曖昧性関数

パルスレーダーおよびソナー信号処理において、アンビギュイティ関数は伝搬遅延 とドップラー周波数の2次元関数です。これは、移動目標からの反射波を受信機整合フィルタ^{[ 1 ]} （パルス圧縮レーダーでよく使用されますが、排他的ではありません）で処理することによって生じる、返されたパルスの歪みを表します。アンビギュイティ関数は、特定の目標シナリオではなく、パルスとフィルタの 特性によって定義されます${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \χ (\tau,f)}$

アンビギュイティ関数には多くの定義があり、狭帯域信号に限定されるものもあれば、広帯域信号の遅延とドップラー効果の関係を記述するのに適したものもある。アンビギュイティ関数の定義は、他の定義の振幅の2乗として与えられることが多い（Weiss ^{[ 2 ]} ）。与えられた複素ベースバンドパルスに対して、狭帯域アンビギュイティ関数は次のように表される 。${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle \chi (\tau,f)=\int _{-\infty}^{\infty}s(t)s^{*}(t-\tau)e^{i2\pi ft}\,dt}$

ここで、 は複素共役、は虚数単位を表します。ドップラーシフトがゼロ（）の場合、これはの自己相関に帰着することに注意してください。アンビギュイティ関数をより簡潔に表す方法は、1次元のゼロ遅延カットとゼロドップラーカット、つまりそれぞれ と を調べることです。 整合フィルタの出力は時間の関数として表され（レーダーシステムで観測される信号）、一定の周波数はターゲットのドップラーシフトによって与えられます。 ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle \χ(0,f)}$ ${\displaystyle \chi (\tau ,0)}$ ${\displaystyle \chi (\tau ,f_{D})}$

背景と動機

パルスドップラーレーダー装置は、一連の無線周波数パルスを送信します。各パルスは特定の形状（波形）を持ち、パルスの長さ、周波数、パルス中に周波数が変化するかどうかなどが異なります。波が単一の物体で反射した場合、検出器は信号を検知します。最も単純なケースでは、この信号は元のパルスのコピーですが、物体の距離に関連する特定の時間だけ遅延され、物体の速度に関連する特定の周波数だけシフトされています（ドップラーシフト）。元の放射パルス波形がの場合、検出信号（ノイズ、減衰、歪み、広帯域補正を無視した場合）は次のようになります ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s_{\tau,f}(t)\equiv s(t-\tau)e^{i2\pi ft}.}$

ノイズの影響で、検出された信号はいずれの信号とも完全に一致することはありません。しかしながら、検出された信号が、ある遅延とドップラーシフト に対してと高い相関を示す場合、 を持つ物体が存在することを示唆します。残念ながら、この手順では偽陽性、つまり検出された信号と高い相関を示す誤った値が得られる可能性があります。この意味で、検出された信号は曖昧になる可能性があります。 ${\displaystyle s_{\tau,f}}$ ${\displaystyle s_{\tau,f}}$ ${\displaystyle (\tau,f)}$ ${\displaystyle (\tau,f)}$ ${\displaystyle (\tau ',f')}$

曖昧性は、との間に高い相関がある場合に特に生じます。これが曖昧性関数 の根拠となります。 の定義特性は、との間の相関が に等しいことです。 ${\displaystyle s_{\tau,f}}$ ${\displaystyle s_{\tau ',f'}}$ ${\displaystyle (\tau ,f)\neq (\tau ',f')}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle s_{\tau,f}}$ ${\displaystyle s_{\tau ',f'}}$ ${\displaystyle \chi (\tau -\tau ',ff')}$

異なるパルス形状 (波形)には異なる曖昧性関数があり、曖昧性関数はどのパルスを使用するかを選択するときに関係します。 ${\displaystyle s(t)}$

この関数は複素数値であり、「あいまいさ」の度合いはその大きさに関係します。 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle |\chi (\tau ,f)|^{2}}$

