宇宙摂動論
物理宇宙論の理論

物理宇宙論において、宇宙摂動論[1] [2] [3] [4] [5]はビッグバンモデルにおける構造の発展を理解するための理論である。宇宙摂動論はニュートン力学と一般相対論の2つのカテゴリに分けられる。それぞれの場合において、支配方程式を用いて重力と圧力を計算し、これが小さな摂動を成長させて最終的に恒星、クエーサー、銀河、および銀河団の形成のきっかけとなる。どちらの場合も、宇宙のインフレーションやビッグバンの大部分の間など、宇宙が主に均質である状況にのみ当てはまる。宇宙は依然として十分に均質であると考えられているため、この理論は最大スケールでは良好な近似値となるが、より小さなスケールではN体シミュレーションなどのより複雑な手法を使用する必要があります。摂動論に一般相対論を使用するかどうかを決定する際には、ニュートン物理学は、ハッブルの地平線よりも小さいスケール、時空が十分に平坦、速度が非相対論的であるなどの一部の場合にのみ適用可能であることに注意してください。

一般相対論のゲージ不変性のため、宇宙論的摂動論の正しい定式化は微妙である。特に、非一様時空を記述する場合、好ましい座標の選択が存在しないことが多い。現在、古典一般相対論における摂動論には2つの異なるアプローチがある。

  • 超曲面による時空の葉理に基づくゲージ不変摂動論、および
  • フレームを使用して時空を連結することに基づく1+3 共変ゲージ不変摂動論。

ニュートンの摂動論

この節では、流体力学的流体領域における物質が構造形成に与える影響に焦点を当てます。この領域は、宇宙の歴史の大部分において暗黒物質が構造成長を支配してきたため、有用です。この領域では、サブハッブルスケール（ハッブルパラメータ）にあるため、時空を平坦と見なし、一般相対論的補正を無視することができます。しかし、これらのスケールはカットオフより上にあるため、圧力と密度の摂動は十分に線形です。次に、低圧力を仮定することで、放射効果と低速度を無視し、非相対論的領域に入ります。 < H − 1   、 {\displaystyle <H^{-1}~,} H {\displaystyle H} δ P   、   δ ρ ≪ 1   。 {\displaystyle \delta P~,~\delta \rho \ll 1~.} P ≪ ρ   、 {\displaystyle P\ll \rho ~,} あなた ≪ c   、 {\displaystyle u\ll c~,}

最初の支配方程式は物質保存則、つまり連続方程式から導かれる[6]

∂ ρ ∂ t + 3 H ρ + 1 1つの ⋅ ∇ （ ρ v → ） ＝ 0   、 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+3H\rho +{\frac {1}{a}}\cdot \nabla \left(\rho {\vec {v}}\right)=0~,}

ここではスケール係数、は固有速度である。明示的には書いていないが、すべての変数は時刻 で評価され、発散は共動座標で起こる。次に、運動量保存則からオイラー方程式が得られる。 1つの {\displaystyle a} v → {\displaystyle {\vec {v}}} t {\displaystyle t} ∇ {\displaystyle \nabla}

ρ d あなた → d t ＝ ρ （ ∂ ∂ t + 1 1つの v → ⋅ ∇ ） あなた → ＝ − 1 1つの ∇ P − 1 1つの ρ ∇ Φ   、 {\displaystyle \rho {\frac {{\text{d}}{\vec {u}}}{{\text{d}}t}}=\rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{a}}{\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {u}}=-{\frac {1}{a}}\nabla P-{\frac {1}{a}}\rho \nabla \Phi ~,}

ここで、重力ポテンシャルである。最後に、ニュートン力学の重力の場合、ポテンシャルはポアソン方程式に従うことが分かっている。 Φ {\displaystyle \Phi }

1 1つの 2 ∇ 2 Φ ＝ 4 π G ρ   。 {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho ~.}

ここまでの方程式は完全に非線形であり、直感的に解釈するのが難しい場合があります。そのため、摂動展開を考え、各次数を個別に調べることが有用です。以下の分解を用います。

ρ ＝ ρ ¯ （ 1 + δ ）   、   あなた → ＝ H 1つの × → + v →   、   P ＝ P ¯ + δ P   、   Φ ＝ Φ ¯ + δ Φ   {\displaystyle \rho ={\bar {\rho }}(1+\delta )~,~{\vec {u}}=Ha{\vec {x}}+{\vec {v}}~,~P={\bar {P}}+\delta P~,~\Phi ={\bar {\Phi }}+\delta \Phi ~}

ここで、は共動座標です。 × → {\displaystyle {\vec {x}}}

線形順序では、連続方程式は次のようになる。

δ ˙ ＝ − 1 1つの θ   、 {\displaystyle {\dot {\delta }}=-{\frac {1}{a}}\theta ~,}

ここで速度発散である。そして線形オイラー方程式は θ ≡ ∇ ⋅ v → {\displaystyle \theta \equiv \nabla \cdot {\vec {v}}}

