プレジオメトリ（モデル理論）

プレジオメトリ（Pregeometry）、そして完全な意味でのコンビナトリアル・プレジオメトリ（Combinatorial Pregeometry）は、本質的に「マトロイド」の同義語です。これらはジャン＝カルロ・ロータによって、「言いようのないほど耳障り」ではない代替用語を提供することを目的として導入されました。また、コンビナトリアル・ジオメトリ（Combinatorial Geometry）という用語は、「単純マトロイド」に代わるものとして考案されました。これらの用語は現在、マトロイドの研究ではほとんど使用されていません。

線形代数の多くの基本概念（閉包、独立性、部分空間、基底、次元）は、前幾何学の一般的な枠組みで利用できることが わかります。

数理論理学の分野であるモデル理論では、無限有限マトロイド（ここでは「前幾何学」（単純マトロイドの場合は「幾何学」）と呼ばれる）が独立性現象の議論に用いられます。前幾何学、幾何学、そして抽象閉包作用素が一階モデルの構造にどのような影響を与えるかを研究する研究は、幾何学的安定性理論と呼ばれます。

モチベーション

が何らかの体上のベクトル空間であり、が からのベクトルの線形結合全体の成す集合（ の張点とも呼ばれる）であると定義する。すると、とが成り立つ。シュタイニッツ交換補題は、ならば という命題と同値である。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\subseteq V}$ ${\displaystyle {\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq {\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle {\text{cl}}({\text{cl}}(A))={\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow {\text{cl}}(A)\subseteq {\text{cl}}(B)}$ ${\displaystyle b\in {\text{cl}}(A\cup \{c\})\smallsetminus {\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle c\in {\text{cl}}(A\cup \{b\}).}$

線型代数における独立集合、生成集合、基底、次元といった概念は、すべて-演算子のみを用いて表現できます。前幾何学はこの状況を抽象化したものです。任意の集合と、 の部分集合の各部分集合に上記の性質を満たす任意の演算子を代入するものとします。こうして、このより一般的な設定において、「線型代数」の概念を定義することができます。 ${\displaystyle {\text{cl}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{cl}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle S}$

この一般化された次元の概念はモデル理論では非常に役立ち、特定の状況では次のように主張できます。同じ基数を持つ 2 つのモデルは同じ次元を持つ必要があり、同じ次元を持つ 2 つのモデルは同型である必要があります。

定義

プレジオメトリとジオメトリ

組合せ的前幾何学（有限マトロイドとも呼ばれる）は のペアであり、は集合であり、（閉包写像と呼ばれる）は次の公理を満たします。すべてのおよびに対して、次の公理が成り立ちます。 ${\displaystyle (S,{\text{cl}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{cl}}:{\mathcal {P}}(S)\to {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle a,b,c\in S}$ ${\displaystyle A,B\subseteq S}$

1. ${\displaystyle {\text{cl}}:({\mathcal {P}}(S),\subseteq )\to ({\mathcal {P}}(S),\subseteq )}$ は単調増加であり、支配的 （すなわち、を意味する）であり、べき等性（すなわち、）である。${\displaystyle {\text{id}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle A\subseteq {\text{cl}}(A)\subseteq {\text{cl}}(B)}$ ${\displaystyle {\text{cl}}({\text{cl}}(A))={\text{cl}}(A)}$
2. 有限の性質: それぞれには有限の性質があります。${\displaystyle a\in {\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle F\subseteq A}$ ${\displaystyle a\in {\text{cl}}(F)}$
3. 交換原理: ならば（したがって単調性とべき等性により）。${\displaystyle b\in {\text{cl}}(A\cup \{c\})\smallsetminus {\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle c\in {\text{cl}}(A\cup \{b\})}$ ${\displaystyle c\in {\text{cl}}(A\cup \{b\})\smallsetminus {\text{cl}}(A)}$