時間頻度分布との関係

曖昧関数は時間周波数信号処理の分野で重要な役割を果たしており^{[ 3 ]}、2次元フーリエ変換によってウィグナー・ヴィル分布と関連付けられている。この関係は他の時間周波数分布の定式化の基礎となる。双線形時間周波数分布は、曖昧領域（すなわち、信号の曖昧関数）における2次元フィルタリングによって得られる。この分布のクラスは、検討対象の信号により適している可能性がある。^{[ 4 ]}

さらに、曖昧性分布は、信号自体を窓関数として用いた信号の短時間フーリエ変換として捉えることができる。この注釈は、時間周波数領域ではなく時間スケール領域における曖昧性分布を定義するために用いられてきた。^{[ 5 ]}

広帯域曖昧性関数

の広帯域曖昧性関数は次のとおりです。^{[ 2 ] [ 6 ]}${\displaystyle s\in L^{2}(R)}$

${\displaystyle WB_{ss}(\tau ,\alpha )={\sqrt {|{\alpha }|}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(\alpha (t-\tau ))\,dt}$

ここで、送信信号に対する受信信号の時間スケール係数は次のように表されます。 ${\displaystyle {\alpha}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {c+v}{cv}}}$

一定の視線速度vで移動するターゲットの場合、信号の反射は時間的に係数 による圧縮（または膨張）で表され、これは周波数領域での係数 による圧縮（振幅スケーリング付き）に相当します。レーダーでよく見られるように、媒質中の波の速度がターゲットの速度よりも十分に速い場合、この周波数圧縮は周波数のシフトΔf = f _{c *v/c （ドップラー}シフトと呼ばれる）によって近似されます。狭帯域信号の場合、この近似により上記のような狭帯域曖昧性関数が得られ、これはFFTアルゴリズムを使用することで効率的に計算できます。 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha^{-1}}$

理想的な曖昧関数

対象となる曖昧関数は、2次元ディラックのデルタ関数、または「画鋲」関数です。つまり、(0,0)で無限大、それ以外の場所ではゼロとなる関数です

${\displaystyle \chi (\tau ,f)=\delta (\tau )\delta (f)\,}$

この種の曖昧性関数は、いくぶん誤解を招く名称である。曖昧性は全く存在せず、ゼロ遅延カットとゼロドップラーカットはどちらもインパルスとなる。これは通常望ましいことではない（目標が未知の速度からドップラーシフトを受けると、レーダー画像から消えてしまうため）。しかし、ドップラー処理を独立して実行すれば、正確なドップラー周波数を知ることで、全く同じ速度で移動していない他の目標からの干渉を受けることなく測距を行うことができる。

このタイプの曖昧関数は、理想的な白色ノイズ（無限の持続時間と無限の帯域幅）によって生成されます。 ^{[ 7 ]}しかし、これは無限の電力を必要とし、物理的に実現不可能です。曖昧関数の定義から生成される パルスは存在しません。しかし、近似値は存在し、最大長シーケンスを用いた2値位相シフトキーイング波形などのノイズのような信号は、この点で最もよく知られています。^{[ 8 ]}${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle \delta (\tau )\delta (f)}$

性質

(1) 最大値

${\displaystyle |\chi (\tau ,f)|^{2}\leq |\chi (0,0)|^{2}}$

(2) 原点を中心とした対称性

${\displaystyle \chi (\tau ,f)=\exp[j2\pi \tau f]\chi ^{*}(-\tau ,-f)\,}$

(3) 体積不変性

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{2}\,d\tau \,df=|\chi (0,0)|^{2}=E^{2}}$

（4）線形FM信号による変調

${\displaystyle {\text{もし }}s(t)\rightarrow |\chi (\tau ,f)|{\text{ ならば }}s(t)\exp[j\pi kt^{2}]{\rightarrow }|\chi (\tau ,f+k\tau )|\,}$

（５）周波数エネルギースペクトル

${\displaystyle S(f)S^{*}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (\tau ,0)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

（６） の上限と下限は、べき積分 に対して存在する ^{[ 9 ]。}${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle p<2}$ ${\displaystyle p^{th}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{p}\,d\tau \,df}$ 。

