数学の有限群論において、階数3の置換群は 、ある点の安定群が3つの軌道を持つような集合に推移的に作用する。これらの群の研究は、ヒグマン (1964, 1971) によって始められた。散在単純群のいくつかは、階数3の置換群として発見された。
分類
原始ランク 3 の順列グループはすべて、次のいずれかのクラスに属します。
- Cameron (1981)は、 T 0の対角Tが単純で、T 0が次数√nの2推移群であるような群を分類した。
- リーベック（1987）は、正規の基本アーベル正規部分群を持つものを分類した。
- バンナイ（1971-72）は、基底が単純な交代群であるものを分類した。
- カンターとリーブラー（1982）は、単純な古典群を基底とするものを分類した。
- Liebeck & Saxl (1986) は、基底が単純な例外的グループまたは散発的グループであるものを分類しました。
例
G が集合Sに作用する任意の 4 推移群である場合、 Sの元のペアに対するその作用はランク 3 の置換群である。[1]特に、交代群、対称群、マシュー群のほとんどは4 推移作用を持つため、ランク 3 の置換群にすることができます。
少なくとも 3 次元の射影空間内の直線上に作用する射影一般線型群は、ランク 3 の置換群です。
いくつかの3 転置群は、（転置に対する作用において）ランク 3 の置換群です。
いずれかの軌道に作用する階数3の置換群の点安定化因子が階数3の置換群であることは一般的です。これにより、鈴木連鎖やフィッシャー群で終わる連鎖など、階数3の置換群の複数の「連鎖」が生じます。
以下に、いくつかの珍しいランク 3 順列群 (多くは (Liebeck & Saxl 1986) からのもの) を示します。
下の表の各行の「サイズ」列のグリッドにおいて、等号の左側の数字は、その行に記載されている順列群の次数です。グリッドにおいて、等号の右側の和は、順列群の点の安定点の3つの軌道の長さを示しています。例えば、表の最初の行の見出しの下の式「15 = 1+6+8」は、最初の行の順列群の次数が15であり、順列群の点の安定点の3つの軌道の長さがそれぞれ1、6、8であることを意味します。
| グループ | ポイントスタビライザー | サイズ | コメント |
|---|---|---|---|
| A 6 = L 2 (9) = Sp 4 (2)' = M 10 ' | S4 | 15 = 1+6+8 | 6点順列表現における点のペア、または2つのブロック3つの集合。2つのクラス |
| A9 | L 2 (8):3 | 120 = 1+56+63 | 射影直線P 1 (8); 2つのクラス |
| A 10 | （A 5 ×A 5）:4 | 126 = 1+25+100 | 自然な10点順列表現における5個のブロック2個のセット |
| L 2 (8) | 7:2 = ディフ(7) | 36 = 1+14+21 | P 1内の点のペア(8) |
| L 3 (4) | A6 | 56 = 1+10+45 | P 2（4）のハイパーオーバル；3つのクラス |
| L 4 (3) | PSp 4 (3):2 | 117 = 1+36+80 | P 3 (3) のシンプレクティック極性；2つのクラス |
| G 2 (2)' = U 3 (3) | PSL 3 (2) | 36 = 1+14+21 | スズキチェーン |
| U 3 (5) | A7 | 50 = 1+7+42 | ホフマン・シングルトングラフの頂点への作用；3つのクラス |
| U 4 (3) | L 3 (4) | 162 = 1+56+105 | 2つのクラス |
| スピー6（2） | G 2 (2) = U 3 (3):2 | 120 = 1+56+63 | GF(2)上の八元数代数に作用する G 2型のシュヴァレー群 |
| Ω 7 (3) | G 2 (3) | 1080 = 1+351+728 | GF(3)上の八元数代数の虚八元数に作用する G 2型のシュヴァレー群。2つのクラス |
| U 6 (2) | U 4 (3):2 2 | 1408 = 1+567+840 | 点安定子は、ミッチェル群（複素反射群）の複素表現を法2で「下げる」ことによって得られる線形表現のイメージである。3つのクラス |
| M 11 | M 9 :2 = 3 2 :SD 16 | 55 = 1+18+36 | 11点順列表現における点のペア |
| M 12 | M 10 :2 = A 6 .2 2 = PΓL(2,9) | 66 = 1+20+45 | 12点順列表現における点のペア、またはS(5,6,12)の相補ブロックのペア。2つのクラス |
| M 22 | 2 4 :A 6 | 77 = 1+16+60 | S(3,6,22)のブロック |
| J 2 | U 3 (3) | 100 = 1+36+63 | 鈴木連鎖；ホール・ヤンコグラフの頂点への作用 |
| ヒグマン・シムズグループ高校 | M 22 | 100 = 1+22+77 | ヒグマン・シムズグラフの頂点への作用 |
| M 22 | A7 | 176 = 1+70+105 | 2つのクラス |
