ガウス二項係数

数学において、ガウス二項係数（ガウス係数、ガウス多項式、またはq二項係数とも呼ばれる）は、二項係数のq類似体です。またはと表記されるガウス二項係数は、整数係数を持つqの多項式であり、 qを素数べきに設定したときの値は、 q個の元を持つ有限体上のn次元のベクトル空間におけるk次元の部分空間の数、すなわち有限グラスマン多様体における点の数です。 ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,\mathbb {F} _{q}^{n})}$

意味

ガウス二項係数は次のように定義される: ^[1]

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {(1-q^{m})(1-q^{m-1})\cdots (1-q^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}}$

ここで、 mとrは非負の整数です。r > mの場合、この式は0と評価されます。r = 0の場合、分子と分母の両方が空積であるため、値は1となります。

この式は一見有理関数のように見えますが、実際にはZ [ q ] で正確に割り算されるため多項式です。

分子と分母のすべての因数は1 − qで割り切れ、その商はq数です。

${\displaystyle [k]_{q}=\sum _{0\leq i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{cases}{\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{for}}&q\neq 1\\k&{\text{for}}&q=1\end{cases}},}$

これらの因数を割ると、同等の式が得られる。

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots [m-r+1]_{q}}{[1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\leq m).}$

q階乗 の観点からは、式は次のように表される。 ${\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q}}$

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{[r]_{q}!\,[m-r]_{q}!}}\quad (r\leq m).}$

q = 1を代入すると、通常の二項係数が得られます。 ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$ ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}$

ガウス二項係数は次のように有限の値を持ちます。 ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}={\frac {1}{[r]_{q}!\,(1-q)^{r}}}}$

例

${\displaystyle {0 \choose 0}_{q}={1 \choose 0}_{q}=1}$

${\displaystyle {1 \choose 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1}$

${\displaystyle {2 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q}$

${\displaystyle {3 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}}$

${\displaystyle {3 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2})}}=1+q+q^{2}}$

${\displaystyle {4 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2})}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}$

${\displaystyle {6 \choose 3}_{q}={\frac {(1-q^{6})(1-q^{5})(1-q^{4})}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}}=(1+q^{2})(1+q^{3})(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4})=1+q+2q^{2}+3q^{3}+3q^{4}+3q^{5}+3q^{6}+2q^{7}+q^{8}+q^{9}}$

組み合わせ記述

反転

ガウス二項係数の 1 つの組み合わせ記述には、反転が含まれます。

通常の二項係数は、m要素の集合から選択されたr個の組み合わせを数えます。これらのm要素を長さmの単語における異なる文字位置とすると、各r個の組み合わせは、2文字のアルファベット（例えば{0,1}）を用いた長さmの単語に対応します。この場合、文字1はr個（選択された組み合わせにおける位置を示す）で、残りの位置を表す文字0はm − r個です。 ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}$

たとえば、0と1を使用する単語は です。 ${\displaystyle {4 \choose 2}=6}$ ${\displaystyle 0011,0101,0110,1001,1010,1100}$

ガウス二項係数を取得するために、各単語には係数q ^dが関連付けられます。ここで、dは単語の反転の数です。この場合、反転とは、ペアの左側に文字1が含まれ、右側に文字0が含まれる位置のペアです。 ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$

上の例では、反転回数が0回の単語が1つ、反転回数が1回の単語が1つ、反転回数が2回の単語が2つ、反転回数が3回の単語が1つ、反転回数が4回の単語が1つあります。これは、最初の位置から 1が左にシフトした回数でもあります。${\displaystyle 0011}$ ${\displaystyle 0101}$ ${\displaystyle 0110}$ ${\displaystyle 1001}$ ${\displaystyle 1010}$ ${\displaystyle 1100}$

これらは の係数に対応します。 ${\displaystyle {4 \choose 2}_{q}=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}$

これを別の方法で理解するには、各単語を、高さ r、幅m − rの長方形グリッドを横切るパス（左下隅から右上隅まで）に関連付けます。パスは、0ごとに右に1歩、 1 ごとに上に1歩進みます。反転はステップの方向を入れ替えます（右+上は上+右に、逆も同様）。したがって、反転の数はパスの下の面積に等しくなります。

