純粋サブグループ

数学、特に代数学の分野、特にアーベル群論を研究する分野において、純粋部分群は直和項の一般化です。アーベル群論や関連分野で多くの用途が見出されています。

意味

（典型的にはアーベル）群の部分群が 純粋であるとは、 の元がに根を持つときはいつでも、それがにも根を持つということを意味する。正式には、 、 Gに が存在して となること、S にが存在して となること。^[1]${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} ,a\in S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}=a\Rightarrow }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{n}=a}$

起源

純粋部分群は孤立部分群またはサービング部分群とも呼ばれ、 1923年のプリュファーの論文^[2]で初めて研究されました。この論文では、純粋部分群を用いて主アーベル群を巡回群の直和として分解するための条件が説明されています。プリュファーの研究はクリコフ^[3]によって補完され、多くの結果が純粋部分群を用いて体系的に再証明されました。特に、有限指数の純粋部分群が直和項であることが証明されました。純粋部分群のより詳細な議論、無限アーベル群論との関係、そしてそれらに関する文献の概要は、アーヴィング・カプランスキーの『リトル・レッド・ブック』^{[4]に記載されています。}

プロパティ

• 群のすべての直和項は純粋部分群です。
• 純粋部分群のすべての純粋部分群は純粋です。
• アーベル群の分割可能な部分群は純粋です。
• 商群がねじれを持たない場合、部分群は純粋です。
• アーベル群のねじれ部分群は純粋です。
• 純粋部分群の有向和は純粋部分群である。

有限生成アーベル群において、捩れ部分群は直和項となるため、捩れ部分群は常にアーベル群の直和項となるのかという疑問が生じるかもしれない。しかし、必ずしも直和項となるとは限らず、純粋部分群となる。ある緩やかな条件下では、純粋部分群は直和項となる。したがって、クリコフの論文のように、そのような条件下でも、望ましい結果を得ることができる。純粋部分群は、有限性条件を伴う直和項に関する結果と、より制約の少ない有限性条件を伴う直和項に関する完全な結果との間の中間的な性質として用いることができる。この用法のもう一つの例はプリューファーの論文であり、そこでは「有限捩れアーベル群は巡回群の直和である」という事実が、純粋部分群を中間的に考慮することで、「有限指数を持つすべての捩れアーベル群は巡回群の直和である」という結果に拡張されている。

一般化

純粋部分群は、アーベル群と加群の理論においていくつかの方法で一般化された。 純粋部分加群は様々な方法で定義されたが、最終的にはテンソル積または方程式系による現代的な定義に落ち着いた。初期の定義は通常、上で n 次根に対して使用した単一の方程式のように、より直接的な一般化であった。 純粋単射加群と純粋射影加群は、プリューファーの 1923 年の論文のアイデアから密接に派生している。純粋射影加群は純粋単射ほど多くの応用は見つかっていないが、元の研究とより密接に関連している。加群が純粋射影であるとは、有限に提示された加群の直和の直和項である場合である。整数群とアーベル群の場合、純粋射影加群は巡回群の直和に相当する。

参考文献

1. Fuchs, L (1970)、「無限アーベル群、I」、純粋および応用数学、ニューヨーク、アカデミックプレス。
2. プリューファー、H. (1923)。 「Untersuhungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären Abelschen Gruppen」。数学。 Z。17 (1): 35–61。土井:10.1007/BF01504333。S2CID  118080723。2007年 9 月 27 日のオリジナルからアーカイブ。
3. クリコフ、L. (1941)。 「Zur Theorie der Abelschen Gruppen von beliebiger Mächtigkeit」。記録数学。モスコウ。 NS 9 : 165–181。2007年 9 月 27 日にオリジナルからアーカイブ。
4. カプランスキー、アーヴィング(1954).無限アーベル群. ミシガン大学. ISBN 0-472-08500-X。

• フィリップ・A・グリフィス (1970).無限アーベル群論. シカゴ数学講義. シカゴ大学出版局. pp.  9– 16. ISBN 0-226-30870-7。 第3章