いくつかの に対しての形をとる集合は閉集合と呼ばれます。したがって、閉集合の有限集合は閉じており、 はを含む最小の閉集合であることは明らかです。 ${\displaystyle {\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A\subseteq S}$ ${\displaystyle {\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A}$

ジオメトリは、シングルトンの閉包がシングルトンであり、空集合の閉包が空集合であるプレジオメトリです。

独立性、基盤、次元

集合 が与えられたとき、任意の に対して が上で独立であるとき、は 上で独立である。が空集合 上で独立であるとき、 は独立であると言う。${\displaystyle A,D\subseteq S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle a\notin {\text{cl}}((A\setminus \{a\})\cup D)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle A}$

集合が および 上で独立である場合、その集合は上のの基底となります。 ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A\subseteq {\text{cl}}(B\cup D)}$

基底は最大独立部分集合と同じであり、ゾルンの補題を用いることで、あらゆる集合には基底が存在することが示せます。前幾何学はシュタイニッツ交換性を満たすので、すべての基底は同じ濃度を持ちます。したがって 、上の の次元（ と書きます）を上の任意の基底の濃度として定義できます。繰り返しますが、の次元は空集合上の次元として定義されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\text{dim}}_{D}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\text{dim}}A}$ ${\displaystyle A}$

が の有限部分集合であるとき、集合は上で独立である。この関係は対称的である点に注意されたい。 ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\text{dim}}_{B\cup D}A'=\dim _{D}A'}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$

自己同型と同次前幾何学

前幾何学の自己同型とは、任意のに対してとなるような一対一写像である。 ${\displaystyle (S,{\text{cl}})}$ ${\displaystyle \sigma :S\to S}$ ${\displaystyle \sigma ({\text{cl}}(X))={\text{cl}}(\sigma (X))}$ ${\displaystyle X\subseteq S}$

任意の閉じた要素と任意の 2 つの要素に対して、その自己同型が存在し、それが点ごとに固定される場合、前幾何学は同質であると言われます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\subseteq S}$ ${\displaystyle a,b\in S\setminus X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$

関連する幾何学と位置

プレジオメトリが与えられたとき、それに関連するジオメトリ（文献では標準ジオメトリと呼ばれることもある ）は、${\displaystyle (S,{\text{cl}})}$ ${\displaystyle (S',{\text{cl}}')}$

1. ${\displaystyle S'=\{{\text{cl}}(a)\mid a\in S\setminus {\text{cl}}(\varnothing )\}}$ 、 そして
2. いずれの場合も、${\displaystyle X\subseteq S}$ ${\displaystyle {\text{cl}}'(\{{\text{cl}}(a)\mid a\in X\})=\{{\text{cl}}(b)\mid b\in {\text{cl}}(X)\}}$

同次プレジオメトリの関連ジオメトリが同次であることは簡単にわかります。

の局所化が与えられれば、 は事前幾何学です。 ${\displaystyle A\subseteq S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S,{\text{cl}}_{A})}$ ${\displaystyle {\text{cl}}_{A}(X)={\text{cl}}(X\cup A)}$

プレジオメトリの種類

プレジオメトリは次のように言われています。 ${\displaystyle (S,{\text{cl}})}$

• すべての空でない に対してが自明(または退化)であるとき。${\displaystyle {\text{cl}}(X)=\bigcup \{{\text{cl}}(a)\mid a\in X\}}$ ${\displaystyle X\subseteq S}$
• 任意の 2 つの有限次元閉集合が次式を満たす場合、はモジュラーです(または、が上でから独立していることと同等です)。${\displaystyle X,Y\subseteq S}$ ${\displaystyle {\text{dim}}(X\cup Y)={\text{dim}}(X)+{\text{dim}}(Y)-{\text{dim}}(X\cap Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\cap Y}$
• モジュラーであるシングルトンにローカライズされている場合は、ローカルにモジュラーになります。
• 非自明かつ(局所的に)モジュラーである場合、(局所的に)射影的。
• 有限集合の閉包が有限であれば局所有限である。

