部分的な社会的選択

分数的、確率的、あるいは加重的社会選択は、社会選択理論の一分野であり、集団的意思決定は単一の選択肢ではなく、2つ以上の選択肢の加重和によって決定される。^[1]例えば、社会が3つの候補（A、B、C）から選択しなければならない場合、標準的な社会選択ではこれらの候補のうち1つだけが選択される。一方、分数的社会選択では、これらの候補の任意の線形結合、例えば「Aの2/3とBの1/3」を選択することが可能である。^[2]

加重和の一般的な解釈は、候補者Aが2/3の確率で選ばれ、候補者Bが1/3の確率で選ばれる宝くじのようなものだと解釈されます。このルールは、例えば次のように、分配のレシピとして解釈することもできます。

• 時間共有: 候補 A は (決定論的に) 2/3 の時間選択され、候補 B は 1/3 の時間選択されます。
• 予算配分: 候補者 A は予算の 2/3 を受け取りますが、候補者 B は予算の 1/3 を受け取ります。
• 異なる権利を持つ公平な分割は、異種のリソースを候補 A と候補 B の間で権利を 2/3 と 1/3 に分割するためにも使用できます。

正式な定義

選択肢（候補者とも呼ばれる）の有限集合と、投票者（エージェントとも呼ばれる）の有限集合が存在します。投票者は選択肢に対して異なる選好を持つ場合があります。エージェントの選好は、いくつかの方法で表現できます。

• 二分的選好- 各有権者は、自分にとって全てが同等である「承認候補者」の集合を持っている。このモデルは、部分的承認投票のページで詳しく説明されている。

• 選好関係- 各有権者は候補者の順位付けを行います。この関係は「厳密」または「弱い」のいずれかになります。 「厳密」とは、「同点」がないことを意味します。つまり、エージェントは常にいずれかの候補者を好みます。「弱い」とは、 「同点」が存在する可能性があることを意味します。つまり、エージェントは2人以上の候補者の間で無関心になる可能性があります。
• 理想的な配分 - 各有権者は、候補者間の確率／時間／予算の理想的な配分を念頭に置いています。このモデルは、予算案の集約に関するページで詳しく説明されています。

ランダム社会選択関数（RSCF）は、有権者の選好関係の集合を入力として受け取ります。出力として「混合」を返します。これは、[0,1]の範囲にある実数のベクトルpで、各候補者に1つの数値が割り当てられ、その合計は1になります。この混合は、確率p ( x )で各候補者xに等しい値を持つランダム変数（宝くじ）として解釈できます。また、各候補者に一定の割合で割り当てる決定論的な割り当てとして解釈することもできます。

有権者は単一の候補者に対する選好のみを表明するため、RSCFを評価するには、これらの選好を混合候補者に対する選好へと「持ち上げる」必要があります。この持ち上げるプロセスはしばしば宝くじ拡張と呼ばれ、いくつかの確率的順序付けのいずれかをもたらします。

プロパティ

基本的なプロパティ

RSCFに求められる2つの基本的な特性は、匿名性（投票者の名前は重要ではない）と中立性（結果の名前は重要ではない）です。匿名性と中立性は、決定論的な社会選択関数では必ずしも満たされるわけではありません。例えば、2人の投票者と2つの選択肢AとBがあり、それぞれの投票者が異なる選択肢を望む場合、匿名性と中立性の唯一の組み合わせは1/2*A+1/2*Bです。したがって、基本的な公平性を保証するには、これらの組み合わせの使用が不可欠です。^{[3] : 1}

一貫性特性

次のプロパティは、投票者の集合または選択肢の集合の変更に関係します。

コンドルセ一貫性- コンドルセ勝者が存在する場合、関数は、この勝者が 1 を取得し、他の選択肢が 0 を取得する退化した混合を返します (つまり、コンドルセ勝者は確率 1 で選択されます)。

アジェンダの一貫性- p を混合とし、A,B をpの支持を含む選択肢の集合とする。このとき、関数はA と B の和集合に対してp を返す場合と、A と B に対してpを返す場合とが同じである。この性質は、Sen によって拡張/収縮と呼ばれた。^{[4] [5] [6]}

人口の一貫性- 関数が2つの分離した投票者集合に対して混合pを返す場合、それらの和集合に対しても同じpを返します。^{[7] [8] [9]}

クローンの独立性（クローン一貫性とも呼ばれる） - ある選択肢が「クローン化」され、すべての投票者がそのクローンを互いに近い順位にランク付けした場合、返される混合物における他のすべての選択肢の重み（確率）は影響を受けません。 ^[9]

• そのより強力なバリエーションは構成の一貫性です。これは、各コンポーネントにおいて、各選択肢の重みが、そのコンポーネントを個別に検討したときの重みに比例していることも要求します。

これらの特性により、中央プランナーは選択肢の分割、選択肢の複製、人口の分割などの単純な操作を実行できないことが保証されます。

一貫性プロパティは個々の選択肢の順位付けのみに依存し、混合物の順位付けは必要ないことに注意してください。

混合比較特性

以下の特性は、混合の比較に関係する。これらを正確に定義するには、投票者が混合をどのように順位付けるかについての仮定が必要である。そのためには、宝くじの確率的順序付けが必要となる。このような順序付けはいくつか存在するが、社会選択理論において最も一般的なものは、強さの順に、DD（決定論的優位性）、BD（双線型優位性）、SD（確率的優位性）、PC（一対比較優位性）である。定義と例については、確率的順序付けを参照のこと。

効率性- 少なくとも1人の投票者にとってより良い組み合わせは存在せず、かつすべての投票者にとって少なくとも同等に良い組み合わせも存在しない。DD効率性、BD効率性、SD効率性、PC効率性、そして事後効率性（最終結果は常に効率的である）を定義できる。