これらの境界は明確であり、が ガウス関数である場合にのみ達成されます${\displaystyle s(t)}$

方形パルス

方形パルスの曖昧性関数

持続時間と振幅が以下の単純な方形パルスを考えてみましょう ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A(u(t)-u(t-\tau ))\,}$

ここで、 はヘビサイドステップ関数です。整合フィルタの出力は、パルスの自己相関によって与えられ、高さと持続時間（ゼロドップラーカット）を持つ三角波パルスとなります。しかし、測定パルスにドップラーシフトによる周波数オフセットがある場合、整合フィルタの出力はsinc関数に歪んでしまいます。ドップラーシフトが大きいほど、結果として得られるsinc関数のピークは小さくなり、ターゲットの検出が困難になります。 ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle \tau^{2}A^{2}}$ ${\displaystyle 2\tau}$

一般に、方形パルスは、自己相関関数の振幅が短すぎるためノイズの中でターゲットを検出することが困難であり、また、時間が広すぎるため複数の重なり合うターゲットを識別することが困難であるため、パルス圧縮の観点からは望ましい波形ではありません。

LFMパルス

LFMパルスのアンビギュイティ関数

レーダーやソナーで一般的に使用されるパルスは、線形周波数変調（LFM）パルス（または「チャープ」）です。パルス幅を短くし、包絡線を一定に保ちながら、より広い帯域幅を得られるという利点があります。一定包絡線LFMパルスは、遅延ドップラー面内で歪んでいる点を除けば、方形パルスと同様のアンビギュイティ関数を持ちます。LFMパルスのわずかなドップラー不整合は、パルスの全体的な形状を変えず、振幅をわずかに減少させることはありませんが、パルスの時間シフトを引き起こします。したがって、補償されていないドップラーシフトは、ターゲットの見かけの距離を変化させます。この現象は、レンジ・ドップラー結合と呼ばれます

マルチスタティックアンビギュイティ関数

アンビギュイティ関数は、複数の非共存送信機および／または受信機で構成されるマルチスタティックレーダー（特別なケースとして バイスタティックレーダーを含む）に拡張できます

これらのタイプのレーダーでは、モノスタティックレーダーの場合に見られるような時間と距離の単純な線形関係は適用されず、特定の形状、すなわち送信機、受信機、およびターゲットの相対的な位置に依存します。したがって、マルチスタティックアンビギュイティ関数は、与えられたマルチスタティック形状と送信波形に対する2次元または3次元の位置ベクトルと速度ベクトルの関数として定義することが一般的です。

モノスタティックアンビギュイティ関数が整合フィルタから自然に導かれるのと同様に、マルチスタティックアンビギュイティ関数は、対応する最適マルチスタティック検出器、すなわち、すべての受信機における信号の共同処理を通じて、誤報の確率が一定である場合に検出確率を最大化する検出器から導かれる。この検出アルゴリズムの性質は、マルチスタティックシステム内の各バイスタティックペアによって観測されるターゲット変動が相互に相関しているかどうかに依存する。相関している場合、最適検出器は受信信号の位相コヒーレント加算を実行し、非常に高いターゲット位置精度が得られる。^{[ 10 ]}相関していない場合、最適検出器は受信信号のインコヒーレント加算を実行し、ダイバーシティゲインを得る。このようなシステムは、 MIMO通信システムとの情報理論上の類似性から、MIMOレーダーと呼ばれることもある。^{[ 11 ]}