自明性、モジュール性、およびローカル モジュール性は、関連付けられたジオメトリに渡され、ローカリゼーションによって保持されます。

が局所的にモジュラーな同次前幾何学である場合、におけるの局所化はモジュラーです。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in S\setminus {\text{cl}}(\varnothing )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$

幾何学がモジュラーである場合、それは、、そしてのときのみです。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a,b\in S}$ ${\displaystyle A\subseteq S}$ ${\displaystyle {\text{dim}}\{a,b\}=2}$ ${\displaystyle {\text{dim}}_{A}\{a,b\}\leq 1}$ ${\displaystyle ({\text{cl}}\{a,b\}\cap {\text{cl}}(A))\setminus {\text{cl}}(\varnothing )\neq \varnothing }$

例

些細な例

が任意の集合である場合、すべての に対して定義できます。この前幾何学は、自明で同次な局所有限幾何学です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{cl}}(A)=A}$ ${\displaystyle A\subseteq S}$

ベクトル空間と射影空間

を体（実際には分環で十分）とし、を上のベクトル空間とします。するとは前幾何学であり、集合の閉包はその範囲として定義されます。閉集合は の線型部分空間であり、線型代数における次元の概念は前幾何学の次元と一致する。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

この前幾何学は同次かつモジュラーである。ベクトル空間はモジュラー性の典型的な例と考えられている。

${\displaystyle V}$ が局所的に有限である場合、かつ が有限である場合に限ります。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle V}$ は幾何学ではありません。任意の非自明なベクトルの閉包は、少なくとも のサイズの部分空間だからです。 ${\displaystyle 2}$

上の -次元ベクトル空間に付随する幾何学は、上の-次元射影空間である。この前幾何学が射影幾何学であることは容易に分かる。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (\kappa -1)}$ ${\displaystyle F}$

アフィン空間

を体 上の-次元アフィン空間とする。集合 が与えられたとき、その閉包をそのアフィン包（すなわち、それを含む最小のアフィン部分空間）と定義する。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle F}$

これにより、同次次元幾何学が形成されます。 ${\displaystyle (\kappa +1)}$

アフィン空間はモジュラー空間ではありません（例えば、と が平行線である場合、モジュラー性の定義における式は成り立ちません）。しかし、すべての局所化がモジュラーであることは簡単に確認できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

フィールド拡張と超越度

を体拡大とする。集合 はに対してと定義すれば前幾何となる。集合 がこの前幾何において独立であることは、 が に対して代数的に独立であることと同値である。の次元は超越次数と一致する。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\text{cl}}(A)=\{x\in L:x{\text{ is algebraic over }}K(A)\}}$ ${\displaystyle A\subseteq L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{trdeg}}(K(A)/K)}$

モデル理論では、代数的に閉じている場合とその素体の場合が特に重要です。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

ベクトル空間はモジュラーであり、アフィン空間は「ほぼ」モジュラー（つまり、どこでも局所的にモジュラー）ですが、代数的に閉じた体はもう一方の極端な例であり、局所的にもモジュラーではありません（つまり、どの局所化もモジュラーではありません）。

モデル理論における強極小集合

可算一階言語LとL構造 M が与えられたとき、Mの任意の定義可能部分集合Dが強極小であれば、集合D上の前幾何学が生じる。ここでの閉包作用素は、モデル理論的な意味での代数的閉包によって与えられる。

強極小理論のモデルは、その次元によって前幾何学として同型性まで決定されます。この事実は、モーリーの圏定理の証明に使用されます。

安定理論上の最小集合では、独立関係はフォーク独立性の概念と一致します。

参考文献

• HH Crapo、G.-C. Rota (1970)、 「組合せ理論の基礎について：組合せ幾何学」、MIT Press、マサチューセッツ州ケンブリッジ。
• ピレイ、アナンド（1996） 「幾何安定性理論」オックスフォード論理ガイド、オックスフォード大学出版局。
• Casanovas, Enrique (2008-11-11). 「前幾何学と極小型」(PDF) .