話すことができます。 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} p {\displaystyle {\mathfrak {p}}}

コッヘン演算子

Kが仮定を満たす値vと前の段落で導入された表記法を備えた体である場合、Kochen演算子を次のように定義します。

γ （ z ） ＝ 1 π z q − z （ z q − z ） 2 − 1 {\displaystyle \gamma (z)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {z^{q}-z}{(z^{q}-z)^{2}-1}}}

（ のとき）。は常に非負の値を持つことは簡単に確認できます。コッヘン演算子は、実数の場合の平方関数の p進（またはv進）版と考えることができます。 z q − z ≠ ± 1 {\displaystyle z^{q}-z\neq \pm 1} γ （ z ） {\displaystyle \gamma (z)}

Kの拡大体Fが形式的にv進体となるのは、F上の Kochen 作用素の像によってKの値環上に生成される部分環に F が属さないときである。これは、 が平方和でない とき、体は形式的に実数であるという命題（または定義）の類似である。 1 π {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}} − 1 {\displaystyle -1}

第一階理論

p進閉体の一階理論（ここではp進の場合に限定する。すなわち、Kは有理数体、 vはp進付値である）は完全かつモデル完全であり、言語を少し拡張すれば量化子除去が可能である。したがって、 p進閉体とは、その一階理論が の理論と本質的に同値である体として定義できる。 質問 p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}

注記

  1. ^ アックス＆コッヘン（1965）
  2. ^ ジャーデンとロケット (1980)、補題 4.1

参考文献

  • Ax, James; Kochen, Simon (1965). 「局所体上のディオファントス問題. II. 𝑝進数論のための完全な公理群」. Amer. J. Math . 87 (3). ジョンズ・ホプキンス大学出版局: 631– 648. doi :10.2307/2373066. JSTOR  2373066.
  • コーヘン、サイモン (1969). 「𝑝進数上の整数値有理関数：実体理論の𝑝進類似体」.数論 (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XII, Houston, Tex., 1967) . アメリカ数学会. pp.  57– 73.
  • Kuhlmann, F.-V. (2001) [1994]、「p-adically closed field」、Encyclopedia of Mathematics、EMS Press 、2009年2月3日取得
  • ジャーデン、モシェ。ピーター・ロケット（1980年）。 「𝔭の徹底的に閉鎖された野原の上にあるヌルステレンザッツ」。Ｊ．Ｍａｔｈ．社会日本。32 (3): 425–460 .土井: 10.2969/jmsj/03230425。
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