曖昧性関数平面

曖昧性関数平面

曖昧性関数平面は、無限の数の放射状の線の組み合わせとして見ることができます

各放射状線は、定常ランダムプロセスの 分数フーリエ変換として見ることができます。

例

曖昧性関数

曖昧性関数（AF）は、WDFに関連する演算子です

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi tn}dt}$

(1)もし${\displaystyle x(t)=exp[-\alpha \pi {(t-t_{0})^{2}}+j2\pi f_{0}t]}$

${\displaystyle A_{x}(\tau,n)}$

${\displaystyle =\int _{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha \pi (t+\tau /2-t_{0})^{2}+j2\pi f_{0}(t+\tau /2)}+e^{-\alpha \pi (t-\tau /2-t_{0})^{2}-j2\pi f_{0}(t-\tau /2)}e^{-j2\pi tn}dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi [2(t-t_{0})^{2}+\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau }e^{-j2\pi tn}dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi [2t^{2}-\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau }e^{-j2\pi tn}e^{-j2\pi t_{0}n}dt}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha }}}exp[-\pi ({\frac {\alpha \tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha }})]exp[j2\pi (f_{0}\tau -t_{0}n)]}$

WDF曖昧性関数平面

1項のみの信号に対するWDFとAF

(2) もし${\displaystyle x(t)=exp[-\alpha _{1}\pi (t-t_{1})^{2}+j2\pi f_{1}t]+exp[-\alpha _{2}\pi (t-t_{2})^{2}+j2\pi f_{2}t]}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+\tau /2)x_{1}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$ ＋

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$ ＋

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$ ＋

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+\tau /2)x_{1}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)=A_{x1}(\tau ,n)+A_{x2}(\tau ,n)+A_{x1x2}(\tau ,n)+A_{x2x1}(\tau ,n)}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{1}}}}exp[-\pi ({\frac {\alpha _{1}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha _{1}}})]exp[j2\pi (f_{1}\tau -t_{1}n)]}$

${\displaystyle A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{2}}}}exp[-\pi ({\frac {\alpha _{2}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha _{1}}})]exp[j2\pi (f_{2}\tau -t_{2}n)]}$

いつ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}}$

${\displaystyle A_{x1x2}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{u}}}}exp[-\pi (\alpha _{u}{\frac {(\tau -t_{d})^{2}}{2}}+{\frac {(n-f_{d})^{2}}{2\alpha _{u}}})]exp[j2\pi (f_{u}\tau -t_{u}n+f_{d}t_{u})]}$

どこで

• ${\displaystyle t_{u}=(t_{1}+t_{2}/2)}$ 、
• ${\displaystyle f_{u}=(f_{1}+f_{2})/2}$ 、
• ${\displaystyle \alpha _{u}=(\alpha _{1}+\alpha _{2})/2}$ 、
• ${\displaystyle t_{d}=t_{1}+t_{2}}$ 、
• ${\displaystyle f_{d}=f_{1}-f_{2}}$ 、
• ${\displaystyle \alpha _{d}=\alpha _{1}-\alpha _{2}}$

  ${\displaystyle A_{x2x1}(\tau ,n)=A_{x1x2}^{*}(-\tau ,-n)}$

≠の場合${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle A_{x1x2}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{u}}}}exp[-\pi {\frac {[(n-f_{d})+j(\alpha _{1}t_{1}+\alpha _{2}t_{2})-j\alpha _{d}\tau /2]^{2}}{2\alpha _{u}}}exp[-\pi (\alpha _{1}(t_{1}-{\frac {\tau }{2}})^{2})+\alpha _{2}(t_{2}-{\frac {\tau }{2}})^{2})]exp[j2\pi f_{u}\tau ]}$

2つの項を持つ信号のWDFとAF

• ${\displaystyle A_{x2x1}(\tau ,n)=A_{x1x2}^{*}(-\tau ,-n)}$

2項の信号に対するWDFとAF 曖昧性関数の場合:

• 自動項は常に原点に近い

参照

• 整合フィルタ
• パルス圧縮
• パルスドップラーレーダー
• デジタル信号処理
• フィリップ・ウッドワード

参考文献

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さらに詳しい情報

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• 2 国立台湾大学、時間周波数解析とウェーブレット変換 2021、電気工学科 丁建俊教授
• 3 国立台湾大学、時間周波数解析とウェーブレット変換 2021、電気工学科 丁建俊教授
• 4 国立台湾大学、時間周波数解析とウェーブレット変換 2021、電気工学科 丁建俊教授