球面三角法

球面の八分円は、3つの直角を持つ球面三角形です

球面三角法は、球面三角形の辺と角度の計量関係を扱う球面幾何学の一分野であり、伝統的に三角関数を用いて表現されます。球面上では、測地線は大円です。球面三角法は、天文学、測地学、航海における計算において非常に重要です。

ギリシャ数学における球面三角法の起源とイスラム数学における主要な発展については、『三角法の歴史と中世イスラムにおける数学』で詳しく論じられている。この分野は近世初期にジョン・ネイピア、ドゥランブルらによる重要な発展によって実を結び、19世紀末にはアイザック・トッドハンターの教科書『大学や学校で用いる球面三角法』の出版によってほぼ完成形に達した。^{[ 1 ]}それ以降、ベクトル法、四元数法、数値計算法の応用が 大きな発展を遂げてきた。

準備

3つの大円の交点によって定義される8つの球面三角形

球面多角形

球面多角形は球面の表面にある多角形です。その辺は大円の弧です。 これは球面幾何学における平面幾何学の線分に相当します

このような多角形は、1 より大きい任意の数の辺を持つことができます。2 辺を持つ球面多角形（ルーン、ダイゴン、バイアングルとも呼ばれる）は、2 つの大円弧で囲まれます。身近な例としては、オレンジの果肉の外側を向いた湾曲面が挙げられます。3 つの弧は、この記事の主題である球面三角形を定義します。より多くの辺を持つ多角形（4 辺の球面四辺形、5 辺の球面五角形など）も同様の方法で定義されます。平面多角形と同様に、4 辺を超える球面多角形は常に球面三角形の合成として扱うことができます。

興味深い特性を持つ球面多角形の一つに、すべての頂点が直角である 5 辺の球面星型多角形、ペンタグラマ・ミリフィクムがあります。

この記事のこの時点から、議論は球面三角形（単に三角形と呼ぶ）に限定されます。

表記

単位球面上の基本三角形

• 三角形の頂点と頂点における角度は、同じ大文字のA、B、Cで表されます
• 辺は小文字のa、b、cで表されます。球の半径は1なので、辺の長さと小文字の角度は等しくなります（円弧の長さを参照）。
• 角度A (それぞれBとC )は、頂点Aで球面と交差する 2 つの平面間の二面角と見なすこともできますし、同様に、頂点で交わる大円弧の接線間の角度と見なすこともできます。
• 角度はラジアンで表されます。真球面三角形の角度は（慣例により） π未満であるため、（Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.22,32）。$${\displaystyle \pi <A+B+C<3\pi}$$

特に、球面三角形の角度の合計は、ユークリッド平面上で定義された三角形の角度の合計（常に正確にπラジアン）よりも確実に大きくなります。

• 辺もラジアンで表されます。辺（大円弧とみなされる）は、中心における角度で測られます。単位球面上では、このラジアンの値は数値的に弧の長さに等しくなります。慣例的に、真球面三角形の辺はπ未満であるため、(Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.22,32)となります。$${\displaystyle 0<a+b+c<2\pi}$$
• 球面の半径は1とします。半径Rの球面上の具体的な実用問題では、以下の恒等式を用いる前に、測定された辺の長さをRで割る必要があります。同様に、単位球面上の計算では、辺a、b、cにRを掛ける必要があります 。

極三角形

極三角形△ A'B'C'

三角形△ ABCに対応する極三角形は、次のように定義されます。辺BCを含む大円を考えます 。この大円は、直径平面と表面の交点によって定義されます。中心にその平面の法線を引きます。法線は表面と2点で交わり、平面Aと同じ側にある点は（慣例的に） Aの極と呼ばれ、 A'で表されます。点B'と点C'も同様に定義されます。

三角形△ A'B'C'は三角形△ ABCに対応する極三角形である 。極三角形の角と辺は (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.27) で与えられる。したがって、 △ ABC の恒等式が証明されれば、上記の代入を行って最初の恒等式を極三角形に適用することで、直ちに2番目の恒等式を導くことができる。このようにして、補足余弦方程式は余弦方程式から導かれる。同様に、四分三角形の恒等式は直角三角形の恒等式から導くことができる。極三角形の極三角形は元の三角形である。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}}$$

