多項式関数

代数学において、多項式関数（たいほうかん）とは、有限次元ベクトル空間の圏における自己関数で、ベクトル空間に多項式的に依存する関数である。例えば、対称冪と外冪はからへの多項式関数であり、これら2つはシュール関数でもある。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V\mapsto \operatorname {Sym} ^{n}(V)}$ ${\displaystyle V\mapsto \wedge ^{n}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

この概念は表現論だけでなく圏論（関手計算）にも現れる。特に、 n次の同次多項式関手の圏は、標数零の体上の対称群の有限次元表現の圏と同値である。^[1] ${\displaystyle S_{n}}$

意味

k を特性零の体とし、有限次元kベクトル空間とk線型写像の圏とする。自己関数が多項式関数であるとは、以下の同値な条件が成立する場合である。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}}$

• におけるベクトル空間X、Yのすべてのペアに対して、マップは多項式マッピング（つまり、線形形式のベクトル値多項式）です。${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle F\colon \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))}$
• における線型写像が与えられると、で定義される関数はに係数を持つ多項式関数になります。${\displaystyle f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r})\mapsto F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$ ${\displaystyle k^{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))}$

多項式関数がn次同次であるとは、共通の定義域と共定義域を持つ内の任意の線型写像に対して、ベクトル値多項式がn次同次であることを意味します。 ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$

変種

「有限ベクトル空間」を「有限集合」に置き換えると、組み合わせ種（正確には、多項式の性質を持つ種） の概念が得られます。

参考文献

1. マクドナルド 1995、第I章付録A: 5.4。

• マクドナルド、イアン・G. (1995).対称関数とホール多項式. オックスフォード: クラレンドン・プレス. ISBN 0-19-853489-2OCLC  30733523 。MR  1354144