ρ ¯ （ v → ˙ + H v → ） ＝ − 1 1つの ∇ δ P − 1 1つの ρ ¯ ∇ δ Φ   。 {\displaystyle {\bar {\rho }}\left({\dot {\vec {v}}}+H{\vec {v}}\right)=-{\frac {1}{a}}\nabla \delta P-{\frac {1}{a}}{\bar {\rho }}\nabla \delta \Phi ~.}

線形連続性、オイラー方程式、ポアソン方程式を組み合わせることで、進化を支配する単純なマスター方程式が得られる。

（ ∂ 2 ∂ 2 t + 2 H ∂ ∂ t − c s 2 1 1つの ∇ 2 − 4 π G ρ ¯ ） δ ＝ 0   、 {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}+2H{\frac {\partial }{\partial t}}-c_{s}^{2}{\frac {1}{a}}\nabla ^{2}-4\pi G{\bar {\rho }}\right)\delta =0~,}

ここで、閉包関係を得るために音速 を定義しました。このマスター方程式は波動解を許容し、物質の揺らぎが、揺らぎの自己重力、圧力、宇宙の膨張、そして背景重力場といった競合する効果の組み合わせによって、時間の経過とともにどのように成長するかを示します。 c s 2 ≡ δ P / ρ ¯ δ   {\displaystyle c_{s}^{2}\equiv \delta P/{\bar {\rho }}\delta ~} δ （ × → 、 t ） {\displaystyle \delta ({\vec {x}},t)}

ゲージ不変摂動論

ゲージ不変摂動論は、バーディーン（1980）[7] 、児玉・佐々木（1984）[8]による発展に基づいており、リフシッツ（1946） [9] の研究を基盤としている。これは、宇宙論における一般相対論の摂動論の標準的なアプローチである。[10]このアプローチは、物理宇宙論プログラムの一環として、宇宙マイクロ波背景放射の異方性の計算に広く用いられており[11] 、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー（FLRW）模型に対するゲージ不変性を保つ線形化から生じる予測に焦点を当てている。このアプローチは、ニュートン力学的な類似例を多用しており、通常はFRW背景を出発点として摂動論を展開する。このアプローチは非局所的で座標依存的であるが、ゲージ不変である。これは、結果として得られる線形枠組みが、ゲージ保存写像によって連結された特定の背景超曲面族から構築され、時空を葉理化するからである。このアプローチは直感的ではあるが、一般相対論に固有の非線形性をうまく扱うことができない。

1+3共変ゲージ不変摂動論

Ehlers (1971) [12]や Ellis (1971) [13]のラグランジアン スレッド ダイナミクスを使用する相対論的宇宙論では、通常、Hawking (1966) [14]や Ellis と Bruni (1989) [15]によって開発されたゲージ不変共変摂動論が使用されます。ここでは、背景から始めてその背景から摂動を加えるのではなく、完全な一般相対論から始めて、特定の背景の周りに線形となる理論に体系的に簡約します。[16]このアプローチは、局所的であり、共変かつゲージ不変ですが、全時空をスレッドするために使用される局所共動観測フレーム (フレーム バンドルを参照) の周りに構築されているため、非線形になる場合があります。摂動論に対するこのアプローチでは、真の物理的自由度を記述するために必要な適切な次数の微分方程式が生成されるため、非物理的なゲージ モードは存在しません。理論は通常、座標フリーな方法で表現される。運動論の応用においては、完全な接線束を用いる必要があるため、相対論的宇宙論の四面体定式化を用いるのが便利である。このアプローチを宇宙マイクロ波背景放射の異方性の計算に適用するには[17] 、Thorne (1980) [18]およびEllis、Matravers、Treciokas (1983) [19]によって展開された完全な相対論的運動論の線形化が必要となる。

ゲージの自由度とフレームの固定

相対論的宇宙論では、スレッド フレームの選択に関連する自由があります。このフレームの選択は、座標に関連する選択とは異なります。このフレームを選択することは、互いにマッピングされる時間的世界線の選択を固定することと同等です。これにより、ゲージの自由度が減少します。ゲージが固定されるわけではありませんが、理論は残りのゲージの自由度の下でゲージ不変のままです。ゲージを固定するためには、背景および実際の宇宙の初期の時空的表面上の点間の対応とともに、実際の宇宙 (摂動された) と背景宇宙の時間面間の対応の指定が必要です。これが、ゲージ不変摂動論とゲージ不変共変摂動論を結び付けるものです。ゲージ不変性は、フレームの選択が背景の選択と正確に一致する場合にのみ保証されます。通常、物理的なフレームはこの特性を持っているため、これを保証するのは簡単です。