3 × 3行列Mの列が位置A、B、Cである場合、逆行列M ⁻¹の行は、単位長さに正規化されると、位置A′、B′、C′となる。特に、△ A′B′C′ が△ ABCの極三角形である場合、△ ABCは△ A′B′C′の極三角形となる。

余弦定理と正弦定理

余弦定理

余弦定理は球面三角法の基本的な恒等式です。正弦定理を含む他のすべての恒等式は、余弦定理から導き出すことができます $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\[2pt]\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\\[2pt]\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.\end{aligned}}}$$

これらの恒等式は平面三角法の余弦定理を一般化したもので、微小内角の極限では漸近的に同値となる。（単位球面上では、等式 が設定されている場合など。球面余弦定理を参照。） ${\displaystyle a,b,c\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \sin a\approx a}$ ${\displaystyle \cos a\approx 1-{\frac {a^{2}}{2}}}$

正弦定理

球面正弦定理は次式で与えられます。 これらの等式は、辺が球面の半径よりもはるかに小さい場合、 平面三角法 の正弦定理に近似します$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$

余弦定理の導出

球面余弦定理は、もともと初等幾何学と平面余弦定理によって証明されていました（Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.37）。彼はまた、単純な座標幾何学と平面余弦定理を用いた導出も示しています（Art.60）。ここで概説するアプローチでは、より単純なベクトル法を用いています。（これらの手法については、球面余弦定理でも論じられています。）

単位球面上の三角形の頂点から原点へ引かれた3つの単位ベクトルOA →、OB →、OC →を考える。弧BCは中心で大きさaの角度をなすため、 OB → · OC → = cos aとなる。OA →をz軸に、OB → をxz平面に置き、 z軸と角度cをなす直交座標系を導入する。ベクトルOC →はxy平面のONに投影され、 ONとx軸の間の角度はAである。したがって、3つのベクトルの成分は以下のとおりである。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {OA}}:&\quad (0,\,0,\,1)\\{\vec {OB}}:&\quad (\sin c,\,0,\,\cos c)\\{\vec {OC}}:&\quad (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b).\end{aligned}}}$$

スカラー積OB → · OC → は、成分に関して次のようになります。 スカラー積の 2 つの式を等しくすると、 次のようになります。この式を整理すると、辺に関して角度を明示的に表すことができます。 $${\displaystyle {\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}=\sin c\sin b\cos A+\cos c\cos b.}$$ $${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.}$$ $${\displaystyle \cos A={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}.}$$

その他の余弦定理は巡回置換によって得られます。

正弦定理の導出

この導出はTodhunter ^{[ 1 ]} (Art.40)に示されている。上記の 恒等式とcos Aの明示的な表現から 、右辺はa、b、cの巡回置換に対して不変であるため、球面正弦定理が直ちに導かれる。 ${\displaystyle \sin^{2}A=1-\cos^{2}A}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[5pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$$

代替導出

基本的な余弦定理と正弦定理、および以降のセクションで展開される他の規則を導くための多くの方法があります。たとえば、Todhunter ^{[ 1 ]}は余弦定理の 2 つの証明 (記事 37 と 60) と正弦定理の 2 つの証明 (記事 40 と 42) を示しています。球面余弦定理のページには、余弦定理の 4 つの異なる証明が示されています。測地学^{[ 2 ]}と球面天文学^{[ 3 ]}の教科書にはさまざまな証明が示されており、 MathWorldのオンライン リソースではさらに多くの証明が提供されています。^{[ 4 ] Banerjee [ 5 ]}のようなさらに変わった導出もあり、彼は射影行列の線型代数を使用して公式を導き、微分幾何学と回転の群論の方法も引用しています。