戦略不可能性- 虚偽の選好を報告しても、有権者にとってより良い組み合わせにはならない。ここでも、DD戦略不可能性、BD戦略不可能性、SD戦略不可能性、PC戦略不可能性を定義することができる。

参加- 参加を控えることは、有権者にとってより良い組み合わせにはつながりません。繰り返しますが、DD参加、BD参加、SD参加、PC参加を定義することができます。

共通機能

ランダムな社会的選択によく使われるルールは以下のとおりです。^[3]

ランダム独裁制- 投票者がランダムに選ばれ、結果を決定する。選好が厳密な場合、各選択肢の重みが、その選択肢を1位に挙げた投票者の数に正確に比例する混合が生成される。選好が弱く、選ばれた投票者が2つ以上の最良の選択肢の間で無関心である場合、2人目の投票者がランダムに選ばれ、それらの中から選択する。これを繰り返す。この拡張はランダムシリアル独裁制と呼ばれる。これは事後効率性、強いSD戦略不可能性、非常に強いSD参加、アジェンダ一貫性、クローニング一貫性を満たす。コンドルセ一貫性、構成一貫性、そして（弱い選好の場合）人口一貫性は満たさない。

最大ボルダ-ボルダカウントが最も高いすべての選択肢の重みが等しく、それ以外のすべての選択肢の重みが0となる混合モデルを返します。言い換えれば、ボルダ勝者の中からランダムに1つを選びます（ボルダの代わりに他のスコア関数を使用することもできます）。このモデルは、SD効率性、強SD参加、集団一貫性を満たしていますが、いかなる種類の戦略証明性やその他の一貫性も満たしていません。

比例ボルダ法- 各選択肢の重みがそのボルダカウントに比例する混合モデルを返します。言い換えれば、すべての選択肢の間でランダム化を行い、各選択肢の確率はそのスコアに比例します（ボルダ法の代わりに他のスコア関数を使用することもできます）。このモデルは、強いSD戦略耐性、強いSD参加、そして集団の一貫性を満たしますが、いかなる形式の効率性やその他の一貫性も満たしません。

最大くじ- 選択肢の一対比較に基づく規則。任意の 2 つの選択肢x、yについて、何人の投票者がy よりx を好むか、何人の投票者がxよりyを好むかを計算し、その差をM _xyとします。結果として得られる行列Mは、多数決行列と呼ばれます。混合pは、 の場合に最大と呼ばれます。くじとして解釈される場合、 pが他のどのくじよりも弱く好まれると予想される投票者の過半数によって意味します ( pによって返される選択肢を他のどのくじqより返される選択肢より好むエージェントの予想数は、少なくとも、 pによって返される選択肢よりqより返される選択肢を好むエージェントの予想数と同じ大きさです)。最大くじは、コンドルセの勝者の連続的な類似物です。ただし、コンドルセの勝者は存在しないかもしれませんが、最大くじは常に存在します。これは、適切な対称的な 2 人プレイのゼロ和ゲームにミニマックス定理を適用することで得られます。これは、PC 効率、DD 戦略不可能性、PC 参加、およびすべての一貫性プロパティ (特にコンドルセ一貫性) を満たします。 ${\displaystyle p^{T}M\geq 0}$

参照

• 部分的な承認投票
• 部分的社会的選択における参加インセンティブ^[10]

参考文献

1. アジズ、ハリス (2015年3月28日). 「コンドルセのパラドックスとランダム化社会選択における中央値投票者定理」.経済速報. 35 (1): 745–749 . ISSN  1545-2921.
2. パタナイク, プラサンタ・K.; ペレグ, ベザレル (1986). 「確率的社会選択ルール下における権力の分配」.エコノメトリカ. 54 (4): 909– 921. doi :10.2307/1912843. ISSN  0012-9682. JSTOR  1912843.
3. Felix Brandt (2017年10月26日). 「Roling the Dice: Recent Results in Probabilistic Social Choice」. Endriss, Ulle (ed.). Trends in Computational Social Choice . Lulu.com. ISBN 978-1-326-91209-3。
4. アマルティア・K・セン（1971）「選択関数と顕示選好」『経済学研究』38（3）307-317 . doi :10.2307/2296384. ISSN  0034-6527. JSTOR  2296384.
5. セン、アマルティア (1977). 「社会選択理論：再検証」.エコノメトリカ. 45 (1): 53– 89. doi :10.2307/1913287. ISSN  0012-9682. JSTOR  1913287.
6. セン、アマルティア (1986年1月1日). 「第22章 社会選択理論」 .数理経済学ハンドブック. 3 : 1073–1181 . doi :10.1016/S1573-4382(86)03004-7. ISBN 9780444861283. ISSN  1573-4382.
7. スミス, ジョン・H. (1973). 「有権者の変動を考慮した選好の集約」.エコノメトリカ. 41 (6): 1027–1041 . doi :10.2307/1914033. ISSN  0012-9682. JSTOR  1914033.
8. Young, HP (1974-09-01). 「ボルダ則の公理化」 . Journal of Economic Theory . 9 (1): 43– 52. doi :10.1016/0022-0531(74)90073-8. ISSN  0022-0531.
9. Fine, B.; Fine, K. (1974). 「社会的選択と個人の順位付け I」. The Review of Economic Studies . 41 (3): 303– 322. doi :10.2307/2296751. ISSN  0034-6527. JSTOR  2296751.
10. Aziz, Haris (2016年11月8日). 「ランダム化社会選択における参加インセンティブ」. arXiv : 1602.02174 [cs.GT].