範囲基準

量子力学、特に量子情報において、範囲基準は、状態が分離可能であるために満たさなければならない必要条件です。言い換えれば、分離可能性基準です

結果

n個の部分系からなる量子力学系を考えてみましょう。このような系の状態空間Hは、部分系の状態のテンソル積、すなわち… です${\displaystyle H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}}$

簡単にするために、ここでは関連するすべての状態空間が有限次元であると仮定します。

基準は次のようになります: ρ がHに作用する分離可能な混合状態である場合、 ρ の範囲は積ベクトルの集合によって張られます。

証明

一般に、行列Mが の形である場合、Mの値域Ran(M) はの線形範囲に含まれます。一方、すべてのiに対して、 がRan(M)に含まれることも示せます。一般性を失うことなく、i = 1 と仮定します。 と書くことができます。 ここで、Tはエルミートで半正定値です。2つの可能性があります ${\displaystyle M=\sum _{i}v_{i}v_{i}^{*}}$ ${\displaystyle \;\{v_{i}\}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle M=v_{1}v_{1}^{*}+T}$

1) Ker(T)を張る。明らかに、この場合はRan(M)である。 ${\displaystyle \{v_{1}\}\subset }$ ${\displaystyle v_{1}\in }$

2) 1) はKer(T) span の場合にのみ成立することに注意してください。ここで は直交補集合を表します。Tのエルミート性により、これはRan(T) spanと同じです。したがって、1) が成立しない場合、交差Ran(T) span は空ではありません。つまり、 となる複素数 α が存在するということです。したがって、 ${\displaystyle \;^{\perp }\subset }$ ${\displaystyle \{v_{1}\}^{\perp}}$ ${\displaystyle \perp}$ ${\displaystyle \subset}$ ${\displaystyle \{v_{1}\}^{\perp}}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \{v_{1}\}}$ ${\displaystyle \;Tw=\alpha v_{1}}$

${\displaystyle Mw=\langle w,v_{1}\rangle v_{1}+Tw=(\langle w,v_{1}\rangle +\alpha )v_{1}.}$

したがって、Ran(M)に存在します。 ${\displaystyle v_{1}}$

したがって、Ran(M)はの線形範囲と一致する。範囲基準はこの事実の特別な場合である。 ${\displaystyle \;\{v_{i}\}}$

Hに作用する密度行列ρが分離可能であるのは、次のように書ける 場合のみである。

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\psi _{1,i}\psi _{1,i}^{*}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}\psi _{n,i}^{*}}$

ここで、はj番目のサブシステム上の（正規化されていない）純粋状態である。これはまた、 ${\displaystyle \psi _{j,i}\psi _{j,i}^{*}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}(\psi _{1,i}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i})(\psi _{1,i}^{*}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}^{*})。}$

しかし、これは上記のMと全く同じ形で、ベクトル積状態を に置き換えたものです。すると、ρの値域はこれらの積状態の線形範囲であることが直ちに分かります。これにより、基準が証明されます。 ${\displaystyle \psi _{1,i}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$

参考文献

• P. Horodecki、「分離可能性基準と正の部分転置を伴う分離不可能な混合状態」、Physics Letters A 232、(1997)