上で示した余弦定理の導出には、単純さと直接性という利点があり、正弦定理の導出では、余弦定理以外の別の証明が必要ないという事実が強調されています。ただし、上記の幾何学を使用して正弦定理を独立に証明することができます。スカラー三重積OA → · ( OB → × OC → )は、示されている基底でsin b sin c sin Aと評価されます。同様に、 OB →に沿ってz軸を向いた基底では、三重積OB → · ( OC → × OA → )はsin c sin a sin Bと評価されます。したがって、巡回置換に対する三重積の不変性により、sin b sin A = sin a sin Bが得られ、これが最初の正弦定理です。この導出の詳細については、 正弦定理の曲線バリエーションを参照してください。

微分変化

微分da、db、dc、dA、dB、dCのいずれか3つがわかっている場合、余弦定理を微分し、正弦定理を用いて得られる次の式を用いて、消去法で他の3つを計算できます。^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}da=\cos C\ db+\cos B\ dc+\sin b\ \sin C\ dA,\\db=\cos A\ dc+\cos C\ da+\sin c\ \sin A\ dB,\\dc=\cos B\ da+\cos A\ db+\sin a\ \sin B\ dC.\\\end{aligned}}}$$

恒等式

補足余弦定理

極三角形に余弦定理を適用すると（Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.47）、すなわちAをπ − aに、aをπ − Aなどに置き換えると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}}$$

余接の4部構成の公式

三角形の6つの部分は、循環的に( aCbAcB )と表記されます。コタンジェント、または4つの部分からなる公式は、三角形の周囲に4つの連続する部分を形成する2辺と2つの角度を関連付けます。たとえば、( aCbA )またはBaCb )のように。このような集合には、内側の部分と外側の部分があります。たとえば、集合( BaCb )では、内角はC 、内辺はa、外角はB、外辺はbです。コタンジェントの法則は(Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.44) と表記され 、6つの可能な方程式は次のとおりです（関連する集合は右側に示されています）。 最初の公式を証明するには、最初の余弦定理から始め、右側に3番目の余弦定理 のcos cを代入します。 結果はsin a sin bで割ることで得られます。他の2つの余弦定理と同様の手法で、CT3とCT5が得られます。他の3つの方程式は、極三角形に規則1、3、および5を適用することで得られます $${\displaystyle \cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}=\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}-\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )},}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\text{(CT1)}}&&\qquad \cos b\,\cos C&=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C\qquad &&(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&&\cos b\,\cos A&=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A&&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&&\cos c\,\cos A&=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A&&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&&\cos c\,\cos B&=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B&&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&&\cos a\,\cos B&=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B&&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&&\cos a\,\cos C&=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C&&(BaCb)\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}}$$

半角と半辺の公式

と​${\displaystyle 2s=(a+b+c)}$ ${\displaystyle 2S=(A+B+C),}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sin {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}&\qquad \qquad \sin {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\cos {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}&\cos {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}&\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{alignedat}}}$$

巡回置換により、さらに 12 個の恒等式が続きます。

最初の式の証明（Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.49）は、余弦定理を用いてAを辺で表し、2つの余弦の和を積に置き換える恒等式から始まります。（和と積の恒等式を参照）。2番目の式は恒等式から始まり、3番目は商、そして余りは結果を極三角形に適用することで得られます。 ${\displaystyle 2\sin ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1-\cos A,}$ ${\displaystyle 2\cos ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1+\cos A,}$

デランブル類推

デランブル類推（ガウス類推とも呼ばれる）は、1807年から1809年にかけてデランブル、ガウス、モルワイデによって独立して出版されました。^{[ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\end{aligned}}}$$ 巡回置換により、さらに 8 つの恒等式が続きます。

分子を展開し、半角の公式を用いて証明した。（Todhunter ^{[ 1 ]}第54節、Delambre ^{[ 8 ]}）

ネイピアの類推

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\end{aligned}}}$$

巡回置換により、さらに8つの恒等式が導かれる。

これらの恒等式は、ドゥランブルの公式の除算により導かれる。(Todhunter, ^{[ 1 ]}第52条)

