擬似円

擬似円は、次の非ハウスドルフ位相を持つ4つの異なる点{ a、b、c、d }からなる有限位相空間 Xである。 $${\displaystyle \{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\varnothing \}.}$$

この位相は、開集合が下向きに閉集合となる半順序に対応している。 X は、 T ₀以外の分離公理をまったく満たさないため、一般位相の通常の視点からは非常に異常である。しかし、代数位相の視点からは、X は円S ¹と区別がつかないという注目すべき特性がある。より正確には、S ^1からXへの連続写像（ここで S ¹はの単位円と考える） は弱いホモトピー同値である。つまり、すべてのホモトピー群で同型が誘導される。このことから^[1]は、特異ホモロジーとコホモロジーでも同型が誘導され、より一般的にはすべての通常または異常なホモロジーとコホモロジー理論（たとえば、K 理論）で同型が誘導されることが分かる。 ${\displaystyle a<c,\ b<c,\ a<d,\ b<d}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}a,&x<0\\b,&x>0\\c,&(x,y)=(0,1)\\d,&(x,y)=(0,-1)\end{cases}}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

これは以下の観察によって証明できる。S ¹と同様に、Xは2つの縮約可能な開集合{ a , b , c }と{ a , b , d }の和集合であり、その共通集合{ a , b }は2つの互いに素な縮約可能な開集合{ a }と{ b }の和集合でもある。したがって、S ¹と同様に、結果はSeifert-van Kampenの定理から導かれる。これはTopology and Groupoidsという書籍に記載されている。^[2]

より一般的には、マッコードは、任意の有限単体複体 Kに対して、 Kの幾何学的実現| K |と同じ弱ホモトピー型を持つ有限位相空間 X _Kが存在することを示した。より正確には、有限単体複体と単体写像の範疇から、K をX _Kへ導く関手と、 | K | からX _Kへの自然な弱ホモトピー同値性が存在する。^[3]

参照

• 位相の一覧 – 具体的な位相と位相空間の一覧

参考文献

1. アレン・ハッチャー (2002) 代数的位相幾何学、命題 4.21、ケンブリッジ大学出版局
2. ロナルド・ブラウン (2006)「位相幾何学と群体」、ブックフォース
3. McCord, Michael C. (1966). 「有限位相空間の特異ホモロジー群とホモトピー群」. Duke Mathematical Journal . 33 (3): 465– 474. doi :10.1215/S0012-7094-66-03352-7.