ボールをビンに入れる

区別できないボールを区別できないビンに投げる方法の数を とします 。各ビンには最大 個のボールを入れることができます。ガウス二項係数は を特徴付けるのに使えます。実際、 ${\displaystyle B(n,m,r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B(n,m,r)}$

${\displaystyle B(n,m,r)=[q^{r}]{n+m \choose m}_{q}.}$

ここで、は多項式の係数を表します（以下のアプリケーションセクションも参照）。 ${\displaystyle [q^{r}]P}$ ${\displaystyle q^{r}}$ ${\displaystyle P}$

プロパティ

反射

通常の二項係数と同様に、ガウス二項係数は中心対称、つまり鏡映に対して不変です。 ${\displaystyle r\mapsto m-r}$

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m \choose m-r}_{q}.}$

特に、

${\displaystyle {m \choose 0}_{q}={m \choose m}_{q}=1\,,}$

${\displaystyle {m \choose 1}_{q}={m \choose m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\cdots +q^{m-1}\quad m\geq 1\,.}$

q = 1 での限界

q = 1におけるガウス二項係数の評価は

${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\binom {m}{r}}_{q}={\binom {m}{r}}}$

つまり、係数の合計は対応する二項値を与えます。

多項式の次数

の程度はです。 ${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}}$ ${\displaystyle {\binom {m+1}{2}}-{\binom {r+1}{2}}-{\binom {(m-r)+1}{2}}=r(m-r)}$

q-アイデンティティ

パスカルの等式に類似するもの

パスカルの等式とガウス二項係数との類似性は次の通りである: ^[2]

${\displaystyle {m \choose r}_{q}=q^{r}{m-1 \choose r}_{q}+{m-1 \choose r-1}_{q}}$

そして

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}.}$

のとき、これらはどちらも通常の二項式の恒等式を与えます。 のときも、両方の式が成立することがわかります。 ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle m\to \infty }$

最初のパスカルの類似物は、初期値を用いて ガウス二項係数を（ mに関して）再帰的に計算することを可能にする。

${\displaystyle {m \choose m}_{q}={m \choose 0}_{q}=1}$

また、ガウス二項係数は実際には多項式（q）であることがわかります。

2 番目のパスカル類似体は、置換と、反射の下でのガウス二項係数の不変性を使用して、最初の類似体から導き出されます。 ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$ ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$

これらの恒等式は、線型代数の観点から自然な解釈が可能です。 はr次元部分空間を数え、 は1次元の零空間 への射影であるとします。最初の恒等式は、 を部分空間 に取る単射から生じます。 の場合、空間はr次元であり、グラフ となる線型関数も把握しておく必要があります。しかし、 の場合、空間は ( r −1) 次元であり、追加情報なしで再構成できます。2番目の恒等式も同様の解釈が可能で、を ( m −1) 次元空間に取り、これも2つのケースに分かれます。 ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {F} _{q}^{m}\to \mathbb {F} _{q}^{m-1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}}$ ${\displaystyle V'=\pi (V)\subset \mathbb {F} _{q}^{m-1}}$ ${\displaystyle E_{1}\not \subset V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \phi :V'\to E_{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E_{1}\subset V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V=\pi ^{-1}(V')}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'=V\cap E_{n-1}}$ ${\displaystyle E_{m-1}}$

類似物の証明

両方の類似は、まず の定義から次のことがわかることに注意することで証明できます。 ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$

${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}}$

1

${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}{\binom {m-1}{r-1}}_{q}}$

2

${\displaystyle {\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}={\binom {m-1}{r-1}}_{q}}$

3

として

${\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}={\frac {1-q^{r}+q^{r}-q^{m}}{1-q^{m-r}}}=q^{r}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}}$

式（１）は次のようになる。

${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}=q^{r}{\binom {m-1}{r}}_{q}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}}$

式（３）を代入すると最初の類似式が得られる。

同様のプロセスで、

${\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}=q^{m-r}+{\frac {1-q^{m-r}}{1-q^{r}}}}$