これらの商をとると正接の法則が得られる。これはペルシャの数学者ナスィルッディーン・アルトゥースィー（1201-1274） によって初めて述べられた。

$${\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}}$$

直角球面三角形のネイピアの法則

球面三角形の角の一つ、例えばCがπ /2に等しい場合、上記の様々な恒等式は大幅に簡略化されます。集合a、b、c、A、Bから選ばれた3つの元を関連付ける恒等式は10通りあります。

ネイピア^{[ 9 ]}は10個の独立した方程式のための簡潔な記憶法を提供した。この記憶法はネイピアの円またはネイピアの五角形（上図の円を五角形に置き換えたもの）と呼ばれる。

まず、三角形の6つの部分（3つの頂点角、3つの辺の弧角）を、三角形のどの円周にも現れる順に書き出します。左図の三角形では、aから時計回りに書き始めるとaCbAcBとなります。次に、 Cに隣接していない部分（A、c、B）をそれぞれの補角に置き換え、リストから角Cを削除します。残りの部分は、上図（右）に示すように、五角形または円の5つの均等なスライスとして描くことができます。隣接する3つの部分のうち、いずれか1つ（中央の部分）が2つの部分に隣接し、他の2つの部分と反対側になります。ネイピアの10の法則は次のように与えられます。

• 中央部分の正弦 = 隣接する部分の接線の積
• 中央部分の正弦 = 反対側部分の余弦の積

どの三角関数がどの部分に当てはまるかを覚える鍵は、その部分の最初の母音を見ることです。真ん中の部分は正弦、隣接する部分は正接、反対側の部分は余弦となります。例えば、三角形を含む扇形から始めると、次のようになります。 直角球面三角形の規則の完全なセットは、(Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.62) です。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a&=\tan({\tfrac {\pi }{2}}-B)\,\tan b\\[2pt]&=\cos({\tfrac {\pi }{2}}-c)\,\cos({\tfrac {\pi }{2}}-A)\\[2pt]&=\cot B\,\tan b\\[4pt]&=\sin c\,\sin A.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}}$$

四分円三角形のネイピアの法則

記憶術に使われる四分円球面三角形とネイピアの円

四分円球面三角形とは、球面の中心において、辺の1つがπ /2ラジアンの角度を成す球面三角形と定義されます。単位球面上で、その辺の長さはπ /2です。単位球面上で辺cの長さがπ /2である場合、 残りの辺と角度を規定する方程式は、前節の直角球面三角形の規則を、辺a'、b'、c'を持つ極三角形△ A'B'C'に適用することで得られます。A ' = π − a、a' = π − Aなどです。結果は以下のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}}$$

5つの部分からなる規則

2番目の余弦定理を1番目の余弦定理に代入して簡略化すると、次のようになります。sin c の因数を消去すると、次のよう になります$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A\\[4pt]\cos a\,\sin ^{2}c&=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A}$$

他の余弦および補助余弦の公式にも同様の置き換えを施すことで、5部構成の多様な規則が得られます。しかし、これらの規則はほとんど使用されません。

カニョーリの方程式

最初の余弦定理にcos aを掛けると 、同様に最初の補足余弦定理にcos aを 掛ける と、この2つを 減算 し、正弦定理から導かれることに注目すると、 球面三角形の6つの部分間の関係であるカニョーリ の方程式が得られ ます。 ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \cos a\cos A=\cos b\,\cos c\,\cos A+\sin b\,\sin c-\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A.}$$ $${\displaystyle \cos a\cos A=-\cos B\,\cos C\,\cos a+\sin B\,\sin C-\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a.}$$ ${\displaystyle \sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A=\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a}$ $${\displaystyle \sin b\,\sin c+\cos b\,\cos c\,\cos A=\sin B\,\sin C-\cos B\,\cos C\,\cos a}$$