| M 23 | M 21 :2 = L 3 (4):2 2 = PΣL(3,4) | 253 = 1+42+210 | 23点順列表現における点のペア |
| M 23 | 2 4 :A 7 | 253 = 1+112+140 | S(4,7,23)のブロック |
| マクラフリングループ McL | U 4 (3) | 275 = 1+112+162 | マクラフリングラフの頂点への作用 |
| M 24 | マタイ22 :2 | 276 = 1+44+231 | 24点順列表現における点のペア |
| G 2 (3) | U 3 (3):2 | 351 = 1+126+244 | 2つのクラス |
| G 2 (4) | J 2 | 416 = 1+100+315 | スズキチェーン |
| M 24 | マタイ12 :2 | 1288 = 1+495+792 | 24点順列表現における補数12進数のペア |
| スズキグループ スズ | G 2 (4) | 1782 = 1+416+1365 | スズキチェーン |
| G 2 (4) | U 3 (4):2 | 2016 = 1+975+1040 | |
| 二酸化炭素 | PSU 6 (2):2 | 2300 = 1+891+1408 | |
| ルドヴァリスグループ Ru | 2 F 4 (2) | 4060 = 1+1755+2304 | |
| Fi 22 | 2.PSU 6 (2) | 3510 = 1+693+2816 | 3転置 |
| Fi 22 | Ω 7 (3) | 14080 = 1+3159+10920 | 2つのクラス |
| Fi 23 | 2. Fi 22 | 31671 = 1+3510+28160 | 3転置 |
| G 2 (8).3 | SU 3 (8).6 | 130816 = 1+32319+98496 | |
| Fi 23 | PΩ 8 + (3).S 3 | 137632 = 1+28431+109200 | |
| Fi 24 ' | Fi 23 | 306936 = 1+31671+275264 | 3転置 |
注記
- ^ 3 つの軌道とは、固定されたペア自体、固定されたペアと 1 つの要素を共有するペア、および固定されたペアと共通の要素を持たないペアです。
参考文献
- 坂内 栄一 (1971–72)、「有限対称群および交代群の低階数極大部分群」、東京大学理学部紀要、第1部、数学、18 : 475–486、ISSN 0040-8980、MR 0357559
- ブラウワー、AE。午前、コーエン。 Neumaier、Arnold (1989)、距離正則グラフ、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 18、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-50619-5、MR 1002568
- キャメロン、ピーター・J. (1981)、「有限置換群と有限単純群」、ロンドン数学会報、13 (1): 1– 22、CiteSeerX 10.1.1.122.1628、doi :10.1112/blms/13.1.1、ISSN 0024-6093、MR 0599634
- Higman、Donald G. (1964)、「ランク 3 の有限順列グループ」(PDF)、Mathematische Zeitschrift、86 (2): 145–156、doi :10.1007/BF01111335、hdl : 2027.42/46298、ISSN 0025-5874、MR 0186724、S2CID 51836896
- Higman, Donald G. (1971), "A survey of some questions and results about rank 3 permutation groups", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970) , vol. 1, Gauthier-Villars, pp. 361– 365, MR 0427435, 2017年11月25日時点のオリジナルよりアーカイブ, 2010年11月26日閲覧
- Kantor, William M. ; Liebler, Robert A. (1982)、「有限古典群のランク3置換表現」（PDF）、アメリカ数学会誌、271 (1): 1– 71、doi :10.2307/1998750、ISSN 0002-9947、JSTOR 1998750、MR 0648077
- リーベック、マーティン・W. (1987)、「階数3のアフィン置換群」、ロンドン数学会紀要、第3シリーズ、54 (3): 477– 516、CiteSeerX 10.1.1.135.7735、doi :10.1112/plms/s3-54.3.477、ISSN 0024-6115、MR 0879395
- リーベック、マーティン・W. ;サックスル、ヤン(1986)、「階数3の有限原始置換群」、ロンドン数学会報、18 (2): 165– 172、doi :10.1112/blms/18.2.165、ISSN 0024-6093、MR 0818821