代わりに、2 番目のアナログを提供します。

q-二項定理

q二項係数の二項定理と同様の定理があり、コーシーの二項定理として知られています。

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{n}q^{k(k-1)/2}{n \choose k}_{q}t^{k}.}$

通常の二項定理と同様に、この式には数多くの一般化と拡張がある。その一つは、負のべき乗に対するニュートンの一般化された二項定理に対応するもので、

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{n+k-1 \choose k}_{q}t^{k}.}$

極限では、これらの式は ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k-1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$

そして

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$ 。

設定により、それぞれ異なる部分と任意の部分の生成関数が与えられます。（「基本超幾何級数」も参照。） ${\displaystyle t=q}$

中央q-二項式恒等式

通常の二項係数では次のようになります。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$

q二項係数の場合、類似は次のようになります。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k^{2}}{\binom {n}{k}}_{q}^{2}={\binom {2n}{n}}_{q}}$

アプリケーション

ガウス和

ガウスはもともと、ガウスの二項係数を二次ガウス和の符号を決定する際に使用しました。^[3]

対称多項式と分割

^{ガウス二項}係数は 対称多項式の数え上げや分割理論で用いられる。

${\displaystyle {n+m \choose m}_{q}}$

rをm個以下の部分に分割し、それぞれの部分がn以下となる分割数です。同様に、 rをn 個以下の部分に分割し、それぞれの部分がm以下となる分割数でもあります。

有限体上の部分空間を数える

ガウス二項係数は、有限体上に定義された射影空間の列挙理論においても重要な役割を果たします。特に、q個の元を持つ任意の有限体 F _qに対して、ガウス二項係数は

${\displaystyle {n \choose k}_{q}}$

F _q上のn次元ベクトル空間（グラスマン多様体）のk次元ベクトル部分空間の数を数える。これをqの多項式として展開すると、グラスマン多様体のよく知られたシューベルト細胞への分解が得られる。例えば、ガウス二項係数

${\displaystyle {n \choose 1}_{q}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}$

は ( F _q ) ⁿにおける1次元部分空間の数（つまり、対応する射影空間における点の数）である。さらに、qが1（または −1）のとき、ガウス二項係数は対応する複素グラスマン多様体のオイラー特性を与える（または実数グラスマン多様体のオイラー特性を与える）。

F _q ⁿのk次元アフィン部分空間の数は

${\displaystyle q^{n-k}{n \choose k}_{q}}$ 。

これにより、アイデンティティの別の解​​釈が可能になります

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}}$

( m − 1)次元射影空間の( r − 1)次元部分空間を超平面を固定して数え、その超平面に含まれる部分空間を数え、次に超平面に含まれない部分空間を数えることとして定義される。これらの部分空間は、この固定された超平面を無限遠の超平面として扱うことで得られる空間の ( r − 1)次元アフィン部分空間と全単射に対応している。

循環ふるい分け現象

ガウス二項係数は巡回ふるい分け現象において重要な役割を果たす。Cをn位の巡回群とし、生成元はcとする。Xをn元集合 {1, 2, ..., n } のk元部分集合の集合とする。群C は、巡回置換(1, 2, ..., n )にc を代入することによってXに 与えられる標準作用を持つ。X上のc d^の不動点の数は

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$

ここで、qは原始n乗根のd乗とされます。

量子群

量子群への応用でよく使われる慣例においては、少し異なる定義が用いられる。そこでの量子二項係数は

${\displaystyle q^{k^{2}-nk}{n \choose k}_{q^{2}}}$ 。

このバージョンの量子二項係数は、およびの交換に関して対称です。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{-1}}$

参照

• q類似体のリスト

参考文献

1. ムキン、ユージン、第3章
2. ムキン、ユージン、第3章
3. ガウス、カール・フリードリヒ (1808)。 Summatio quarumdam serierum singularium (ラテン語)。ゲッティンゲン: ディーテリッヒ。

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• ユージン・ムキン「対称多項式と分割」(PDF)。2016年3月4日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。(日付なし、2004 年以前)。
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