三角形の解

斜三角形

三角形の解は球面三角法の主な目的です。三角形の3つ、4つ、または5つの要素が与えられたら、他の要素を決定します。5つの要素が与えられた場合は自明で、正弦定理を1回適用するだけで済みます。4つの要素が与えられた場合、自明でないケースが1つあり、これについては後述します。3つの要素が与えられた場合、6つのケースがあります。3辺、2辺と内角または対角、2つの角度と内角または対辺、または3つの角度です。（最後のケースは平面三角法には類似するものがありません。）すべてのケースを解く単一の方法はありません。下の図は7つの自明でないケースを示しています。それぞれの場合、与えられた辺は横棒で、与えられた角度は円弧で示されています。（与えられた要素は三角形の下にも記載されています。）ここでのASAなどの要約表記では、Aは与えられた角度、Sは与えられた辺を指し、表記法におけるAとSの順序は三角形内の対応する順序を表します

• ケース1：3辺が与えられている場合（SSS）。 角度A、B、Cを求めるのに余弦定理を用いることもできますが、曖昧さを避けるため、半角の公式を用いるのが望ましいです。
• ケース2：2辺と夾角が与えられている場合（SAS）。余弦定理によりaが得られ、ケース1に戻ります。
• ケース3：2辺と対角が与えられている（SSA）。正弦定理からCが得られ、ケース7となる。解は1つまたは2つ存在する。
• ケース4：2つの角度と1つの内接辺が与えられている（ASA）。集合（ cBaC）と（BaCb）の4つの部分からなる余接公式からcとbが得られ、正弦定理からAが導かれる。
• ケース5：2つの角度と対辺が与えられている（AAS）。正弦定理からbが得られるので、ケース7（回転）となる。解は1つまたは2つ存在する。
• ケース6：3つの角度が与えられている場合（AAA）。補助余弦定理を用いて辺a、b、cを求めることもできますが、曖昧さを避けるため、半辺公式を用いる方が望ましいです。
• ケース7：2つの角度と2つの対辺が与えられている（SSAA）。aとAについてネイピアの類推を用いるか、ケース3（SSA）またはケース5（AAS）を用いる。

ここで挙げた解法は、唯一の選択肢ではありません。他にも多くの解法があります。一般的に、角度とその補角の間に曖昧さが生じる可能性があるため、逆正弦法を避ける方法を選択することをお勧めします。半角はπ /2未満となるため曖昧さがなくなるため、半角の公式の使用が推奨されることが多いです。Todhunterに詳しい解説があります。三角形の解法#球面三角形の解法の記事では、これらの方法を若干異なる表記法で示しています。

斜三角形の解法については、トッドハンター^{[ 1 ]に詳しく論じられている。第6章} ロスの論述も参照のこと。^{[ 11 ]}ナスィルッディーン・アルトゥースィーは、球面三角法における直角三角形の6つの異なるケース（図の2～7）を初めて列挙した人物である。^{[ 12 ]}

直角三角形による解

別の方法としては、三角形を2つの直角三角形に分割する方法があります。例えば、ケース3の例で、b、c、Bが与えられているものとします。 Aから、点Dにおいて辺BCに垂直な大円を描きます。ネイピアの法則を用いて三角形△ ABDを解きます。つまり、 cとBを用いて、辺ADとBD 、および角∠ BADを求めます。次に、ネイピアの法則を用いて三角形△ ACD を解きます。つまり、ADとbを用いて、辺DC、角C 、および角 ∠ DACを求めます。角Aと辺a は、足し算によって求められます。

数値的考察

得られた規則のすべてが、例えば角度が0または πに近づくような極端な例では数値的に堅牢であるとは限りません。特に任意の三角形を解くコードを書く場合は、問題と解を慎重に検討する必要があるかもしれません

面積と球面過剰

レクセルの定理: 固定底AB上の面積が一定である三角形は、 AとBの反対称点を通る小円上に自由頂点Cを持ちます。

N辺の球面多角形を考え 、 _n番目の内角をAnとします。このような多角形の面積は次のように与えられます (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.99) $${\displaystyle {{\text{Area of polygon}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E_{N}={\biggl (}\sum _{n=1}^{N}A_{n}{\biggr )}-(N-2)\pi .}$$