ニュートンのような方程式

ニュートンのような方程式は、ニュートンゲージの選択による摂動論的一般相対論から生じます。ニュートンゲージは、ゲージ不変摂動論で通常使用される変数と、より一般的なゲージ不変共変摂動論から生じる変数との間の直接的なリンクを提供します。

参照

参考文献

  1. ^ Fry, JN (1984年4月). 「摂動論における銀河相関階層」.アストロフィジカル・ジャーナル. 279 : 499. Bibcode :1984ApJ...279..499F. doi : 10.1086/161913 .
  2. ^ Bharadwaj, Somnath (1994年6月). 「宇宙論的クラスタリングの摂動成長 I: 形式主義」.アストロフィジカル・ジャーナル. 428 : 419. Bibcode :1994ApJ...428..419B. doi :10.1086/174254. ISSN  0004-637X.
  3. ^ Bharadwaj, Somnath (1996年3月). 「宇宙論的クラスタリングの摂動成長。II. 2点相関」.アストロフィジカル・ジャーナル. 460 : 28–50 . arXiv : astro-ph/9511085 . Bibcode :1996ApJ...460...28B. doi :10.1086/176950. S2CID  17179734.
  4. ^ Bharadwaj, Somnath (1996年11月20日). 「ゼルドビッチ近似における相関関数の進化と摂動論の妥当性への示唆」.アストロフィジカルジャーナル. 472 (1): 1– 13. arXiv : astro-ph/9606121 . Bibcode :1996ApJ...472....1B. doi : 10.1086/178036 .
  5. ^ ドデルソン, スコット; シュミット, ファビアン (2020).現代宇宙論(第2版). アカデミック出版. Bibcode :2020moco.book.....D. doi :10.1016/C2017-0-01943-2. ISBN 978-0-12-815948-4. S2CID  241570171。
  6. ^ バウマン、ダニエル (2022). 『宇宙論』 ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/9781108937092. ISBN 978-1-108-83807-8。
  7. ^ バーディーン, ジェームズ・M. (1980-10-15). 「ゲージ不変宇宙論的摂動」. Physical Review D. 22 ( 8). アメリカ物理学会 (APS): 1882– 1905. Bibcode :1980PhRvD..22.1882B. doi :10.1103/physrevd.22.1882. ISSN  0556-2821.
  8. ^ 児玉秀夫; 佐々木操 (1984). 「宇宙論的摂動論」.理論物理学の進歩補足. 78.オックスフォード大学出版局 (OUP): 1– 166.書誌コード:1984PThPS..78....1K. doi : 10.1143/ptps.78.1 . ISSN  0375-9687.
  9. ^ リフシッツEM (1946) J. Phys. (USSR), 10, 116
  10. ^ Mukhanov, V. (1992). 「宇宙論的摂動の理論」 . Physics Reports . 215 ( 5–6 ). Elsevier BV: 203–333 . Bibcode :1992PhR...215..203M. doi :10.1016/0370-1573(92)90044-z. ISSN  0370-1573.
  11. ^ Hu W, Sugiyama N. (1995). 「CMB異方性とその意味の理解に向けて」. Physical Review D. 51 ( 6): 2599– 2630. arXiv : astro-ph/9411008 . Bibcode :1995PhRvD..51.2599H. doi :10.1103/PhysRevD.51.2599. PMID  10018735. S2CID  12811112.
  12. ^ Ehlers J (1971) 一般相対性理論と宇宙論 (Varenna)、RK Sachs (Academic Press NY)
  13. ^ Ellis GFR, (1971) 一般相対性理論と宇宙論(Varenna), RK Sachs (Academic Press NY)
  14. ^ ホーキングSW（1966）ApJ.145,44
  15. ^ Ellis, GFR; Bruni, M. (1989-09-15). 「宇宙論的密度変動に対する共変的かつゲージ不変的なアプローチ」. Physical Review D. 40 ( 6). American Physical Society (APS): 1804– 1818. Bibcode :1989PhRvD..40.1804E. doi :10.1103/physrevd.40.1804. ISSN  0556-2821. PMID  10012011.
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  19. ^ Ellis, GFR; Treciokas, R; Matravers, DR (1983). 「アインシュタイン-ボルツマン方程式の異方性解. II. 方程式のいくつかの厳密な性質」Annals of Physics . 150 (2). Elsevier BV: 487– 503. Bibcode :1983AnPhy.150..487E. doi :10.1016/0003-4916(83)90024-6. ISSN  0003-4916.

参考文献

物理宇宙論の教科書を参照してください。

  • Ellis, George FR; van Elst, Henk (1999). 「宇宙論モデル」. Marc Lachièze-Rey編著. 『理論・観測宇宙論：NATO高等研究所理論・観測宇宙論議事録』 . Cargèse Lectures 1998. NATO科学シリーズ：シリーズC. 第541巻. Kluwer Academic . pp.  1– 116. arXiv : gr-qc/9812046 . Bibcode :1999ASIC..541....1E.
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