四分儀

幾何学において、四角形（ラテン語のquadratrix 「平方する」に由来 ）とは、ある曲線の面積（または求積法）を測る縦座標を持つ曲線のことです。この種の曲線の中で最も有名なのは、ディノストラトスとEWチルンハウスの曲線で、どちらも円に関連しています。

ディノストラトスの四分儀

ディノストラトスの四線図（ヒッピアスの四線図とも呼ばれる）は古代ギリシャの幾何学者たちによく知られており、プロクロスによって言及されている。プロクロスは、この曲線の発明をソクラテスと同時代の人物、おそらくエリスのヒッピアスに帰している。ギリシャの幾何学者でプラトンの弟子であったディノストラトスは、この曲線について論じ、それが円を正方形にする機械的な解法にどのように役立つかを示した。パップスは著書『幾何学集成』の中で、この曲線の歴史を論じ、それを生成する2つの方法を示している。

1. 直円柱上に螺旋を描くと、この螺旋の各点から軸に垂直な線を引くことで螺旋面が得られる。この面の断面を、垂線のうちの1本を含み軸に対して傾斜した平面に正射影したものが、四辺形である。
2. アルキメデスの螺旋を底とする直円筒と、その母線が螺旋の始点を通る直円錐を交差させる。この交差曲線の各点から、軸に垂線を引く。こうして得られる螺旋面（パップスのプレクトイド面）の任意の平面切断面は、四分曲面となる。

ディノストラトスの四分儀（赤）

別の構成は次のようになります。DABは、直線DAと円弧DBを同数の等しい部分に分割した象限です。象限の中心から円弧の分割点まで半径を引き、これらの半径は、 ABに平行で半径DA上の対応する点を通る直線と交差します。これらの交点の軌跡が四分円です。

中央部に無限の枝が並ぶディノストラトス方陣

Aを直交座標系の原点、Dをx軸に沿って原点からa単位離れた点( a ,0)、Bをy軸に沿って原点からa単位離れた点(0, a )とすると、曲線自体は次式^[1]で表される。

${\displaystyle y=x\cot \left({\frac {\pi x}{2a}}\right).}$

余接 関数は引数の否定に対して不変であり、πの各倍数で単純な極を持つため、この二次曲線はy軸について鏡映対称であり、同様に、 nが整数値の場合、x = 2 naの形式の xの各値に対して極を持ちます。ただし、x = 0の場合は、二次曲線の式のxの係数によって余接の極が打ち消されます。これらの極は、曲線を、両側に無限の枝がある中央部分に分割します。曲線がy軸と交差する点はy = 2 a/πです。したがって、この曲線を正確に構成できれば、長さが1/ πの有理倍数である線分を構成することができ、円を二乗するという古典的な問題を解くことができます。これはコンパスと定規では不可能なので、二次曲線もコンパスと定規では構成できません。正確な四分円の作成により、コンパスと定規では不可能であることが知られている別の古典的な問題、つまり角度の三等分も解くことができます。

チルンハウスの四分儀

チルンハウスの四角形（赤）、
ヒッピアスの四角形（点線）

チルンハウスの四分曲面^[2]は、象限の弧と半径を前と同じ数の等しい部分に分割することによって構築されます。DA に平行な弧の分割点から引いた直線と、DA の分割点を通って AB に平行に引いた直線の交点は、四分曲面上の点です。直交座標は です。曲線は周期的で、x軸を の点で切断します。は整数であり、 の最大値はです。その特性は、ディノストラトスの四分曲面の特性に似ています。 ${\displaystyle y=a\cos \!{\big (}{\tfrac {\pi x}{2a}}{\big )}}$ ${\displaystyle x=(2n-1)a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$

その他の二次曲線

歴史的に円を正方形にするために使用されてきた他の曲線には、アルキメデスの螺旋や蝸牛曲線などがあります。

参考文献

•  この記事には、現在パブリックドメインとなっている出版物（ヒュー・チザム編、1911年）のテキストが含まれています。「Quadratrix」、ブリタニカ 百科事典第22巻（第11版）、ケンブリッジ大学出版局、706ページ。

1. 「ディノストラトゥス四角形」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
2. 以下のオンラインソースの定義と図を参照：Hutton C. (1815). A Philosophical and Mathematical Dictionary Containing... Memoirs of the Lives and Writings of the Most Eminent Authors. Vol. 2. London. pp.  271– 272.

外部リンク

• ヒッピアスの四分儀、マクチューター数学史アーカイブ
• 歴史的幾何学構成の調査、収束、MAA