球面多角形の三角形分割により、この定理の証明は球面三角形の証明に簡略化できます。 角A、B、C を持つ球面三角形の場合、これはジラールの定理 です。 ここでEは角度の和がπラジアンを超える量であり、三角形の球面超過と呼ばれます。この定理は、その考案者であるアルバート・ジラールにちなんで名付けられました。^{[ 13 ]}以前の証明は、 1603年にイギ​​リスの数学者トーマス・ハリオットによって導かれましたが、公表されていませんでした。^{[ 14 ]}半径Rの球面上では、上記の両方の面積式にR ²が掛けられます。超過の定義は、球面の半径とは無関係です。 $${\displaystyle {{\text{Area of triangle}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E=E_{3}=A+B+C-\pi ,}$$

逆の結果は次のように書ける。

$${\displaystyle A+B+C=\pi +{\frac {4\pi \times {\text{Area of triangle}}}{\text{Area of the sphere}}}.}$$

三角形の面積は負にはなり得ないため、球面剰余は常に正になります。角度の和が5π（真角の場合は3π）に達することもあるため、必ずしも小さくなるわけではありません。例えば、球面の八分円は3つの直角を持つ球面三角形であるため、剰余はπ /2です。実際の応用では、この剰余は小さい場合が多く、例えば測地測量の三角形では、球面剰余は通常1秒角よりはるかに小さくなります。^{[ 15 ]}地球上では、辺の長さが21.3km（面積は393km ^{2 ）の}正三角形の剰余は約1秒角です。

超過分に関する公式は数多く存在します。例えば、Todhunter ^{[ 1 ]} (Art.101—103) は、L'Huilierの例を含む10個の例を挙げています。 ここで。この公式は、平面三角形に対するヘロンの公式を彷彿とさせます。 $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{4}}E={\sqrt {\tan {\tfrac {1}{2}}s\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-a)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-b)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-c)}}}$$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

三角形の中には辺によって特徴づけられないものもあるので（例えば）、2辺とその夾角に関する余剰の公式を使う方がよい場合が多い。 ${\textstyle a=b\approx {\frac {1}{2}}c}$ $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E={\frac {\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\sin C}{1+\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\cos C}}.}$$

三角形△ ABCがCで直角を持つ直角三角形のとき、cos C = 0、sin C = 1となるので、これは次のように簡約される。 $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E=\tan {\tfrac {1}{2}}a\tan {\tfrac {1}{2}}b.}$$

角度の不足は双曲幾何学でも同様に定義されます。

緯度と経度から

赤道、経度と 緯度の2つの子午線、および経度と緯度の2点間の大円弧で囲まれた球面四角形の球面余剰は、 ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2},}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\varphi _{1})}$ ${\displaystyle (\lambda _{2},\varphi _{2})}$ $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E_{4}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\lambda _{2}-\lambda _{1}).}$$

この結果はネイピアの類推の一つから得られる。 がすべて小さい極限では、これはおなじみの台形面積 に帰着する。 ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}}$ ${\textstyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

多角形の面積は、上記のような個々の四角形から計算することも、（同様に）多角形の一部と2本の子午線で囲まれた個々の三角形から計算することも、^{グリーンの}定理を用いた線積分から^計算することも、あるいはGISで一般的に用いられる等面積投影法から計算する^{こともできます。大円}距離の公式を用いて辺の長さを計算した他のアルゴリズム^も使用できます。

関連項目

• 航空航法
• 天体航法
• 楕円体三角法
• 大圏距離または球面距離
• 双曲三角形
• レナート球
• シュワルツの三角形
• 球面幾何学
• 球面多面体
• 三角測量（測量）

参考文献

1. Todhunter, Isaac (1886). Spherical Trigonometry (5th ed.). MacMillan . 2013年7月28日閲覧
2. クラーク、アレクサンダー・ロス (1880).測地学. オックスフォード: クラレンドン・プレス. OCLC 2484948 –インターネット・アーカイブ経由. 
3. Smart, WM (1977).球面天文学教科書（第6版）. Cambridge University Press. 第1章 –インターネットアーカイブより。
4. Weisstein, Eric W. 「球面三角法」MathWorld . 2018年4月8日閲覧。
5. Banerjee, Sudipto (2004)、「直交射影による球面三角法の再検討」、The College Mathematics Journal、35 (5)、Mathematical Association of America: 375– 381、doi : 10.1080/07468342.2004.11922099、JSTOR 4146847 、 2016年1月10日取得 
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7. トッドハンター、アイザック(1873). 「球面三角法における特定の公式の歴史に関する注記」.ロンドン、エディンバラ、ダブリン哲学雑誌および科学ジャーナル. 45 (298): 98–100 . doi : 10.1080 / 14786447308640820
8. デランブル、JBJ (1807)。コネサンス デ テム 1809。 p. 445 。2016 年 5 月 14 日に取得。
9. ネイピア、J (1614)。Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio。 p. 50 ．2016 年 5 月 14 日に取得。 ウィリアム・レイ・マクドナルド訳（1889年）『対数公式の構築』エディンバラ：ウィリアム・ブラックウッド・アンド・サンズ。
10. ショーヴネ、ウィリアム (1867). 『平面および球面三角法に関する論文』フィラデルフィア: JB Lippincott & Co. p. 165. 2021年7月11日閲覧。
11. ロス、デブラ・アン著『マスター数学：三角法』キャリア・プレス、2002年。
12. ジョン・J・オコナー; Robertson、Edmund F.、「Nasir al-Din al-Tusi」、MacTutor History of Mathematics Archive、セント アンドリュース大学アル＝トゥーシの数学における最も重要な貢献の一つは、三角法を天文学の応用のための道具としてではなく、それ自体が数学の分野として確立したことです。『四辺形論』において、アル＝トゥーシは平面三角法と球面三角法の体系全体を現存する最初の解説を与えました。この著作は、純粋数学の独立した分野としての三角法に関する歴史上最初の著作であり、直角球面三角形の6つのケースすべてを網羅した最初の著作でもあります。
13. ジラールの定理のもう一つの証明: Polking (1999)「球面三角形の面積。ジラールの定理。」 (個人ウェブサイトのミラー)。
14. アリアンロッド、ロビン (2019). 『トーマス・ハリオット：科学に生きる人生』 ニューヨーク：オックスフォード大学出版局. p. 161. ISBN 978-0-19-027185-5。
15. これは、球面三角形の面積が地球全体の表面積に比べて小さい場合、ルジャンドルの定理から導かれます。クラーク、アレクサンダー・ロス（1880年）。『測地学』クラレンドン・プレスを参照 （第2章と第9章）。
16. Chamberlain, Robert G.; Duquette, William H. (2007年4月17日).球面上の多角形のためのいくつかのアルゴリズム. アメリカ地理学者協会年次会議. NASA JPL . 2020年8月7日閲覧。
17. 「球面または楕円体上の多角形の表面積 – MATLAB areaint」 . www.mathworks.com . 2021年5月1日閲覧。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W. 「球面三角法」MathWorldより詳細なアイデンティティのリストと、いくつかの派生
• ワイスタイン、エリック W. 「球面三角形」。MathWorld 。より詳細なアイデンティティのリストと、いくつかの派生
• TriSph球面三角形を解くための無料ソフトウェア。さまざまな実用的なアプリケーションに合わせて設定可能で、心射角法用に構成されています。
• Sudipto Banerjee著「直交射影法を用いた球面三角法の再考」。本論文では、初等線形代数と射影行列を用いて球面余弦定理と球面正弦定理を導出する。
• 「ジラールの定理の視覚的証明」 Wolframデモンストレーションプロジェクトオケイ・アリック
• 「変則平面と単純平面に関する教本」は1740年に遡るアラビア語の写本で、球面三角法について図解とともに解説している。
• 球面上の多角形のためのアルゴリズム ロバート・G・チェンバレン、ウィリアム・H・デュケット、ジェット推進研究所。本論文では、航海と地図作成に焦点を当てつつ、多くの有用な公式を展開し、解説しています。
• 球面三角形のオンライン計算